《电磁场与电磁波》第一章 矢量分析

ey Ay By
ez Az Bz
显然，矢量的矢积不满足交换律。 两个矢量的矢积仍是矢量。
矢积的几何意义 设 则
A A ex
B Bxex By ey
z
A B y B
A B ez A B sin
A
可见，矢积A×B的方向与矢量A及 矢量B构成的平面垂直，由A旋转到B成 右手螺旋关系；大小为 A B sin 。

S
E dS
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电 荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通 量为零。
㊀
㊉
二、散度(divergence)
通量仅能表示闭合面中源的总量，不能显示源的分布特性。为 此需要研究矢量场的散度。
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 矢量A通过 该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度， 以divA表示，即
结合律： ( A B) C A ( B C )
标量乘矢量：
A Ax ex Ay e y Az ez
§1-3 矢量的标积和矢积
一、矢量的标积
A Axex Ay e y Az ez
矢量A与矢量B的标积定义为：
B Bxex By ey Bz ez
则： A A ea ex A cos ey A cos ez A cos 标积的几何意义
y B
设 其中
A A ex
B Bxex By ey

Bx B cos By B cos( ) B sin 2
A
x
所以
A B A B cos
例
1 1 计算 及 。这里 R 为空间 P 点与 P 点之间的距离, R R
P 点的坐标为 ( x, y, z) ， R 0 ，如下图示。P 点的坐标为 ( x, y, z ) ，

表示对 x, y, z 运算， 表示对 x, y , z 运算。 z P'(x ', y ', z ') r – r' r' P(x, y, z) r y O
形象描绘场分布的工具--场线 矢量场--矢量线 标量场--等值线(面). A dl 0 其方程为 其方程为
h ( x, y, z ) const
矢量线 等值线
§1-2 矢量的代数运算
若矢量A与矢量B大小与方向均相同，则A=B。 加法运算符合结合律和交换律。 交换律：
A B B A
n Vn 0 n 1
A dS lim
S
S
AV
V
n
AdV
V
A dS AdV
• 建立了矢量函数面积分与标量函数体积分的互换。
高斯定理
• 该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。
五、散度的运算公式
divC C 0 C为常矢量 divC C div A A 为常数 div A A A div A B A B
0 显然 A B A B A // B A B

x
§1-4 标量场的方向导数与梯度
一、方向导数 标量场在某点的方向导数表示标量场在该点沿某一 方向的变化率。
l
例如标量场 在 P 点沿 l 方向上的 方向导数
l
P
Δl
P
P
定义为

lim (P) (P) l P Δl0 Δl
可见，标量场的梯度是一个矢量场。
式中
ex ey ez x y z
哈密顿算子
三、梯度的物理意义 标量场的梯度是矢量场，是空间坐标点的函数。
G el | G | cos(G , el ) l
方向导数
当 (G, el ) 0 ,即 e l 与 G 方向一致时, l 为最大.
Bx , y , z dL I J x , y , z ds
0 0 L s
上式建立了磁场与电流的关系。
环量：矢量场A沿有向闭合曲线l的线积分称为矢量场A沿该 曲线的环量，以Γ表示为
A dl
l
环量表示闭合曲线内存在另一种源——漩涡源。 电流是磁场的漩涡源。 物理意义：矢量沿闭合曲线的环量反映了闭合曲线内源的性质。 环量的计算
例
求空间任一点位置矢量 r 的散度 。
z
r
z O y x y
x
解
已知
r xex ye y zez
r x y z 3 x y z
求得
§1-6矢量场的环量、旋度与旋度定理
一、环量与漩涡源
不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量 源，它所激发的矢量场的矢量线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为 零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比， 即：
l S
斯托克斯定理
上式称为斯托克斯定理或旋度定理。式中 dS 的方向与 dl 的方向符合 右手螺旋关系。 • 矢量函数的线积分与面积分的互换。 • 该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系。 在电磁场理论中，Gauss公式和 Stockes公式是两个非常重要的公式。
cos cos cos x y z
(cos , cos , cos ) 为 l 的方向余弦。
设 则有:
el (cos ,cos ,cos )
G el l
矢量G称为标量场 的梯度，以grad 表示，即
G grad ex ey ez x y z
此极限称为矢量A在P点对于方向en的环量密度， 或环量强度。同一点不同方向上环量密度不同。
2. 旋度 矢量A的旋度是一个矢量，其模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密
度的方向，以符号curl表示，即
ex
在直角坐标系下
ey
y
ez
z
curlA
x
A
Ax
它与环量密度的关系为

S
A dS
矢量场的通量
物理意义：若S 为闭合曲面,则矢量A通过面S的通 量 A dS 反映了闭合面中源的性质:
S
= 0 (无源)
< 0 (有负源)
> 0 (有正源)
由物理得知，真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的通量 等于该闭合面包围的自由电荷的电量 q 与真空介电常数 0 之 比，即 q
二、梯度(gradient)
在直角坐标系中，方向导数 可写为： l
1 dx dy dz l x y z dl
dx dy dz ex ey ez ex ey ez y z dl dl dl x
e x
ey ez x y z
R 1 3 R R
1 R 3 R R
1 1 R R
P 表示源点，P 表示场点。
§1-5 矢量场的通量、散度与散度定理
一、通量
矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分称为 矢量 A 通过该有向曲面 S 的通量，以标量 表示，即
• A= 0 (无源）
• A= 0 (正源)
• A= 0 (负源)
在矢量场中，若• A= 0，称之为有源场， 称为(通量)源密度； 若矢量场中处处• A=0，称之为无源场。
四、高斯定理（散度定理）
1 divA lim A dS v S v0
由于 A 是通量源密度， 即穿过包围单位体积的闭合面的 通量，对 A 体积分后，为穿 出闭合面S的通量 散度定理
例：流速场
水流沿平行于水管轴线方向流动 =0，无涡旋运动
流速场
流体做涡旋运动 0，有产生涡旋的源
二、旋度（rotation）
1. 环量密度 过点P作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手 螺旋法则。当S点P时,存在极限
en1
en
en2
d 1 lim Α dl S P S L dS
解
r xex ye y zez r xex ye y zez
R ( x x)ex ( y y)e y ( z z)ez
R ( x x) 2 ( y y) 2 ( z z ) 2
x
ex
ey ez x y z
第一章 矢量分析
主要内容： 矢量的基本概念、代数运算 场论基础（梯度、矢量场的散度和旋度） 矢量场的亥姆霍兹定理
§1-1 标量与矢量
标量：仅具有大小特征的量。例如长度、温度、面积、体积等。 矢量：具有大小和方向特征的量。例如速度、力、电场强度等。 场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都 有一个确定的标量值或矢量。 例如,在直角坐标下, 标量场 矢量场
Ay
Az
d curl A en dS
即某点环量密度的大小为矢量A在该点的旋度在环量密度方向的投影。
三、旋度的物理意义
• 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。
• 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。
• 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。
• 在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或旋涡场)，J 称为旋度源(或旋涡源)；
• 若矢量场处处A=0，称之为无旋场。
四、斯托克斯定理（旋度定理）
A 是环量密度，即围绕单位面积环路的环 量，因此取面积微元 dS i ，包围其的闭合曲线为 dli 则有
l A dli ( A) dSi
i
对于包围面积S的闭合曲线l，有
A dl A dS
可见，标积A· B等于矢量A的模与矢量B在矢量A方向 投影大小的乘积。
0 显然 A B A B AB A // B
二、矢量的矢积
A Axex Ay e y Az ez
矢量A与矢量B的矢积定义为：
B Bxex By ey Bz ez
ex A B Ax Bx
A B Ax Bx Ay By Az Bz
显然，两矢量的标积是一个标量。 矢量A的模为： A A A的单位矢量
2 2 Ax Ay Az2
Ay A Ax Az ea ex ey ez ex cos ey cos ez cos A A A A cos 为矢量A的方向余弦。 cos 、 其中 cos、
divA lim
ΔV 0
S
A dS ΔV
上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。 直角坐标系中，散度可表示为：
Ax Ay Az divA A x y z
三、散度的物理意义
• 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数； • 散度代表矢量场的通量源的分布特性
例1 三维高度场的梯度
例2 电位场的梯度
三维高度场的梯度 高度场的梯度 • 与过该点的等高线垂直； • 数值等于该点位移的最大变化率； • 指向地势升高的方向。
电位场的梯度 电位场的梯度 • 与过该点的等位线垂直； • 数值等于该点的最大方向导数； • 指向电位增加的方向。
四、梯度运算的基本公式
c 0 c c f f '
因此
标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数。 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面） 相垂直的方向，它指向函数的增加方向. 标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场的联系，这一 联系使得某一类矢量场可以通过标量函数来研究，或者说 标量场可以通过矢量场的来研究。
梯度的物理意义