专题训练. 相似三角形--十大题型总结(培优篇)- 九年级数学上册 (浙教版)

专题4．9相似三角形章末十大题型总结（培优篇）
【题型1由比例的性质求值或证明】
A．3 20
【变式2-1】（2023秋·6．如图，AD与BC相交于点
A．2
【变式2-3】（2023秋
，8．如图，已知ABC
BC=，BF分别交AC
1
A．252-B．
【变式3-2】（2023秋·辽宁锦州·九年级统考期中）
11．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，
她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上．
【变式3-3】（2023春·江苏苏州·九年级苏州市立达中学校校考期末）
12．已知线段2
AB=，点P是线段AB的黄金分割点（
(1)求线段AP的长；
，使得
(2)以AB为三角形的一边作ABQ
【题型4证明两三角形相似】
【例4】（2023秋·广东清远·九年级统考期末）
13．如图，已知正方形ABCD中，BE平分
置，并延长BE 交DF 于点G ．求证：
(1)BDG DEG ∽；
(2)BG DF ⊥．
【变式4-1】（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期中）
14．如图，已知90B E ∠=∠=︒，6,3,5,15,25AB BF CF DE DF =====．
(1)求CE 的长；
(2)求证：ABC DEF ∽△△．
△∽△
(1)求证：ABF FCE
(2)若23
AD，求
AB=，4=
(3)当点F是线段BC的中点时，求证：
【题型5证明三角形的对应线段成比例】
【例5】（2023春·江苏·九年级专题练习）
17．如图，ABC 中，AB AC <，在AB AC 、上分别截取BD CE DE BC =，，的延长线相交于点F ，证明：AB DF AC EF ⋅=⋅．
【变式5-1】（2023春·江西南昌·九年级统考期末）
18．(1)已知抛物线26y ax x c =-+的图象经过点（-2，-1），其对称轴为x=-1．求抛物线的解析式．
(2)如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D ，E 分别是BC ，AB 边上的点，且∠ADE=∠C ．
求证：BD CD BE AC
=
求证：
A．0B．1
【变式6-1】（2023春·江苏苏州
22．下列五幅图均是由边长为
点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△
A．1个B．2
【变式6-2】（2023秋·九年级单元测试）
中，AB=
23．如图，在ABC
方向，以1cm/s的速度运动至点
【变式7-1】（2023秋26．如图，在ABC 中，点6A C '=，30A CD '∠=
(1)如图，当点E是腰CD
(2)延长BE交线段AD的延长线于点
【变式8-1】（2023秋·四川绵阳30．如图，平面直角坐标系xOy P、A、C为顶点的三角形与△AOB
【变式8-2】（2023·江西·中考真题）31．在平面直角坐标系中，A，
若1
DA=，CP DP
⊥于点P，则点【变式8-3】（2023春·湖北武汉
32．已知直线1l：
1
2 y x =-
为．
【题型9在网格中作位似图形】
【例9】（2023秋·山西临汾
33．ABC
在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)在网格内画出和ABC 以点O 为位似中心的位似图形111A B C △，且111A B C △和ABC 的位似比为2:1．
(2)分别写出1A 、1B 、1C 三个点的坐标：1A ________；1B _________；1C ___________．
(3)111A B C △的面积为_________．
【变式9-1】（2023秋·内蒙古锡林郭勒盟·九年级校考期中）
34．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 与△A ′B ′C ′是关于点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的格点上．
（1）画出位似中心O ；
（2）求出△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比．
【变式9-2】（2023秋·安徽六安·九年级统考期末）
35．如图，在1010 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O 是格点，ABC 是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点1A 是点A 以点O 为位似中心得到的．
(1)画出ABC 以点O 为位似中心的位似图形111A B C △；
(2)111A B C △与ABC 的相似比为___________；
(3)111A B C △与ABC 的面积之比为_____________．
【变式9-3】（2023秋·吉林长春·九年级吉林大学附属中学校考期末）
36．
图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图．
(1)在图①中确定格点D ，使以A B C D 、、、为顶点的四边形是轴对称图形，并画出这个四边形．
(2)在图②中确定格点D ，使以A B C D 、、、为顶点的四边形是中心对称图形，并画出这个四边形．
(3)在图③中ABC 的AC BC 、边上分别确定点D E 、，
使得CDE 与CAB △位似，位似中心为点C ，位似比为1:3．【题型10相似三角形的应用】
【例10】（2023秋·陕西榆林·九年级校考期中）
37．位于陕西省北部神木县红碱淖景区的大门口，树立着一座精致的王昭君雕像．在当地人看来，当年王昭君就是走过神木大地，去完成和亲使命的．她因为远离家乡而伤心落泪，泪水也因此化作了一颗“沙漠明珠”——红碱淖．某校社会实践小组为了测量这座雕像（如图1）的高度，如图2，小明先在地面上C 处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD ，这时地面上的点E ，标杆的顶端点D ，雕像的顶端B 正好在同一直线上，测得3EC =米；小明再从点E 出发沿着EG 方向前进9米，到达点F ．在点F 处放置一平面镜，小刚站在G 处时，恰好在平面镜中看到雕像的顶端B 的像，此时测得小刚的眼睛到地面的距离GH 为1.5米，3GF =米．已知点G 、F 、E 、C 与雕像的底端A 在同一直线上，AB AG ⊥，CD AG ⊥，GH AG ⊥，请你根据以上数据，计算该雕像的高度AB ．（平面镜大小忽略不计）
【变式10-1】（2023秋·河南驻马店·九年级统考期中）
38．2022年9月16日，第九批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国，离家还是少年身，归来已是报国躯．七十多年前，超过19万名志愿军战士在异国疆场悲壮地倒下，义无反顾地用血肉之躯把祖国护卫在身后，把炮火挡在了国门之外．丹心赤诚，铁骨铮铮，中国人民志愿军用鲜血写就壮丽篇章，英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们这几十年的和平，换来了我们国家的富强和人民的幸福．
面对美帝国主义精良的精确制导武器，中国人民志愿军战士没有被吓倒，没有先进的武器装备，志愿军战士只能使用以前一些土办法，其中“跳眼法”就是炮兵常用的一种简易测距方法（图1），结合相似三角形原理和光的直线传播原理，可以计算出被测物的大致距离．
如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右手大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照∥），目测CD的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离．
物（CD AB
(1)“跳眼法”运用了相似三角形的哪些知识？（写出一条即可）
(2)已知大多数人的眼距长约为6.4厘米左右，而手臂长约为64厘米左右．若CD的估测长度为50米，那么CO的
大致距离为多少米？
【变式10-2】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）
39．如图为一块锐角三角形的余料，它的边60mm 40mm BC AB ==，，工人师傅要把它加工成菱形零件，使菱形BGMF 的一边BG 在BC 上，其余两个顶点F M ，分别在边AB AC ，上，加工成的零件的高21mm ED =，求ABC 的高AD 的长．
【变式10-3】（2023秋·广东梅州·九年级统考期末）
40．北京时间2022年12月4日23时08分，神舟十五号载人飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅励志条幅（即GF ）．小亮同学想知道条幅的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他站在距离教学楼18m 的点B 处，在点B 正上方点A 处测得GAO α∠=，然后向教学楼条幅方向前行12m 到达点D 处，在点D 正上方点C 处测得FCO α∠=，若AB ，CD ，OE 均为1.65m ，FE 的长为6.65m ．
(1)如图1，请你帮助小亮计算条幅GF 长度
(2)若小亮从B 点开始以每秒1m 的速度向点E 行走至D （D 正上方点C ）
，经过多少秒后，以F 、C 、O 为顶点的三角形与GAO 相似．。