北京市城六区2019届高三期末数学(理)解答题分类汇编之概率统计含答案

【海淀】16．（本小题满分13分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记X 表示学生的考核成绩，并规定85X ≥为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
5 0 1 1
6 6 0 1 4 3 3 5 8
7 2 3 7 6
8 7 1 7 8 1 1 4 5 2
9 9
2
1
3
（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（Ⅱ）从图中考核成绩满足[70,79]X ∈的学生中任取3人，设Y 表示这3人重成绩满足8510X -≤的人数，求Y 的分布列和数学期望； （Ⅲ）根据以往培训数据，规定当85
(1)0.510
X P -≤≥时培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由.
解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件A 由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀,所以所求概率()P A 约为 7
30
（Ⅱ）Y 的所有可能取值为0,1,2,3 因为成绩[70,80]X
∈的学生共有8人，其中满足|75|10X -≤的学生有5人
所以33381
(0)56C P Y C ===， 21353
8
15(1)56C C P Y C === 12353830(2)56C C P Y C ==
=， 3
538
10
(3)56C P Y C === 随机变量Y 的分布列为:
115301015
()0123565656568
E Y =⨯
+⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）根据表格中的数据，满足
85110X -≤的成绩有16个 ,所以85168
10.5103015X P ⎛-⎫≤==> ⎪⎝⎭
所以可以认为此次冰雪培训活动有效.
【东城】(16)（本小题13分）
某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)，[18,20]，整理得到如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）求频率分布直方图中的x 的值；
（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；
（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10,12)的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10,12)的样本学生中随机抽取
3人，记X 为抽到女生的人数，求X 的分布列与数学期望()E X . （16）（共13分）
解：（Ⅰ）由0.0520.0820.1020.12221x ⨯+⨯+⨯+⨯+=，
可得0.15x =. .............................3分
（Ⅱ）0.1020.0520.30⨯+⨯=，
即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30. 5000.30150⨯=，
所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150. .............................6分 （Ⅲ）课外阅读时间在[10,12)的学生样本的频率为0.0820.16⨯=， 500.168⨯=,即阅读时间在[10,12)的学生样本人数为8， 8名学生为3名女生，5名男生，
随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，
35385(0)28C P X C ===； 12
353815
(1)28
C C P X C ===；
21353815
(2)56C C P X C ===； 33381(3)56
C P X C ===.
所以X 的分布列为：
故X 的期望5151519
()0123282856568
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. .............................13分
【朝阳】16.（本小题满分13分）
某日A,B,C 三个城市18个销售点的小麦价格如下表： A 2430 14 B 2500 （Ⅰ）甲以B 市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C 市4个销售点中随机挑选2个了解小麦
价格.记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大.请你对A,B,C 三个城市按照小麦价
格差异性从大到小进行排序（只写出结果）. 16. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）B 市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500.所以中位
数为2500，所以甲的购买价格为2500.
C 市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，
故X 的可能取值为0，1，2.
2022241(0)6C C P X C ===， 11222442(1)63C C P X C ====，02
222
41
(2)6
C C P X C ===. 所以分布列为
所以数学期望21
()0(0)1(1)2(2)1213
6
E X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯==⨯+⨯
=. ……… 10分
（Ⅱ）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为：C,A,B ……… 13分 【丰台】17．（本小题13分）
2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：
备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值． （Ⅰ）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；
（Ⅱ）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访.
（i ）记X 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量X 的分布列； （ii ）假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升10％.记Y 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数.试比较随机变量,X Y 的均值()E X 和()E Y 的大小.（只需写出结论） 17．（共13分）
解：（Ⅰ）7个展区企业数共400+60+70+650+1670+300+450=3600家，
其中备受关注的智能及高端装备企业共40025%100⨯=家，
设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A ,
所以1001
()360036
P A =
=. ………………4分 （Ⅱ）消费电子及家电备受关注的企业有6020%12⨯=家，
医疗器械及医药保健备受关注的企业有3008%24⨯=家，共36家. X 的可能取值为0，1，2.
22423646
(0)105
C P X C ===
；
1112242
3616
(1)35C C P X C ===； 21223611
(2)105
C P X C ===
；
………………11分
（Ⅲ）()()E X E Y > ………………13分
【西城】17．（本小题满分13分）
为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的
某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据.已知该质量指标值对应的产品等级如下：
根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（图表如下,其中0a >）.
甲企业
乙企业
（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该
件产品为次品的概率；
（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁．．．．．．．
，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元.一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X 元，用频率估计概率，求X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较. 17．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由(0.0200.0220.0280.0420.080)51a +++++⨯=，得0.008a =， …………2分
所以甲企业的样本中次品的频率为(0.020)50.14a +⨯=，
故从甲企业生产的产品中任取一件,该产品是次品的概率约为0.14. ……… 4分 （Ⅱ）由图表知，乙企业在100件样品中合格品有96件，
则一等品的概率为
481962=，二等品的概率为18141963+=，三等品的概率为161
966
=， ……………… 5分
由题意，随机变量X 的所有可能取值为：120，150，180，210，240.…… 6分
频率组距
且111(120)6636P X ==⨯
=，12
111
(150)C 369P X ==⨯⨯=， 1211115(180)C 263318P X ==⨯⨯+⨯=，12111
(210)C 233P X ==⨯⨯
=， 111
(240)224
P X ==⨯=. ……………… 8分
所以随机变量的分布列为：
……………… 9分 所以
11511
()1201501802102402003691834
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………10分 （Ⅲ）答案不唯一，只要言之有理便可得分（下面给出几种参考答案）.
（1）以产品的合格率．．．（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较.
由图表可知：甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，
所以可以认为乙企业的食品生产质量更高.
（2）以产品次品率．．．为标准对甲、乙两家企业的食品质量进行比较（略）. （3）以产品中一等品的概率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较.
根据图表可知，甲企业产品中一等品的概率约为0.4；乙企业产品中一等品的概率约为0.48，即乙企业产品中一等品的概率高于甲企业产品中一等品的概率， 所以乙企业的食品生产质量更高.
（4）根据第（Ⅱ）问的定价，计算购买一件产品费用的数学期望，进而比较甲、乙两个企业产品的优劣
（略）. ……………… 13分
【石景山】16. （本小题13分）
2018年9月，某校高一年级新入学有360名学生，其中200名男生，160名女生．学校计划为家远的高
一新生提供5间男生宿舍和4间女生宿舍，每间宿舍可住2名同学．
该校“数学与统计”社团的同学为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况，按照性别进行分层抽样，其中共抽取40名男生家庭居住地与学校的距离数据（单位：km ）如下：
5
6
7
7.5
8
8.4 4 3.5 4.5 4.3
X
5 4 3 2.5 4 1.
6 6 6.5 5.5 5.
7 3.1 5.2 4.4 5 6.4 3.5 7 4 3 3.4 6.9
4.8
5.6
5
5.6
6.5
3
6
7
6.6
（Ⅰ）根据以上样本数据推断，若男生甲家庭居住地与学校距离为8.3km ，他是否能住宿？说明理由； （Ⅱ）通过计算得到男生样本数据平均值为5.1km ，女生样本数据平均值为4.875km ，求所有样本数据的
平均值；
（Ⅲ）已知能够住宿的女生中有一对双胞胎，如果随机分配宿舍，求双胞胎姐妹被分到
同一宿舍的概率． 16.（本小题13分） 解：（Ⅰ）能住宿.
因为200名男生中有10名男生能住宿，
所以40名男生样本中有2名男生能住宿。

样本数据中距离为8.4km 和8km 的男生可以住宿，距离为7.5km 以下的男生不可以住宿， 由于8.3 >8，所以男生甲能住宿。

（Ⅱ）根据分层抽样的原则，抽取女生样本数为32人.
所有样本数据平均值为
40 5.132 4.875
54032
⨯+⨯=+.
（Ⅲ）解法一：记住宿的双胞胎为12,A A ，其他住宿女生为123456,,,,,B B B B B B . 考虑1A 的室友，共有2123456,,,,,,A B B B B B B 七种情况， 所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为
17
. 解法二：设“双胞胎姐妹被分到同一宿舍”为事件A ，
则222
6422222
864241
()7
C C C P A C C C C ==. 所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为1
7.。