二章Poisson过程-精品文档
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
k !
k t exp t Poison分布，即：p N s t N t k ,k 0 , 1 ,
• 例2.1顾客依Poisson过程到达某商店，速率为4人／小时。 已知商店上午9：oo开门。试求到9：30时仅到一位顾客，
而到11：30时总计已到达5位顾客的概率。
互独立同分布的随机变量，且与 相互独立， N t, t 0
称随机过程 为复合泊松过程。 X t, t 0
i位旅客的 NtΒιβλιοθήκη 位客人，就是 。 Et Wi i1
Nt
W t ．而所要求的平均总等待时间
• 为求出它可以先求条件期望：
N t n E t W N t n t W N t n i i E 1 1 i i n nt E W t n i N 1 i
m 12 sds 195
12 0
195 195 p N 12 N 0 100 e ! K 0 K
100 K
• 2.3.2 复合Poisson过程 • 定义2.3设 是一个泊松过程， 是一列相 Y1,Y2 , N t, t 0
• 注意到给定 N 的联合密度是与 ( 0, t ] t n , W , i 1 , 2 , , n i 上均匀分布中随机样本 ，的次序统计量 U i 1 , 2 , ,n i,
U i 1 , 2 , ,n的联合密度是一样的。所以： i,
n n n nt E W t n E U E U iN i i i 1 i 1 i 1 2
的Poisson过程到达车站。若火
(0, t ] 区间里顾客的平均总等待时
• 解： 作为依Poisson过程到达的第一位顾客，他的到达时间 为 W 1 ，等到时刻t发车需等待 t W1 ．而第
等待时间为 t Wi ．在
所以总等待时间为
(0, t ] 区间段总共来了
N t i 1 i
• 命题2.1 一个计数过程 Nt 为泊松过程（ 要条件是：
0 ）的充
• (1)
• (2) • (3)
0 N 0
Nt 为齐次独立增量过程
存在正的常数
，使得对充分小的 0
p N t N t 1 o p N t N t 2 o
第二节 与Poisson过程相联系的若干 分布
• 第n-1次与第n次事件间的间隔时间记作 X 为第n次事件的到达或等待时间。
n
, 而 Wn
X
i 1
n
i
• 命题2.2
1 是均值为 的独立同分布的 X 1 ,2 , n,n
n
指数随机变量， W
服从参数为n和
的 分布。
• 定理2.1 若
第二章 Poisson 过程
第一节 Poisson 过程
定义2.1 一个整数值随机过程满足下述三个条件就称为强度为的
Poisson过程： (1)
0 ； N 0
(2) Nt 是独立增量过程；
0 ,s 0 ，增量 N s t N t 服从参数为 t 的 (3)对任何 t
N t ntnt E t W N t n nt i 2 2 i 1
最后得：
2 N t t t E t W E N t i 2 i 1 2
第三节 Poisson 过程得推广
• 例2.3 商店每天营业12个小时，前三个小时到达的顾客平均 为10人/小时，最后三个小时到达的顾客平均为15人/小时，
中间6个小时到达的顾客20人/小时。求某天接待顾客少于
100人的概率。
• 解：设顾客流
Nt 为非齐次泊松过程，强度函数
10 0 t 3 t 20 3 t 9 15 9 t 12
t n N t ,t 0为Poisson过程，则给定 N
下等待时间 W ,W 1, n 的联合密度为：
n ! f w , , w n , 0 w w t 1 n 1 n W , , W N t n n 1 n t
• 例2.2 顾客依速率为 车在时刻t离站，问在 间是多少？
• 2.3.1 非齐次Poisson过程 • 定义2.2 记数过程称 为强度为 N t, t 0 的非齐次泊松过程，若：
t 0 t 0
• （1） N0 0
• （2）N
t 为独立增量过程
的泊松分布。 s ds
t t h
• （3）对任意实数 t 0 ， 服从参数 t h N t h 0 ， N 为 m t h m t
• 解： 令t的记时单位为小时，并以9：00为起始时刻，所求
1 5 。其概率为： 事件可表示为 N 1 ,N 5 2 2
1 1 5 5 1 pN 1 , N 5 pN 1 , N N 4 2 2 2 2 2 41 1 2 e 4 42 4 e 4 2 2 11 4 ! 0.0155
k t exp t Poison分布，即：p N s t N t k ,k 0 , 1 ,
• 例2.1顾客依Poisson过程到达某商店，速率为4人／小时。 已知商店上午9：oo开门。试求到9：30时仅到一位顾客，
而到11：30时总计已到达5位顾客的概率。
互独立同分布的随机变量，且与 相互独立， N t, t 0
称随机过程 为复合泊松过程。 X t, t 0
i位旅客的 NtΒιβλιοθήκη 位客人，就是 。 Et Wi i1
Nt
W t ．而所要求的平均总等待时间
• 为求出它可以先求条件期望：
N t n E t W N t n t W N t n i i E 1 1 i i n nt E W t n i N 1 i
m 12 sds 195
12 0
195 195 p N 12 N 0 100 e ! K 0 K
100 K
• 2.3.2 复合Poisson过程 • 定义2.3设 是一个泊松过程， 是一列相 Y1,Y2 , N t, t 0
• 注意到给定 N 的联合密度是与 ( 0, t ] t n , W , i 1 , 2 , , n i 上均匀分布中随机样本 ，的次序统计量 U i 1 , 2 , ,n i,
U i 1 , 2 , ,n的联合密度是一样的。所以： i,
n n n nt E W t n E U E U iN i i i 1 i 1 i 1 2
的Poisson过程到达车站。若火
(0, t ] 区间里顾客的平均总等待时
• 解： 作为依Poisson过程到达的第一位顾客，他的到达时间 为 W 1 ，等到时刻t发车需等待 t W1 ．而第
等待时间为 t Wi ．在
所以总等待时间为
(0, t ] 区间段总共来了
N t i 1 i
• 命题2.1 一个计数过程 Nt 为泊松过程（ 要条件是：
0 ）的充
• (1)
• (2) • (3)
0 N 0
Nt 为齐次独立增量过程
存在正的常数
，使得对充分小的 0
p N t N t 1 o p N t N t 2 o
第二节 与Poisson过程相联系的若干 分布
• 第n-1次与第n次事件间的间隔时间记作 X 为第n次事件的到达或等待时间。
n
, 而 Wn
X
i 1
n
i
• 命题2.2
1 是均值为 的独立同分布的 X 1 ,2 , n,n
n
指数随机变量， W
服从参数为n和
的 分布。
• 定理2.1 若
第二章 Poisson 过程
第一节 Poisson 过程
定义2.1 一个整数值随机过程满足下述三个条件就称为强度为的
Poisson过程： (1)
0 ； N 0
(2) Nt 是独立增量过程；
0 ,s 0 ，增量 N s t N t 服从参数为 t 的 (3)对任何 t
N t ntnt E t W N t n nt i 2 2 i 1
最后得：
2 N t t t E t W E N t i 2 i 1 2
第三节 Poisson 过程得推广
• 例2.3 商店每天营业12个小时，前三个小时到达的顾客平均 为10人/小时，最后三个小时到达的顾客平均为15人/小时，
中间6个小时到达的顾客20人/小时。求某天接待顾客少于
100人的概率。
• 解：设顾客流
Nt 为非齐次泊松过程，强度函数
10 0 t 3 t 20 3 t 9 15 9 t 12
t n N t ,t 0为Poisson过程，则给定 N
下等待时间 W ,W 1, n 的联合密度为：
n ! f w , , w n , 0 w w t 1 n 1 n W , , W N t n n 1 n t
• 例2.2 顾客依速率为 车在时刻t离站，问在 间是多少？
• 2.3.1 非齐次Poisson过程 • 定义2.2 记数过程称 为强度为 N t, t 0 的非齐次泊松过程，若：
t 0 t 0
• （1） N0 0
• （2）N
t 为独立增量过程
的泊松分布。 s ds
t t h
• （3）对任意实数 t 0 ， 服从参数 t h N t h 0 ， N 为 m t h m t
• 解： 令t的记时单位为小时，并以9：00为起始时刻，所求
1 5 。其概率为： 事件可表示为 N 1 ,N 5 2 2
1 1 5 5 1 pN 1 , N 5 pN 1 , N N 4 2 2 2 2 2 41 1 2 e 4 42 4 e 4 2 2 11 4 ! 0.0155