北京市宣武区2001—2002学年度第二学期第二次质量检测高三文科数学试题.doc

北京市宣武区2001—2002学年度第二学期第二次质量检测
高三文科数学试题
2002．6
第一卷（选择题共60分）
参考公式
三角函数的和差化积公式 圆台的体积公式
2cos
2sin
2sin sin φ
θφ
θφθ-+=+ )(3
1
222121r r r r h V ++=
π 2sin
2cos 2sin sin φ
θφθφθ-+=- 其中r 1，r 2分别为圆的上、下底面半径， 2cos
2cos 2cos cos φ
θφθφθ-+=+ h 表示圆台的高 2sin
2sin 2cos cos φθφθφθ-+-=- 球体的体积公式 3
3
4R V π=球 其中R 表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

（1）设集合φ=⋂∈--==≤-=N M R x x y y N m x M 若},,1)1(|{},0{|2
则实数m 的取值范围是
A ．m ≥ -1
B ．m ＞ –1
C ．m ≤ -1
D ．m ＜ -1 （2）若直线l 过点（3，0）且与双曲线36942
2
=-y x 只有一个公共点，则这样的直线有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 （3）|z+4+3i| 3中的复数据z 的模应满足的不等式是
A ．|z| ＜ 8
B ．|z| ≤ |-4-3i|
C ．2≤|z|≤8
D ．5≤|z|≤8 （4）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转
6
π
，所得向量对应的复数是 A ．32 B ．i 33- C ．i 32- D ．i 33+ （5）设P （x ，y ）是曲线C ：0342
2
=+++x y x 上任意一点，则
x
y
的取值范围是 A ．]3,3[- B ．),3[]3,(+∞⋃--∞
C ．]33,33[-
D ．),3
3[]33,(+∞⋃--∞ （6）A 、B 、C 、D 、E 五种不同的商品要在货架上排成一排，其中A 、B 两种商品必须排在
一起，而C 、D 两种商品不能排在一起，则不同的排法共有
A ．12种
B ．20种
C ．24种
D ．48种
（7）设函数)()(),10(11)(1
2x f
y x f x x x f -=≤≤--=的反函数则的图像是
（8）用一块长3m ，宽2m 的矩形木板，在二面角为90O 的墙角处，围出一个直三棱柱形谷仓，在下面的四种设计中，容积最大的是
（9）在等比数列{a n }中，544321,18,162a a a a a a +=+=+那么等于 A ．6 B ．-6 C ．±2 D ．±6 （10）已知凸函数，则对于区间D
内的任意
)()]()()([1
,,,,212121n
x x x f x f x f x f n ：x x x n n n +++≤+++ΛΛΛ有
若函数y=sinx 在区间（0，π）上是凸函数，则在△ABC 中，sinA+sinB+sinC 的最大值是
A ．
21 B ．2
3
C ．233
D ．23
（11）一个半径为R 的球，在一个水平放置的，内壁为半圆信形（圆柱底面半径也是R ）的
槽内恰好可以无滑动地滚动一周，从槽的一端滚向另一端，设球的表面积为s ，槽的内壁面积为s ′，则s 与s ′的大小关系是
A ．s =s ′
B ．s ＜s ′
C ．s ＞s ′
D ．不确定
（12）若)()1(),(|
1|log )(,1πf f R m x a x f a m
a
与则-∈-=φ的大小关系是 A ．)()1(πf f π- B ．)()1(πf f =- C ．)()1(πf f φ- D ．不确定
第二卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上
（13）若)()13(N n x n
∈-展开式中各项系数的和为128，则展开式中x 2项的系数为__________________________________。

（14）是正实数，如果函数]4
,3[sin 2)(π
πω-
=在x x f 上是增函数，那么的取值范围是——。

（15）在数列{a n }中，a n ＞0，s n 是它的前n 项和，且)(1242
N n a a s n n n ∈++=，则它的通
项公式是a n =______________________。

（16）已知椭圆2122
,,14F F y x =+，是它的两个焦点，若P 是椭圆上任意一点，2221||||PF PF +的最小值是___________________________________。

三、解答题：本大题共6小题共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本题满分12分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ，b ，c 成等比数列。

（Ⅰ）求证：30π
≤
B π；
（Ⅱ）求B
B B
y cos sin 2sin 1++=的取值范围。

（18）（本题满分12分） 已知).1)(1(log )(,12φφx x x x f a a -+
=
（Ⅰ）求函数)()(1
x f x f -的反函数；
（Ⅱ）试比较)22(2
1)()(1
x x
x g x f
--+=
与的大小。

（19））（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，四边形A ′ABB ′是菱形，四边形BCC ′B ′是矩形，C ′B ′⊥AB 。

（Ⅰ）求证：平面CA ′B ⊥平面A ′AB ；
（Ⅱ）若C ′B ′=3，AB=4，∠ABB ′=60O ，求直线AC ′与平面BCC ′所成角的正弦值。

（20）（本小题满分12分）
有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为P 万元和Q 万元，它们与投入资金x （万元）的关系有经验公式x Q x P 5
3,51==。

现有3万元资金投入经营甲、乙两
种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少？
（21）（本小题满分13分）
已知椭圆中心在原占，以抛物线)1(162
+=x y 的焦点为其右焦点，并且椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，A 、B 是椭圆上两点，弦AB 中点M 在直线x=4上。

（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）求证弦AB 的垂直平分线l 与x 轴交于定点。

（22）（本小题满分13分） 已知函数x
x f -=
22
)(，记数列{ a n }的前n 项和为s n ，且有),1(1f a =当n ≥2时， )25(2
1
)(22-+=-
n n a f s n n 。

（Ⅰ）计算a 1；a 2 ；a 3 ；a 4 。

（Ⅱ）求出数列{ a n }的通项公式，并给予证明。