高中数学数列知识点总结

高中数学数列知识总结
一.数列的定义及表示方法
1．数列的定义
按________________着的一列数叫数列，数列中的______________都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是________________________的函数，数列的一般形式为：______________________，简记为{a n }，其中a n 是数列的第____项．
2．通项公式：
如果数列{a n }的______与____之间的关系可以____________来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式．但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的．
3．数列常用表示法有：_________、________、________.
4．数列的分类：
数列按项数来分，分为____________、__________；按项的增减规律分为________、________、__________和__________．递增数列⇔a n ＋1______a n ；递减数列⇔a n ＋1______a n ；常数列⇔a n ＋1______a n .
5．a n 与S n 的关系：
已知S n ，则a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
，n ＝1， ，n ≥2.
1．一定顺序排列 每一个数 定义域为N *(或它的子集)a 1，a 2，a 3，…，a n ，… n
2.第n 项 n 用一个公式
3.解析法(通项公式或递推公式) 列表法 图象法
4.有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 > < ＝
5.S 1 S n －S n －1
二.等差数列及其前n 项和
1．等差数列的有关定义
(1)一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________ (n ∈N *，d 为常数)．
(2)数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是__________，其中A 叫做a ，b 的__________．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：a n ＝________，a n ＝a m ＋________ (m ，n ∈N *)．
(2)前n 项和公式：S n ＝__________＝____________.
3．等差数列的前n 项和公式与函数的关系
S n ＝d 2
n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列的充要条件是其前n 项和公式S n ＝__________.
4．等差数列的性质
(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有__________，特别地，当m ＋n ＝2p 时，______________.
(2)等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．
(3)等差数列的单调性：若公差d >0，则数列为____________；若d <0，则数列为__________；若d ＝0，则数列为________．
1．(1)2 差 a n ＋1－a n ＝d (2)A ＝a ＋b 2
等差中项 2．(1)a 1＋(n －1)d (n －m )d (2)na 1＋n (n －1)2d (a 1＋a n )n 2
3.An 2＋Bn
4.(1)a m ＋a n ＝a p ＋a q a m ＋a n ＝2a p (3)递增数列 递减数列 常数列
三.等比数列及前n 项和
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q ≠0)．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝______________.
3．等比中项：
如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．
4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·________ (n ，m ∈N *)．
(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则__________________________．
(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n } (λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n b n 仍是等比数列． (4)单调性：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎨⎧ a 1<00<q <1⇔{a n }是________数列；⎩
⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎨⎧
a 1<0q >1⇔{a n }是________数列；q ＝1⇔{a n }是____数列；q <0⇔{a n }是________数列．
5．等比数列的前n 项和公式
等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；
当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1(q n －1)q －1＝a 1q n q －1－a 1q －1
. 6．等比数列前n 项和的性质
公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为______．
1．公比 q 2.a 1·q n －1 4.(1)q n －m (2)a k ·a l ＝a m ·a n
(4)递增 递减 常 摆动 6.q n
四:数列的通项及求和
1．求数列的通项
(1)数列前n 项和S n 与通项a n 的关系：
a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧ S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2. (2)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用________求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)．
(3)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1a n
＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用__________求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1
. (4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．
(5)归纳、猜想、证明法．
2．求数列的前n 项的和
(1)公式法
①等差数列前n 项和S n ＝____________＝________________，推导方法：____________；
②等比数列前n 项和S n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
，q ＝1， ＝ ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法．
③常见数列的前n 项和：
a ．1＋2＋3＋…＋n ＝__________；
b ．2＋4＋6＋…＋2n ＝__________；
c ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝______；
d ．12＋22＋32＋…＋n 2＝__________；
e ．13＋23＋33＋…＋n 3＝__________________. (2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和． 常见的裂项公式有： ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； ②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1； ③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n . (4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (5)倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导． 1．(2)累加法 (3)累积法 2.(1)①n (a 1＋a n )2 na 1＋n (n －1)2d 倒序相加法 ②na 1 a 1(1－q n )1－q a 1－a n q 1－q ③n (n ＋1)2 n 2＋n n 2 n (n ＋1)(2n ＋1)6 ⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22
五:数列的综合应用
1．数列的综合应用
数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会．
(1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法．
(2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题．
(3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的．
(4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由S n 求a n 时，要对______________进行分类讨论．
2．数列的实际应用
数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型．
(1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求a n 还是求S n .
(2)分期付款中的有关规定
①在分期付款中，每月的利息均按复利计算；
②在分期付款中规定每期所付款额相同；
③在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值；
④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和．
1．(4)n ＝1或n ≥2。