高数重修试题

⾼数重修试题
⼀
（1）设k j i b k j i a 42,253++=-+=
，问λ和µ有什么的关系，能使得
b a
µλ+与z 轴垂直？
（2）已知k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ?的⾯积。

（3）已知23,3,2,1,,3
A a b
B a b a b a b π=+=-===
求,B
A B prj A ?
（4）设向经,522k j i M O ++=
从点)1,2,1(P 出发，向M O 作垂线PQ ,求向
量Q P
和长度。

（5）分别画出2
23y
x z +-=,2
211y x z ---=⽅程所表⽰的曲
⾯。

（6）求上半球2
220y
x a z --≤
≤与圆柱体)0(22>≤+a ax
y x 的公共
部分在xoy 坐标⾯上的投影。

（7）求两平⾯012=+-+z y x 和012=-++-z y x ⾓平分⾯的⽅程。

42012=--+=--+z y x z y x 的直
（8）求过点)1,2,1(-，并且平⾏直线
线⽅程。

（9）求直线
2
11
23
2-+=-=+z y x 与平⾯08332=-++z y x 的交点和夹⾓。

（10）求点)0,2,1(-在平⾯012=+-+z y x 上的投影。

（11）求点)1,3,2(在直线
3
22
21
7+=+=+z y x 上的投影。

4201=-+-=+-+z y x z y x 的距离。

（12）求点)2,1,3(-P 到直线
（13）求直线22x y z
=??
=?绕z 轴旋转⼀周的曲⾯⽅程并画出它的⼤致图形。

（14）求过直线026
x y x y z +=??-+=?且切于球⾯2229x y z ++=的平⾯⽅程。

（15）设122112:
,:
1
1
2
2
1
1
x y z x y z L L -++-=
=
=
=
--
（1）判断12,L L 是否相交，若相交求出交点P 和相交平⾯π；（2）在平⾯π上求⼀过P 点直线L ，且L 与1L 和2L 的夹⾓相同。

⼆：（1）求
1
)sin(1lim
)
0,0(),(--→xy xy y x 。

（2）设2
2
()
y z f x y =
-，求
y
z
x z
,
，f 可导。

（3）设(32,)z f x y xy =-，(,)f u v ⼆阶偏导连续，求
y
z x z ,， 2
2
2
,z
z
x x y （4）设)(y x y z φ=，求y z x z ,
，2
2
2,z
z
x x y
（5）求由22
222
2320
z x y
x y z ?=+??++=??所确定的隐函数的导数：,dy dz dx dx
（6）设),(v u Φ具有连续偏导数，证明由⽅程0),(=--Φbz cy az cx 所确定的函数),(y x f z =满⾜c y
z b x
z a =??+??。

（7）
21)
(,,)xyz
y f x y z y
+=（,则=)1,1,1(x f ,(0,1,1)yy f = ，
(1,1,1)zzz f = 。

（8）设函数()y x z z ,=由⽅程()()0sin 1ln =-+-xy z z 确定，则
=dz .
（9）若⼆元函数),(y x f 满⾜()xy x y x f x 2cos ,+=，()y
y e x y x f +=2
,且
()10,0=f
，则
=),(y x f .
（10）设()()(),,sin sin sin f x y z x y z =，则z f =_____________________.（11）设2u x y =-，3v x y =+，变换⽅程2
2
2
2
2
60z z z x
x y
y
+
-
=
三：
（1）求曲线
:
sin ,1cos ,112
4sin ,2
x t t y t t z π
=-
=--=?在（
，的切线⽅程和法平⾯⽅程。

4532032
22=-+-=-++z y x x z y x 在点)1,1,1(处的切线及法平⾯⽅程。

（2）求曲线
（3）椭球⾯12222=++z y x 上平⾏于平⾯02=+-z y x 的切平⾯⽅程。

（4）设(),,0F u v w =，其中函数(),,F u v w 具有连续偏导数，在()1,1,1处法向量()1,2,3n =
，求曲⾯()23,,0F x y z =在()1,1,1处的切平⾯⽅程。

（5）求函数222z y x u ++=在曲线32,,t z t y t x ===上点)1,1,1(处，沿曲线在该点的切线正⽅向的⽅向导数。

（6）设(),z z x y =是由⽅程30z xz y +-=所确定隐函数，问在
()(),0,1x y =处，
1. 沿什么⽅向z 的增长率最⼤？
2. 函数在该点沿此⽅向的⽅向导数是多少？
（7）设曲⾯∑是由曲线2
x y =绕着x 轴旋转⽽得，求∑上点
22,
22,1处的⼀个单位法向量。

（8）
1.0),(,0),(0000==y x f y x f y x 是),(y x f 在),(00y x 取得极值的条件，A:充分， B 必要， C 充分必要， D ⽆关
2.),(y x f 在),(00y x 点有极限是),(y x f 在),(00y x 有偏导数的条件，A:充分， B 必要， C 充分必要， D ⽆关
3.),,(z y x f 在),,(000z y x 点沿任意⽅向有⽅向导数是),,(z y x f 在),,(000z y x 的条件，A:充分， B 必要， C 充分必要， D ⽆关（9）曲⾯∑满⾜⽅程1y z x
x y z ++=，求曲⾯∑在(1,2,1)点
的切平⾯⽅程。

（10）
求函数ln[u x y z =+++在(1,1,1)点的最⼤⽅
向导数，并求出取得该最⼤⽅向导数的⽅向向量在⽅向(1,2,1)上的投影。

(11) 设函数()y x f ,y y ax x a 22++-=定义在区域0>x ，如果()y x f ,在点()00,y x 处取得极值，试指出实数a 的取值范围并问()00,y x f 是极⼤值还是极⼩值？
（12）求原点到曲⾯22()1x y z --=的最短距离。

（13）设长⽅体三个⾯在坐标⾯上，其中⼀个顶点在平⾯
1x y z a b c
++=，且
0,0,0a b c >>>.问：长⽅体的边长为多少时，其体积最⼤.
四：
（1）化下列⼆重积分为⼆次积分：
σd y x f D
),( D 1.是由x y x y ==2
2,所围；2是由0,1,===x y x y 所围；
3. 是由2,1,==
=x x
y x y 所围；4. 是由x y x y =-=2
,2所围；
（2）计算⼆重积分： 1.1
1
2
sin()x
dx y dy ??
2. ()??+=
D
yd x x I σ
||，其中D ：y y x y 222≤+≤.
3.32(D
y x y x σ++??，其中22{(,)|2}D x y x y x =+≤。

4.cos()d D
x y σ+??，其中:,0,2
D y x y x π
===
所围。

（3）改换⼆次积分??
--2
1
222
),(x
x x dy y x f dx 的积分次序。

（4）把积分??
-+a y
a dx y x dy 0
2
2
2
2)(化为极坐标形式，并计算积分值。

（5）
2sin 2
(3sin 2)d d π
ρ?ρρ-?
（6）设⽴体Ω由曲⾯z =及2
2
2z x y =--所围，试计算该⽴体的
体积.
（7）设⼀密度为µ的匀质⽴体Ω由曲⾯222y x z +=以及平⾯1=z 与
2=z 所围成，求Ω关于z 轴的转动惯量z I ，22
()z I x y dv Ω
=
+
（8）设(){}
1|,,2
22
≤++=
z y x
z y x Ω，求()Ω
++dV z y x 2
（9）利⽤三重积分计算由曲⾯22,4z x y z =+=所围⽴体的质⼼（设密度1=ρ）。

五：（1）计算对弧长的曲线积分： 1.
+L
y
x ds e
2
2其中L 为圆周2
22a y x =+，直线x y =及x 轴在第⼀象限内
所围成的扇形的整个边界。

2.
Γ
yzds x
2
，其中Γ为折线ABC ，这⾥A 、B 、C 依次为点)0,0,0(、)2,0,0(、
)2,1,1(；
（2）计算对坐标的曲线积分：
dy x y dx y x )()( 其中L ：抛物线
x y =2
上从点)1,1(到点)2,4(的直线段。

（3）利⽤格林公式计算：1.
-+-L
dy xy y dx xy x
)2()(2
32
，其中L 是四个
顶点分别为)0,0(、)0,2(、)2,2(和)2,0(的正⽅形区域的正向边界。

2.?+-++-l
dy x xy x dx y xy )4()32(3
24，其中L 为上半圆x y x =+2
2从点
)0,1(到点)0,0(
3.
3222
(2cos )(12sin 3)l
xy y x dx y x x y dy -+-+?，其中L 为摆线
sin ;1cos x t t y t =-=-上从点)0,0(到点(,2)π的⼀段弧。

（4）计算曲线积分y d y
x y
dx x
y x
I L
+
=arctan
1arctan
1
,
1.L 为点
21,
1,3的有向直线段；
2.L 为由圆弧42
2
=+y x ，12
2
=+y x ，直线x y 3
3=，x y 3=围成的
在第⼀象限的逆时针⽅向的闭曲线.
（5）验证下列dy y x Q dx y x P ),(),(+在整个xoy 平⾯内是某⼀函数),(y x u 的全微分，并求这样的⼀个),(y x u ：
1. dy y x dx y x )2()2(+++；
2. y e x x ye e x y x y d )e (d )(+++
（6）求
2
2
2L
ydx xdy x y
-+?
,其中L 是逆时针⽅向运⾏的椭圆1342
2
=+y
x。

（7）求摆线)0()cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 的质⼼，其中密度为常数。

六：
（1）计算对⾯积的曲⾯积分：??∑
+--dS z x x xy )22(2
其中∑为平⾯
622=++z y x 在第⼀卦限的部分。

（2
）求球冠0z h z a =≤≤≤的曲⾯⾯积。

（3）计算对⾯积的曲⾯积分：??∑
+dS z y )(其中∑为锥⾯2
被柱
⾯x z 22=所割下部分的曲⾯⾯积（4）求积分
dS z y x )(2
22++??
∑
，∑是圆柱⾯;422=+y x
.40≤≤z
（5）计算对坐标的曲⾯积分：??∑
dxdy z x 2
2，其中∑为球⾯2
222R
z y x =++的下半部分下侧。

（6）计算对坐标的曲⾯积分：
∑
++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz
)2()(2
322
，其中∑为上半部分球⾯
2
2
2
2
2
2
,0a y x y x a z ≤+--≤≤的表⾯外侧。

（7）计算对坐标的曲⾯积分：
332
(2sin )(cos 3)(22)xy y z dydz x yx z dzdx x y z dxdy ∑
+++-+++-??其中∑是曲⾯122
2
-+=y x
z ；位于1≤z 的下侧。

（8）求⼒F y i z j x k =++
沿闭曲线Γ作的功，其中Γ为平⾯
1x y z ++=被三坐标平⾯所截成的三⾓形的整个边界，从
z
轴正向看，取逆时针⽅向．
七：
1. 判定下列级数的收敛性：（1） ++
+++
++
)3
12
1()3
12
1(
)3
12
1(
2
2
n
n
（2）)1
32(
1∑∞
=++n n n （3）n
n n
n )1(
1
∑∞
=+ （4）∑
∞
=??
（5）∑∞
=-+-2
1
1
ln
)
1(n n n n （6）
∑
∞
=-0
3
2
)1(n n
n
n （7）∑
∞
=2
ln )
(ln 1n n
n
2求下列幂级数的收敛区域：（1）∑
∞
=+1
32n n
n
n x n
(2)2
1
(1)n n x n
21
n n
n x
n +∞
=-+∑
3. 求下列级数的和函数：
（1）∑
∞
=+1
1
n n
n x
（2）∑
∞
=++0
1
2)
12(!1n n x
n n （3）∑
∞
=--1
2
22
12n n n
x
n
4.将函数2
x xe y =展开成x 的幂级数，并求展开式成⽴的区间。

5. 将函数6522 +-=x x x y 展开成x 的幂级数，并求展开式成⽴的区间。

6. 将函数x
7.将函数x y 2ln =展开成1-x 的幂级数，并求展开式成⽴的区间。

8.设()f x 是以2π为周期的函数，0()0
0x x f x x ππ
-≤
≤
∑∞
=++
10)
sin cos (2n n n
nx b nx a
a ，求系数
22,,
a b 以及级数
∑∞
=++
1
0)sin cos (2
n n n
nx b nx a
a 在ππ3,2-==x x 的值。

9. 将函数)0(2
)(ππ≤≤-=x x
x f 展开成的正弦级数和余弦级数.。