2019_2020学年高中数学第1章三角函数1.1.1任意角课件新人教A版必修4

拓展提升 在 0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)把任意角化为 α＋k·360°(k∈Z 且 0°≤α<360°)的形 式，关键是确定 k.可以用观察法(α 的绝对值较小)，也可用 除法．
(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方 法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构 建不等式求出 k 的值．
探究 4 区域角的表示 例 4 写出终边落在阴影部分的角的集合． 解 设终边落在阴影部分的角为 α，角 α 的集合由两部 分组成．
①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}． ②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}． ∴角 α 的集合应当是集合①与②的并集：
【跟踪训练 2】 已知－990°<α<－630°，且 α 与 120° 角的终边相同，则 α＝_－__9_6_0_°__.
解析 ∵α 与 120°角终边相同， 故有 α＝k·360°＋120°，k∈Z. 又∵－990°<k·360°＋120°<－630°， 即－1110°<k·360°<－750°，解得－3112<k<－2112， 故当 k＝－3 时，α＝(－3)·360°＋120°＝－960°.
课堂互动探究
探究 1 正确理解角的概念 例 1 下列命题正确的是( ) A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．在 90°≤β<180°范围内的角 β 不一定是钝角 D．小于 90°的角是锐角
解析 终边与始边重合的角还可能是 360°，720°，…， A 错误；终边和始边都相同的两个角可能相差 360°的整数 倍，如 30°与－330°，B 错误；由于在 90°≤β<180°范围内 的角 β 包含 90°角，所以不一定是钝角，C 正确；小于 90° 的角可以是 0°，也可以是负角，D 错误．故选 C.
探究 3 象限角的判定 例 3 (1)已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在 x 轴 的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角． ①－75°；②855°；③－510°； (2)若角 α 是第一象限角，问－α，2α，α3是第几象限角？
解 (1)作出各角，其对应的终边如图所示：
①由图 a 可知：－75°是第四象限角． ②由图 b 可知：855°是第二象限角． ③由图 c 可知：－510°是第三象限角．
终边所在的位置 x 轴非负半轴 x 轴非正半轴 y 轴非负半轴 y 轴非正半轴
角的集合 {α|α＝k·360°，k∈Z} {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z} {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
③k·120°<α3<k·120°＋30°(k∈Z)． 解法一(分类讨论)：当 k＝3n(n∈Z)时， n·360°<α3<n·360°＋30°(n∈Z)， ∴α3是第一象限角； 当 k＝3n＋1(n∈Z)时， n·360°＋120°<α3<n·360°＋150°(n∈Z)，
∴α3是第二象限角； 当 k＝3n＋2(n∈Z)时， n·360°＋240°<α3<n·360°＋270°(n∈Z)， ∴α3是第三象限角． 综上可知：α3是第一、二或第三象限角．
3．终边相同的角
设 α 表示任意角，所有与角 α 终边相同的角，包括 α 本
身构成一个集合，这个集合可记为
□13 {β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原
点．( × )
(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐
解法二(几何法)：如图，
先将各象限分成 3 等份，再从 x 轴的正向的上方起， 依次将各区域标上 1,2,3,4，则标有 1 的区域即为α3终边所落 在的区域，故α3为第一、二或第三象限角．
拓展提升 象限角的判定方法
(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为 0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立 一一对应的关系．
第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角
课前自主预习
□ 1.角的概念
(1)角可以看成 1 平面内一条射线绕着端点从一个 位置旋转到另一个位置所成的图形．
□ (2)角的表示：如图，OA 是角 α 的 2 始边 ，OB 是 角 α 的 □3 终边 ，O 是角的 □4 顶点． 角 α 可记为
(2)将角转化到 0°～360°范围内．在直角坐标平面内， 在 0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．
(3)nα 所在象限的判断方法 确定 nα 终边所在的象限，先求出 nα 的范围，再直接转 化为终边相同的角即可．
(4)αn所在象限的判断方法 已知角 α 所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法： ①用不等式表示出角αn的范围，然后对 k 的取值分情况 讨论：被 n 整除；被 n 除余 1；被 n 除余 2；…；被 n 除余 n－1.从而得出结论．
(2)∵α 是第一象限角， ∴k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)． ①－k·360°－90°<－α<－k·360°(k∈Z)， ∴－α 所在区域与(－90°，0°)范围相同， 故－α 是第四象限角． ②2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)， ∴2α 所在区域与(0°，180°)范围相同， 故 2α 是第一、二象限角或终边落在 y 轴的正半轴．
1.角的概念的理解
(1)弄清角的始边与终边． (2)结合图形明确这个角从始边到终边转过了多少度． (3)注意逆时针旋转与顺时针旋转的区别． 2.研究象限角时应注意的问题
(1)前提条件：角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的 非负半轴重合．
(2)并不是任何角都是象限角，如终边落在坐标轴上的角 叫轴线角，轴线角的表示如下表：
拓展提升 理解与角的概念有关问题的关键
关键在于正确理解任意角与锐角、直角、钝角、平角、 周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另 外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证 明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
【跟踪训练 1】 (1)经过 2 个小时，钟表上的时针旋转 了( )
[变式探究] 在与角 1030°终边相同的角中，求满足下 列条件的角．
(1)最小的正角； (2)最大的负角． 解 1030°÷360°＝2……310°， 所以 1030°＝2×360°＋310°， 所以与角 1030°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋ 310°，k∈Z}． (1)所求的最小正角为 310°. (2)取 k＝－1 得所求的最大负角为－50°.
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
解析 ∵φ 是第二象限角，∴k·360°＋90°<φ<k·360°＋ 180°，k∈Z，∴k·180°＋45°<φ2<k·180°＋90°，k∈Z，即φ2终 边是第一或第三象限角，而－φ 显然是第三象限角，∴90° －φ 是第四象限角．故选 B.
{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋ 210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k ＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋ 30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
A．60° B．－60° C．30° D．－30° (2)射线 OA 绕端点 O 顺时针旋转 90°到 OB 位置，接着 逆时针旋转 100°到 OC 位置，然后再顺时针旋转 240°到 OD 位置，求∠AOD 的大小．
答案 (2)见解析
解析 (1)钟表的时针旋转一周是－360°，其中每小时 旋转－31620°＝－30°，所以经过 2 个小时应旋转－60°.故选 B.
＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．
[条件探究] 将例 4 改为下图，写出角的终边在图中阴 影区域的角的集合(包括边界)．
解 (1){α|45°＋ k·360°≤α≤90°＋ k·360°， k ∈ Z} ∪ {α|225°＋ k·360°≤α≤270°＋ k·360°， k ∈ Z} ＝ {α|45°＋ k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}．
“角 α”或“∠α”或简记为“α”．
按旋转方向可将角分为如下三类：
2．象限角
□ (1)象限角：若角的顶点在 8 原点 ，角的始边与 □9 x 轴非负半轴 重合，则 □10 角的终边在第几象限 ，
就称这个角是第几象限角．
□ (2)轴线角：若角的终边在 11 坐标轴 □12 不属于 任何象限．
上，则这个角
(2)如图，∠AOB＝－90°，∠BOC＝100°，∠COD＝－ 240°，∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝(－90°)＋100° ＋(－240°)＝－230°.
探究 2 终边相同的角的表示 例 2 (1)写出与 α＝－1910°终边相同的角的集合，并把 集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素 β 写出来； (2) 分 别 写 出 终 边 在 下 列 各 图 所 示 的 直 线 上 的 角 的 集 合．
角．( √ )
(3) 象 限 角 与 终 边 落 在 坐 标 轴 上 的 角 表 示 形 式 是 唯 一
的．( × )
2．做一做 (1)下列说法正确的是( ) A．最大角是 180° B．最大角是 360° C．角不可以是负的 D．角可以任意大小
解析 由角的定义，角可以是任意大小的．故选 D.
(2)下列哪个角是第三象限角( ) A．15° B．105° C．215° D．315°
解析 ∵215°＝180°＋35°，∴215°是第三象限的角．故 选 C.
(3)(教材改编 P5T4)下列各角中，与 60°角终边相同的角 是( )
A．－300° B．－60° C．600° D．1380°
解析 与 60°角终边相同的角 α＝k·360°＋60°，k∈Z， 令 k＝－1，则 α＝－300°.故选 A.
解 (1)与角 α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝ －1910°＋k·360°，k∈Z}．
∵－720°≤β<360°， ∴－720°≤－1910°＋k·360°<360°， 33116≤k<63116. 故 k＝4,5,6， k＝4 时，β＝－1910°＋4×360°＝－470°，
k＝5 时，β＝－1910°＋5×360°＝－110°， k＝6 时，β＝－1910°＋6×360°＝250°. (2)①{β|β＝k·180°，k∈Z}． ②{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．
(2)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α| －150°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
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拓展提升 区域角的写法可分三步
(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； (2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角 α， β，写出所有与 α，β 终边相同的角； (3)用不等式表示区域内的角，组成集合．
【跟踪训练 4】 写出终边落在图中阴影区域内(不包括 边界)的角的集合．
解 (1)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角， 得{α|k·360°＋135°<α<k·360°＋300°，k∈Z}．
(2){α|k·360°－60°<α<k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|k·360°＋ 120°<α<k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|k·180°－60°<α<k·180°＋ 45°，k∈Z}．
②作出各个象限的从原点出发的 n 等分射线，它们与坐 标轴把周角分成 4n 个区域．从 x 轴非负半轴起，按逆时针 方向把这 4n 个区域依次循环标上 1,2,3,4.α 的终边在第几象 限，则标号为几的区域就是αn的终边所落在的区域．如此，αn 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．
【跟踪训练 3】 若 φ 是第二象限角，那么φ2和 90°－φ 都不是( )