2024届北京市东城区名校数学九上期末检测模拟试题含解析

2024届北京市东城区名校数学九上期末检测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝3，AC ＝4，则sin B 的值为（ ）
A ．45
B ．35
C ．34
D ．43
2．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球（ ） A ．12个 B ．16个 C ．20个 D ．25个
3．一个不透明的口袋里装有除颜色都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有个（ ） A ．45 B ．48 C ．50 D ．55
4．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝4cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm /s 的速度从A 点出发，沿着A →B →A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜12），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为（ ）
A ．4或5
B ．4或7
C ．4或5或7
D ．4或7或9
5．对于反比例函数2y x
=，下列说法中不正确的是（ ） A ．点()2,1--在它的图象上
B ．它的图象在第一、三象限
C ．y 随x 的增大而减小
D ．当0x <时，y 随x 的增大而减小
6．下列二次函数的开口方向一定向上的是（ ）
A ．23y x =-
B ．2y ax =
C ．23y x =
D ．2(1)y a x =-
7．某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0-9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ） A ． B ． C ． D ．
8．若圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积为（ ）
A ．5π
B ．10π
C ．20π
D ．40π
9．如图，在ABC ∆中，点D ，E ，
F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且//DE BC ，//EF AB ，若3AB BD =，则:ADE EFC S S ∆∆的值为（ ）
A ．4:1
B ．3:2
C ．2:1
D ．3:1
10．下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是（ ）
A ．21m y x +=
B ．1m y x +=
C ．m y x =
D ．m y x
-= 二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图,从一块直径是2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，那么圆锥的底面圆的半径为___________m ．
12．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AC =，5sin 13
B =，点P 为边B
C 上一点，3PC =，将ABC 绕点P 旋转得到A B C '''（点A 、B 、C 分别与点A '、B '、C '对应），使B C AB ''
，边A C ''与边AB 交于点G ，那么A G
'的长等于__________.
13．若抛物线2
y x ax b =++与x 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线1x =，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是______．
14．如果关于x 的一元二次方程x 2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a 的值为 ．
15．若正多边形的每一个内角为135，则这个正多边形的边数是__________．
16．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数中，任取一个数是奇数的概率是 ．
17．如图，正方形ABCD 的顶点B ，C 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝k x （k≠0）在第一象限的图象经过顶点A(m ，2)和CD 边上的点E(n ，23
)，则点D 的坐标是_____．
18．点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞BP ），则
BP AP
=________． 三、解答题(共66分) 19．（10分）某农科所研究出一种新型的花生摘果设备，一期研发成本为每台6万元，该摘果机的销售量y (台)与售价x (万元/台)之间存在函数关系：24y x =-+． （1）设这种摘果机一期销售的利润为1W (万元)，问一期销售时，在抢占市场份额(提示：销量尽可能大)的前提下利润达到32万元，此时售价为多少？
（2）由于环保局要求该机器必须增加除尘设备，科研所投入了7万元研究经费，使得环保达标且机器的研发成本每台降低了1万元，若科研所的销售战略保持不变，请问在二期销售中利润达到63万元时，该机器单台的售价为多少？
20．（6分）已知2222212a b a A a ab b b a a ab
⎛⎫-=+÷ ⎪-+--⎝⎭ （1）化简A ；
（2）若点P （a ，b ）在反比例函数y ＝﹣2x
的图象上，求A 的值． 21．（6分）（1）问题发现：如图1，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点（不与点B 、C 重合）将线段AD 绕
点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ，则线段BD 与CE 的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：如图2，在Rt △ABC 与Rt △ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将△ADE 绕点A 旋转，使点D 落在BC 的延长线上时，连接EC ，写出此时线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系，并证明；
（3）拓展延仲：如图3，在四边形ABCF 中，∠ABC ＝∠ACB ＝∠AFC ＝45°．若BF ＝13，CF ＝5，请直接写出AF 的长．
22．（8分）《海岛算经》第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰A 的高度AH ，立两根高3丈的标杆BC 和DE ，两竿之间的距1000BD =步，D B H 、、成一线，从B 处退行123步到F ，人的眼睛贴着地面观察A 点，
A C F 、、三点成一线；从D 处退行127步到G ，从G 观察A 点，A E G 、、三点也成一-线．试计算山峰的高度AH 及H
B 的长． (这里1步6=尺，1丈10=尺，结果用丈表示) ．怎样利用相似三角形求得线段AH 及HB 的长呢？请你试一试!
23．（8分）先化简，再求值：22231()111
a a a a --÷+-+，其中1012cos30()(3)2a π-=︒+-- 24．（8分）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与坐标轴分别交于A ，B ，C 三点，连接AC ，BC ．
（1）直接写出A ，B ，C 三点的坐标；
（2）点M 是线段BC 上一点（不与B ，C 重合），过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，连接CN ．若点M 关于直线CN 的对称点'M 恰好在y 轴上，求出点M 的坐标；
（3）在平面内是否存在一点P ，使AOC ∆关于点P 的对称'''A O C ∆（点'A ，'O ，'C 分别是点A ，O ，C 的对称点）恰好有两个顶点落在该抛物线上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
25．（10分）如图，一次函数y kx b +＝的图象与反比例函数m y x
=
的图象相交于(1)A n ﹣，、(21)B ，﹣两点，与y 轴相交于点C ．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求ABD ∆的面积；
（3）若1122)((M x y N x y ，、，)是反比例函数m y x
=上的两点，当120x x ＜＜时，比2y 与1y 的大小关系． 26．（10分）在不透明的袋中有大小形状和质地等完全相同的4个小球，它们分别标有数字1234、、、，从袋中任意摸出一小球(不放回)，将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一小球．
（1）请你用列表或画树状图的方法表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果；
（2）规定：如果摸出的两个小球上的数字都是方程27120x x -+=的根，则小明贏；如果摸出的两个小球上的数字
都不是方程27120x x -+=的根，则小亮赢．你认为这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？请说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据三角函数的定义解决问题即可．
【题目详解】解：如图，在Rt △ABC 中，
∵∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，
∴AB ＝
2222435AB BC +=+=， ∴sinB ＝AC AB ＝45
故选：A ．
【题目点拨】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2、B
【解题分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【题目详解】解：设盒子中有红球x 个，由题意可得：
44
x +=0.2， 解得：x=16，
故选：B ．
．
【题目点拨】
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的概率得到相应的等量关系
3、A
【分析】小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球；摸到白球与摸到红球的次数之比为1：9，由此可估计口袋中白球和红球个数之比为1：9；即可计算出红球数．
【题目详解】∵小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球，
∴白球与红球的数量之比为1：9，
∵白球有5个，
∴红球有9×5=45（个），
故选A．
4、D
【解题分析】由条件可求得AB=8，可知E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，当△BDE为直角三角形时，只有∠EDB=90°或∠DEB=90°，再结合△BDE和△ABC相似，可求得BE的长，则可求得t的值．
【题目详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4cm，
∴AB=2BC=8cm，
∵D为BC中点，
∴BD=2cm，
∵0≤t＜12，
∴E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，
按运动时间分为0≤t≤8和8＜t＜12两种情况，
①当0≤t≤8时，AE=tcm，BE=BC-AE=（8-t）cm，
当∠EDB=90°时，则有AC∥ED，
∵D为BC中点，
∴E为AB中点，
此时AE=4cm，可得t=4；
当∠DEB=90°时，
∵∠DEB=∠C，∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴BE BD
BC AB
=，即
82
48
t-
=，
解得t=7；
②当8＜t＜12时，则此时E点又经过t=7秒时的位置，此时t=8+1=9；
综上可知t的值为4或7或9，
故选：D．
【题目点拨】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，用t表示出线段的长，化动为静，再根据相似三角形的对应边成比例找到关于t的方程是解决这类问题的基本思路．
5、C
【解题分析】根据反比例函数的性质用排除法解答，当系数k＞0时，函数图象在第一、三象限，当x＞0或x＜0时，y随x的增大而减小，由此进行判断．
【题目详解】A、把点（-2，-1）代入反比例函数y=2
x
得-1=-1，本选项正确；
B、∵k=2＞0，∴图象在第一、三象限，本选项正确；
C、∵k=2＞0，∴图象在第一、三象限内y随x的增大而减小，本选项不正确；
D、当x＜0时，y随x的增大而减小，本选项正确．
故选C．
【题目点拨】
考查了反比例函数y=k
x
（k≠0）的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、
四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．6、C
【分析】利用抛物线开口方向向上，则二次项系数大于0判断即可．
【题目详解】二次函数的开口方向一定向上，则二次项系数大于0，
故选：C．
【题目点拨】
此题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c中，当a＞0，开口向上解题是解题关键．
7、A
【解题分析】试题分析：根据题意可知总共有10种等可能的结果，一次就能打开该密码的结果只有1种，所以P（一次就能打该密码）＝，故答案选A.
考点：概率.
8、B
【分析】利用圆锥面积=Rr计算.
【题目详解】Rr =
2510，
故选：B.
【题目点拨】 此题考查圆锥的侧面积公式，共有三个公式计算圆锥的面积，做题时依据所给的条件恰当选择即可解答.
9、A
【分析】根据3AB BD =，//DE BC 得到AC=3EC ，则AE=2EC ，再根据//DE BC ，//EF AB 得到△ADE ∽△EFC ，再根据面积之比等于相似比的平方即可求解.
【题目详解】∵//DE BC ，
∴AB ：BD=AC ：EC ，
又∵3AB BD =
∴AC=3EC ，
∴AE=2EC ，
∵//DE BC ，//EF AB
∴∠AED=∠C ，∠ADE=∠B=∠EFC ，
∴△ADE ∽△EFC
又AE=2EC
∴:ADE EFC S S ∆∆=（2：1）2=4:1
故选A.
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
10、A
【分析】根据反比例函数的性质，函数若位于一、三象限，则反比例函数系数k ＞0，对各选项逐一判断即可．
【题目详解】解：A 、∵m 2+1＞0，∴反比例函数图象一定在一、三象限；
B 、不确定；
C 、不确定；
D 、不确定．
故选：A ．
【题目点拨】
本题考查了反比例函数的性质，理解反比例函数的性质是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、24 【分析】根据题意可知扇形ABC 围成圆锥后的底面周长就是弧BC 的弧长，再根据弧长公式和圆周长公式来求解. 【题目详解】解：作OD AC ⊥于点D ,连结OA 、BC,
∵∠BAC=90°
∴BC 是直径，OB=OC,
45, 2OAD AC AD ∴∠==,
222AC ∴=÷=
90221802
ππ⨯∴= ∴圆锥的底面圆的半径()22224ππ=
÷= 故答案为：24
【题目点拨】
本题考查了扇形围成圆锥形，圆锥的底面圆的周长就是原来扇形的弧长，找到它们的关系是解题的关键. 12、2013
【分析】如图，作PH ⊥AB 于H ．利用相似三角形的性质求出PH ，再证明四边形PHGC′是矩形即可解决问题．
【题目详解】如图，作PH ⊥AB 于H ．
在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，sinB=
513
， ∴AC AB =513， ∴AB=13，2222135AB AC -=-，
∵PC=3，
∴PB=9， ∵∠BPH ∽△BAC ， ∴
PH PB AC AB ， ∴9513
PH =， ∴PH=4513
， ∵AB ∥B′C′，
∴∠HGC′=∠C′=∠PHG=90°，
∴四边形PHGC′是矩形，
∴CG′=PH=
4513
， ∴A′G=5-4513=2013
， 故答案为2013． 【题目点拨】
此题考查旋转变换，平行线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13、()2
14y x =+-
【分析】先根据定弦抛物线的定义求出定弦抛物线的表达式，再按图象的平移规律平移即可．
【题目详解】∵某定弦抛物线的对称轴为直线1x =
∴某定弦抛物线过点(0,0),(2,0)
∴该定弦抛物线的解析式为22(2)2(1)1y x x x x x =-=-=--
将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是2(12)13y x =-+--
即()214y x =+-
故答案为：()214y x =+-．
【题目点拨】
本题主要考查二次函数图象的平移，能够求出定弦抛物线的表达式并掌握平移规律是解题的关键．
14、﹣1或1
【解题分析】试题分析：根据方程有两个相等的实数根列出关于a 的方程，求出a 的值即可． ∵关于x 的一元二次方程x 1+1ax+a+1=0有两个相等的实数根，∴△=0，即4a 1﹣4（a+1）=0，解得a=﹣1或1．
考点：根的判别式．
15、八（或8）
【解题分析】分析：根据正多边形的每一个内角为135，求出正多边形的每一个外角，根据多边形的外角和，即可求出正多边形的边数.
详解：根据正多边形的每一个内角为135，
正多边形的每一个外角为：18013545,︒-︒=︒ 多边形的边数为：
3608.45︒=︒ 故答案为八.
点睛：考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是解题的关键.
16、59
． 【解题分析】试题分析：∵从1到9这九个自然数中一共有5个奇数， ∴任取一个数是奇数的概率是：
59． 故答案是59
． 考点：概率公式．
17、 (3，2)
【分析】根据题意和函数图象，可以用含m 代数式表示出n ，然后根据点A 和点E 都在改反比例函数图象上，即可求得m 的值，进而求得点E 的坐标，从而可以写出点D 的坐标，本题得以解决．
【题目详解】解：由题意可得，
n ＝m+2，
则点E 的坐标为（m+2，23
）， ∵点A 和点E 均在反比例函数y ＝
k x （k≠0）的图象上， ∴2m ＝2(2)3
m +， 解得，m ＝1，
∴点E 的坐标为（3，23
）， ∴点D 的坐标为（3，2），
故答案为：（3，2）．
【题目点拨】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
18．
【解题分析】解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞BP ）， ∴BP AP AP AB ==12．故答案为12
． 点睛：本题考查了黄金分割的定义，牢记黄金分割比是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台；（2）要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．
【分析】（1）先根据等量关系式：总利润=（售价-成本）⨯销售量，列出函数关系式，再将132W =代入函数关系式得出方程求解即得；
（2）先根据等量关系式：总利润=（售价-新成本）⨯销售量-7，列出函数关系式，再将263W =代入函数关系式得出方程求解即得．
【题目详解】（1）根据题意列出函数关系式如下：
21(6)(6)(24)(15)81W x y x x x =-⋅=--+=--+
当132W =时，2(15)8132x --+=，
解得18x =，222x =．
∵要抢占市场份额
∴8x =．
答：在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台．
（2）降低成本之后，每台的成本为5万元，每台利润为(5)x -万元，销售量24y x =-+．
依据题意得22(5)(24)729127W x x x x =--+-=-+-，
当263W =时，22912763x x -+-=，解得110x =，219x =．
∵要继续保持扩大销售量的战略
∴10x =
答：要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．
【题目点拨】
本题考查函数解析式及解一元二次方程，解题关键是正确找出等量关系式：总利润=（售价-成本）⨯销售量．
20、（1）ab ；（1）A ＝﹣1
【分析】（1）先把分子、分母因式分解，再约分，然后同分母分式相加，分母不变，分子相加，最后把除法转化乘法，约分即可；
（1）把P 点代入解析式，求得ab ＝﹣1，即可求得A ＝﹣1．
【题目详解】解：（1）2()()1[
]()()a b a b a A a b b a a a b +-=+÷--- [
]()a b a a a b a b a b +=---- ()b a a b a b
=-- ＝ab ，
（1）∵点P （a ，b ）在反比例函数2y x
=-
的图象上， ∴ab ＝﹣1，
∴A ＝﹣1．
【题目点拨】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分式的运算，把分式化简是解题的关键．
21、（1）BD ＝CE ，BD ⊥CE ；（2）2AD 2＝BD 2+CD 2，理由详见解析；（3）【分析】（1）证明△BAD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质解答；
（2）证明△BAD ≌△CAE ，得到BD=CE ，根据勾股定理计算即可；
（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△BAF ≌△CAG ，得到CG ＝BF ＝13，证明CFG ∆是直角三角形，根据勾股定理计算即可.
【题目详解】解：（1）在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，
∴∠B ＝∠ACB ＝90°，
∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，
∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ，
在△BAD 和△CAE 中，
∵AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BAD ≌△CAE （SAS ），
∴BD ＝CE ，∠B ＝∠ACE ＝45°，
∵∠ACB ＝45°，
∴454590BCE ∠=︒+︒=︒，
故答案为BD ＝CE ，BD ⊥CE ；
（2）2AD 2＝BD 2+CD 2，理由是：如图2，
∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，
∴∠BAD ＝∠CAE ，
在△ABD 和△ACE 中，
∵AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∵△BAD ≌△CAE （SAS ），
∴BD ＝CE ，∠B ＝∠ACE ＝45°，
∴∠BCE ＝∠ACB +∠ACE ＝45°+45°＝90°，
∴DE 2＝CE 2+CD 2，
∵AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，
∴2DE AD ＝，
∴2AD 2＝BD 2+CD 2；
（3）如图3，将AF 绕点A 逆时针旋转90°至AG ，连接CG 、FG ，
则△FAG 是等腰直角三角形，
∴∠AFG ＝45°，
∵∠AFC ＝45°，
∴∠GFC ＝90°，
同理得：△BAF ≌△CAG ，
∴CG ＝BF ＝13，
Rt △CGF 中，∵CF ＝5，
∴FG ＝12，
∵△FAG 是等腰直角三角形，
∴622
AF =＝ 【题目点拨】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题关键.
22、BH=18450丈，AH=753丈．
【分析】根据“平行线法”证得△BCF ∽△HAF 、△DEG ∽△HAG ，然后由相似三角形的对应边成比例即可求解．
【题目详解】∵AH ∥BC ，
∴△BCF ∽△HAF ，
∴BF BC HF AH
=， 又∵DE ∥AH ，
∴△DEG∽△HAG，
∴DG DE HG AH
=，
又∵BC=DE，
∴BF DG HF HG
=，
即
123127 1231271000
HB HB
=
+++
，
∴BH=30750(步)，30750步=18450丈，BH=18450丈，
又∵BF BC
HF AH
=，35
BC==
丈步，
∴AH=
()()
307501235308735
1255
123123
BH BF BC
HF BC
BF BF
++⨯⨯
====(步)，1255步=753丈，
AH=753丈．
【题目点拨】
本题主要考查了相似三角形的应用，得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG是解题关键．
23
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用特殊锐角的三角函数值、负整数指数幂与零指数幂得到a的值，继而将a的值代入计算可得．
【题目详解】原式=[
2223
(1)(1)(1)(1)
a a
a a a a
--
-
+-+-
]•（a+1）
=
1
(1)(1)
a a
+-
•（a+1）
=
1
1 a-
，
当a=2cos30°+（1
2
）-1-（π-3）0时，
原式
【题目点拨】
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及特殊锐角的三角函数值、负整数指数幂与零指数幂．
24、（1）(1,0)A -,(3,0)B ,(0,3)C ；（2）(3M -；（3）存在点115(,
)48
P 或13(,)22-，使AOC ∆关于点P 的对称'''A O C ∆恰好有两个顶点落在该抛物线上．
【分析】（1）分别令y=0，x=0，代入2y x 2x 3=-++，即可得到答案； （2）由点'M 与点M 关于直线CN 对称，且点'M 在y 轴上，//MN y 轴，得MN CM =，易得直线BC 的解析式为：3y x =-+，设点M 的横坐标为t ，则(,3)M t t -+，2
(,23)N t t t -++，列出关于t 的方程，即可求解； （3）根据题意，''A O 平行于x 轴，''O C 平行于y 轴，''1A O =，''3O C =，点'A 在点'O 的右边，点'C 在点'O 的下方，设点'O 的横坐标为m ，则'A 的横坐标为1m +，点'C 的横坐标为m ，分三种情况讨论：①若'A 、'O 在抛物线上，②若'A 、'C 在抛物线上，③'O ，'C 不可能同时在抛物线上，即可得到答案．
【题目详解】（1）令y=0，代入2y x 2x 3=-++，得2023x x =-++，解得：121
3x x =-=，， 令x=0，代入 2y x 2x 3=-++，得: y=3，
∴(1,0)A -,(3,0)B ,(0,3)C ；
（2）∵点'M 与点M 关于直线CN 对称，且点'M 在y 轴上，
∴'M CN MCN ∠=∠，
∵//MN y 轴，
∴'M CN CNM ∠=∠，
∴MCN CNM ∠=∠，
∴MN CM =，
设直线BC 的解析式为：y kx b =+，
把(3,0)B ,(0,3)C ，代入y kx b =+，得：033k b b =+⎧⎨=⎩
， ∴13k b =-⎧⎨=⎩
， ∴直线BC 的解析式为：3y x =-+，
设点M 的横坐标为t ，则(,3)M t t -+，2
(,23)N t t t -++，
∴22(23)(3)3MN t t t t t =-++--+=-+，CM ==
，
∴23t t -+=，解得：13t =20t =（舍去），
∴(32,2)M -； （3）根据题意，''A O 平行于x 轴，''O C 平行于y 轴，''1A O =，''3O C =，点'A 在点'O 的右边，点'C 在点'O 的下方，设点'O 的横坐标为m ，则'A 的横坐标为1m +，点'C 的横坐标为m ．
①若'A 、'O 在抛物线上，则2223(1)2(1)3m m m m -++=-++++
∴12
m = ∴115'(,)24
O ∵点O 与O ′关于点P 中心对称，即点P 是OO ′的中点，
∴115(,)48
P ； ②若'A 、'C 在抛物线上，则22(1)2(1)3233m m m m -++++=-+++，
解得：1m =-，
∴'(1,3)O -
同①可得：13(,)22P -；
③'O ，'C 不可能同时在抛物线上，
综上所述存在点115(,)48
P 或13(,)22-，使AOC ∆关于点P 的对称'''A O C ∆恰好有两个顶点落在该抛物线上．
【题目点拨】
本题主要考查二次函数，一次函数与几何图形的综合，掌握几何图形的特征与二次函数的性质，是解题的关键．
25、（1）一次函数的解析式为1y x +＝﹣，反比例函数的解析式为2y x
=-
；（2）3ABD S ∆＝；（3）12y y ＜． 【分析】（1）利用待定系数法即可解决求问题．
（2）根据对称性求出点D 坐标，发现BD ∥x 轴，利用三角形的面积公式计算即可．
（3）利用反比例函数的增减性解决问题即可．
【题目详解】解：（1）反比例函数m y x
=经过点21B （，﹣）， 2m ∴＝﹣，
点1A n （﹣，）在2y x
=-上， 2n ∴＝，
12A ∴（﹣，）
， 把A B ，坐标代入y kx b +＝，则有221k b k b -+=⎧⎨+=-⎩
， 解得11k b =-⎧⎨=⎩
， ∴一次函数的解析式为1y x +＝﹣，反比例函数的解析式为2y x
=-
． （2）直线1y x +＝﹣交y 轴于C ， 01C ∴（，）
， D C ，关于x 轴对称，
0121D B ∴（，﹣），（，﹣）
//BD x ∴轴，
12332
ABD S ∆∴⨯⨯＝＝． （3）1122M x y N x y （，）、（，）是反比例函数2y x
=-上的两点，且120x x ＜＜， 12y y ∴＜．
【题目点拨】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用函数的增减性，比较函数值的大小．
26、（1）见解析；（2）公平，理由见解析．
【分析】（1）可以利用树状图表示出所有的可能出现的结果；
（2）分别求得两人赢的概率，判断是否相等即可求解．
【题目详解】(1)利用树状图表示为：
；
(2)公平；
解方程27120x x -+=得：1234x x ==，，
根据树状图知，共有12种情况，
小明赢的情况有：3，4和4，3两种， 因而小明赢的概率是：21126
=， 小亮赢的情况有：1，2和2，1两种，小亮赢的概率是： 小亮赢的概率是：21126
=， 两人赢的机会相等，因而双方公平．
【题目点拨】
本题主要考查了列表法和树状图法、游戏公平性的判断，一元二次方程的求解．解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．。