高中数学苏教版选修2-3：1.5 第2课时 二项式系数的性质及应用

∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋
a5，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝－243.
①＋② (3)a1＋a2＋a3＝ 2 ＝－121.
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
11
体健康，学业有成，金榜题名！
[例 2] (1＋2x)n 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求展 开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
奇数时，中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项
的二项式系数最大．
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
24
体健康，学业有成，金榜题名！
(2)求展开式中系数最大的项的问题，可设第 r＋1 项的系数 Tr＋1
最大，则满足不等式TTrr＋ ＋11≥ ≥TTrr＋2 ，由不等式组解出 r 的值． 3．余数及整除问题
3．已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.
(1)求 a0＋a1＋a2＋…＋a5；
(2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；
(3)求 a1＋a3＋a5.
解：(1)令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.①
(2)令 x＝－1，则－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝－243.②
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
15
体健康，学业有成，金榜题名！

5．在二项式

x＋3xn 的展开式中，各项系数之和为 A，各项二项
式系数之和为 B，且 A＋B＝72，则展开式中常数项的值为
________． 解析：令 x＝1，得各项系数的和为 4n，
而各项的二项式系数的和等于 2n，
根据已知，得方程 4n＋2n＝72，解得 n＝3.
[思路点拨] 求(a＋bx)n 的展开式中系数最大的项，通常用待定 系数法，即先设展开式中的系数分别为 A1，A2，…，An＋1，再设第 r ＋1 项系数最大，由不等式组AArr＋ ＋11≥ ≥AArr， ＋2， 确定 r 的值．
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
12
体健康，学业有成，金榜题名！
所以二项展开式的通项 Tr＋1＝Cr3 x3－r3xr＝3rC3rx32－32r，显然当
r＝1 时，Tr＋1 是常数项，值为 3C13＝9. 答案：9
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
16
体健康，学业有成，金榜题名！
6．在
的展开式中，求：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数最大的项． 解：(1)∵n＝5，展开式共 6 项，二项式系数最大的项为第 3、4
，解得 5≤r≤6.
∴r＝5 或 r＝6.
∴系数最大的项为 T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
13
体健康，学业有成，金榜题名！
[一点通] (1)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这 并不意味着等号两边的个数相同．当 n 为偶数时，奇数项的二项式 系数多一个；当 n 为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项 式系数个数相同．
数和相等．
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
5
体健康，学业有成，金榜题名！
[例 1] 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求： (1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. [思路点拨] 根据展开式的特点，对 x 合理赋值，将系数分离 出来，通过式子的运算求解．
25
体健康，学业有成，金榜题名！
(1)求余数问题
求余数的关键是将原数进行合理、科学的拆分，然后借助二项展
开式进行分析．若最后一项是一个小于除数的正数，则该数就是所求
的余数；若是负数，则还要进行简单的加、减运算产生．
(2)整除问题
整除问题实际上就是求余数是否为零，因此求解整除问题可以借
助于求余数问题展开思路．
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
两项，
∴T3＝ T4＝
， ＝270x232.
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
17
体健康，学业有成，金榜题名！
(2)设展开式中第 r＋1 项系数最大，
则
，
∴33rrCCr5r5≥≥33rr－＋11CCr5r5－＋11，， ∴72≤r≤92，∴r＝4. 即展开式中第 5 项系数最大，
T5＝
.
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
20
体健康，学业有成，金榜题名！
[一点通] 利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行 合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的 和，并且其中一个数是除数的倍数，这样能保证被除式展开后的大 部分项含有除式的因式，进而可判断或证明被除数能否被除数整 除，若不能整除则可求出余数．
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
23
体健康，学业有成，金榜题名！
1．用赋值法求多项式系数和
求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给
字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确
定．一般对字母赋的值为 1 或－1，但在解决具体问题时要灵活
掌握．
2．二项式系数的性质
(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为
[精解详析] T6＝Cn5(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有 C5n25＝C6n26⇒n＝8. ∴(1＋2x)8 的展开式中，二项式系数最大的项为
T5＝C48(2x)4＝1 120x4. 设第 r＋1 项系数最大，则有
C8r ·2r≥C8r－1·2r－1， C8r ·2r≥Cr8＋1·2r＋1
(4)C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝ 2n .
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
4
体健康，学业有成，金榜题名！
1．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
2．当
n
为偶数时，二项式系数中，以
n C2n
最大；当
n
为奇数
时，二项式系数中以
n－1 C2n
和
Cn＋2 1n(两者相等)最大．
3．二项展开式中，偶数项的二项式系数和奇数项的二项式系
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
21
体健康，学业有成，金榜题名！
7．求证：5151－1 能被 7 整除．
证明：5151－1＝(49＋2)51－1
＝C051·4951＋C511·4950·2＋…＋C5501·49·250＋C5511· 251－1.
易知除 C5511·251－1 以外各项都能被 7 整除． 又 251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1
3
体健康，学业有成，金榜题名！
二项式系数的性质
一般地，(a＋b)n 展开式的二项式系数 Cn0，C1n，…，Cnn有 如下性质：
(1)Cmn ＝ Cnn－m ； (2)Cmn ＋Cmn －1＝ Cmn＋1 ； (3)当 r＜n－2 1时，Crn＜ Crn＋1 ；
当 r＞n－2 1时， Crn＋1 ＜Crn；
(2)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式 系数与各项系数相等时，二者才一致．
(3)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需 根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式 (组)的方法求得．
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
14
体健康，学业有成，金榜题名！
4．已知(a＋b)n 的二项展开式中只有第 5 项的二项式系数最大， 则 n＝________. 解析：∵(a＋b)n 的二项展开式中只有wk.baidu.com 5 项的二项式系数最大， ∴二项展开式共有 9 项，即 n＋1＝9，∴n＝8. 答案：8
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
8
体健康，学业有成，金榜题名！
1．设(2x－1)6＝a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6| ＝________. 解析：∵Tr＋1＝Cr6(2x)6－r(－1)r ＝(－1)r26－rCr6x6－r，∴ar＝(－1)r26－rCr6. ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6| ＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6 ＝[2×(－1)－1]6＝36.
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
1
体健康，学业有成，金榜题名！
(a＋b)n 的展开式的二次式系数，当 n 取正 整数时可以表示成如下形式：
问题 1：你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
提示：在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的
项的系数相等；在相邻的两行中，除 1 以外的其余各数都等于它
答案：36
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
9
体健康，学业有成，金榜题名！
2．二项式x2－1xn 的展开式中各项系数的和为________．
解析：依题意得，该二项展开式中的各项系数的和为12－11 n＝0. 答案：0
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
10
体健康，学业有成，金榜题名！
“肩上”两个数字之和．遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
2
体健康，学业有成，金榜题名！
问题 2：计算每一行的系数和，你又看出什么规律？ 提示：2,4,8,16,32,64，…，其系数和为 2n.
问题 3：二项式系数最大值有何规律？ 提示：n＝2,4,6 时，中间一项最大，n＝3,5 时中间两项最大．
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
6
体健康，学业有成，金榜题名！
[精解详析] 令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋…a7＝－1
令 x＝－1，则 a0－a1＋a2＋…－a7＝37
(1)令 x＝0，则 a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a7＝－2.
(2)(①－②)÷2，
得 a1＋a3＋a5＋a7＝－12－37＝－1 094.
(3)(①＋②)÷2，
得 a0＋a2＋a4＋a6＝－12＋37＝1 093.
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
＝a0－a1＋a2－a3＋…－a7
＝37＝2 187.
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身 体健康，学业有成，金榜题名！
① ②
7
[一点通] (1)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值 要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值， 解决问题时要避免漏项等情况． (2)一般地，二项式展开式 f(x)的各项系数和为 f(1)，奇次项系 数和为12[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为12[f(1)＋f(－1)]．
18
体健康，学业有成，金榜题名！
[例 3] 求证：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N*)能被 25 整除． [思路点拨] 将 2n＋2·3n＋5n－4＝4·6n＋5n－4 转化为 25 的倍数 即可证明．
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
19
体健康，学业有成，金榜题名！
[精解详析] 原式＝4·6n＋5n－4 ＝4·(5＋1)n＋5n－4 ＝4·(C0n·5n＋C1n·5n－1＋C2n·5n－2＋…＋Cnn)＋5n－4＝4(Cn0·5n＋C1n·5n －1＋…＋Cnn－2·52＋Cnn－1·51)＋4Cnn＋5n－4 ＝4(C0n·5n＋C1n·5n－1＋…＋Cnn－2·52)＋20n＋4＋5n－4 ＝4(C0n·5n＋C1n·5n－1＋…＋Cnn－2·52)＋25n. 以上各项均为 25 的整数倍，故 2n＋2·3n＋5n－4 能被 25 整除．
＝C017717＋C117·716＋…＋C1167·7＋C1177－1
＝7·(C017·716＋C117·715＋…＋C1167)．
显然能被 7 整除，所以 5151－1 能被 7 整除．
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
22
体健康，学业有成，金榜题名！
8．求证：对任何非负整数 n,33n－26n－1 可被 676 整除． 证明：当 n＝0 时，原式＝0，可被 676 整除． 当 n＝1 时，原式＝0，也可被 676 整除． 当 n≥2 时， 原式＝27n－26n－1＝(26＋1)n－26n－1 ＝(26n＋Cn126n－1＋…＋Cnn－2·262＋Cnn－1·26＋1)－26n－1 ＝26n＋C1n26n－1＋…＋Cnn－2·262. 每一项都含 262 这个因数，故可被 262＝676 整除． 综上所述，对一切非负整数 n,33n－26n－1 可被 676 整除．