【湘教版】高中数学必修一期末试题附答案

一、选择题
1．已知1,0()1,0ax x f x x x x +≤⎧⎪=⎨->⎪⎩
，则下列关于[()]1y f f x =+的零点的判断正确的是（ ） A ．当0a >时，有4个零点，当0a <时，有1个零点；
B ．当0a >时，有3个零点，当0a <时，有2个零点；
C ．无论a 为何值，均有2个零点；
D ．无论a 为何值，均有4个零点．
2．已知函数()21,0
4,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，若函数()y f x a =-有3个不同的零点1x ，2x ，3
x （123x x x <<），则123a x x x ++
的取值范围是( ) A ．()2,0-
B ．[]2,0-
C ．[]2,0-
D ．(]2,0- 3．若函数()22f x x x a =--有4个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．01a <≤
B ．10a -<<
C ．0a =或1a >
D ．01a << 4．集合{}1002,x x x
x R =∈的真子集的个数为（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．7 5．设52a -=，5log 2b =，8log 5c =，则（ ） A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c b a <<
D ．c a b << 6．如图是指数函数①y =x a ；②y =x b ；③y =c x ；④y =d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的
大小关系是（ ）
A ．a <b <1<c <d
B ．b <a <1<d <c
C ．1<a <b <c <d
D ．a <b <1<d <c 7．下列各函数中，表示相等函数的是（ ）
A ．lg y x =与21lg 2
y x = B ．211
x y x -=-与1y x =+
C ．21y x =-与1y x =-
D ．y x =与log x a y a =(0a >且1a ≠)
8．已知函数223,()11,x x x a f x ax x a
⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩，对于任意两个不相等的实数1x ，2x R ∈，都有不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 取值范围是（ ）
A ．[)3,+∞
B ．[]0,3
C ．[]3,4
D ．[]2,4 9．已知函数()3221x f x x =-
+，且()()20f a f b ++<，则（ ） A ．0a b +< B ．0a b +>
C ．10a b -+>
D ．20a b ++< 10．已知集合{}11M x Z x =∈-≤≤，{}
Z (2)0N x x x =∈-≤，则如图所示的韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ ）
A ．{}0,1
B ．{}1,2-
C ．{}1,0,1-
D ．1,0,1,2 11．若{}|28A x Z x =∈≤<，{}
5|log 1B x R x =∈<，则R A C B ⋂的元素个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 12．已知集合{}1A x x =>，{}
1B x x =≥，则（ ）
A ．A ⊆
B B ．B ⊆A
C ．A∩B=φ
D ．A ∪B=R 二、填空题
13．已知()32,,x x a f x x x a
⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a
的取值范围是________．
14．已知函数22()1()x x f x x e a x e a R =++∈有四个零点，则实数a 的取值范围是
________．
15．函数()log 31a y x =+-.（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线 10mx ny ++=上（其中m ，0n >），则
12m n
+的最小值等于__________. 16．有以下结论： ①将函数x y e =的图象向右平移1个单位得到1x y e
-=的图象； ②函数()x f x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称
③对于函数()x f x a =(a >0,且1a ≠)，一定有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
④函数()2
2log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方. 其中正确结论的序号为_________.
17．
函数y x =+______．
18．已知函数()f x 的值域为[]0,4（2,2x ），函数()1=-g x ax ，2,2x ，[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围为________________.
19．若关于x 的方程2210ax x ++=的解集有唯一子集 ，则实数a 的取值范围是_____. 20．若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有5,6，则b 的取值范围是______.
三、解答题
21．已知函数(2),()(1),x x a x a f x a x x a
-≥⎧=⎨-<⎩，其中a 为实数，且0a ≠． （1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若方程()0f x =仅有一个实数根，求实数a 的取值范围．
22．随着科技的发展，智能手机已经开始逐步取代传统PC 渗透进入了人们娱乐生活的各个方面，我们的生活已经步入移动互联网时代.2020年，某手机企业计划将某项新技术应用到手机生产中去，为了研究市场的反应，计划用一年时间进行试产､试销.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本280万，每生产x (千部)手机，需另投入成本()C x 万元，且210200,050()100008019450,50.x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩
，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
（1）求出2020年的利润()W x (万元)关于年产量x (千部)的函数关系式(利润=销售额-成本)；
（2）2020年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
23．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的“有上界函数”，其中M 称为函数()f x 的上界．已知函数11()139x x
f x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． （1）当12
a =-时，求函数()f x 在(,0)-∞上的值域，并判断函数()f x 在(,0)-∞上是否为“有上界函数”，请说明理由；
（2）若函数()f x 在[0,)+∞上是以4为上界的“有上界函数”，求实数a 的取值范围． 24．已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=.
（1）求函数()f x 的表达式；
（2）判断函数()(2)(2)g x f x f x =++-的奇偶性，并说明理由.
25．已知函数()0k y x k x =+
>在区间(单调递减，在区间)+∞单调递增． （1）求函数2y x x
=+在区间(),0-∞的单调性；（只写出结果，不需要证明） （2）已知函数()()2131
x ax f x a x ++=∈+R ，若对于任意的x N *∈，有()5f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．
26．关于x 的不等式22(21)(2)0x a x a a -+++->，223()0x a a x a -++<的解集分别为M 和N
（1）试求M 和N ；
（2）若M N ⋂=∅，求实数a 的取值范围．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
按0a >和0a <分类讨论[()]1y f f x =+的零点个数，即确定[()]10f f x +=的解的个数，可得正确选项．
【详解】
0x >时，1()f x x x
=-是增函数，()(,)f x ∈-∞+∞，此时()f x m =对任意m R ∈均有一解． 0x ≤时，
若0a >，()1f x ax =+是增函数，()(,1]f x ∈-∞，此时()f x m =在1m 时有一解，1m 时无解，
若0a <，()1f x ax =+是减函数，()[1,)f x ∈+∞，此时()f x m =在m 1≥时有一解，1m <时无解，
由[())10f f x +=得[()]1f f x =-，
设()1f t =-，则0a >时，()1f t =-的解为2t a =-和12
t =，
20a -<，51012
-<<，因此2()f x a =-有两解，51()2f x -=有两解，共4解． 0a <时，()1f t =-只有一解5112t -=
<，51()2f x -=只有一解， ∴函数[()]1y f f x =+在0a >时，有4个零点，当0a <时，有1个零点． 故选：A ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的零点，解题方法是转化与化归思想，转化为方程[()]10f f x +=的解．通过换元法，先求得()1f t =-的解，若0t 是其解，再求0()f x t =的解，从而得出结论．
2．D
解析：D
【分析】
作出函数()f x 的图象，由函数()f x 的图象与直线y a =的交点得123,,x x x 的范围与关系，从而可求得123a x x x ++
的取值范围． 【详解】
函数()y f x a =-的零点就是函数()y f x =的图象与直线y a =的交点的横坐标，作出函数()y f x =的图象，作出直线y a =，如图，由图可知122x x +=-，由241x =得12
x =
（12x =-舍去），∴3102
x <≤，234x a =， ∴23123334224(2,0]x a x x x x x ++=-+=-+∈-． 故选：D ．
【点睛】
本题考查函数的零点，解题关键是掌握转化与化归思想，函数零点转化为函数图象与直线的交点，由数形结合思想确定零点的性质，得出结论．
3．D
解析：D
【分析】
令0f x ，可得22x x a -=，作出()22g x x x =-的图象，令直线y a =与()g x 的图象有4个交点，可求出实数a 的取值范围.
【详解】
令0f x ，则22x x a -=，
构造函数()22g x x x =-，作出()g x 的图象，如下图，
()g x 在()0,2上的最大值为()1121g =-=，
当01a <<时，直线y a =与()g x 的图象有4个交点，
所以函数()f x 有4个零点，实数a 的取值范围为01a <<.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数的零点，注意利用数形结合方法，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 4．D
解析：D
【分析】
分析指数函数2x y =与幂函数100y x =的图像增长趋势，当0x <时，有1个交点；当
0x >时，有2个交点；即集合{}
1002,x x x x R =∈有3个元素，所以真子集个数为3217-=
【详解】
分析指数函数2x y =与幂函数100y x
=的图像增长趋势， 当0x <时，显然有一个交点； 当0x >时，当1x =时，110021>；当2x =时，210022<；故()1,2x ∈时，有一个交点；
分析数据发现，当x 较小时，100y x =比2x y =增长的快；当x 较大时，2x y =比100y x =增长的快，即2x y =是爆炸式增长，所以还有一个交点.
即2x y =与100y x =的图像有三个交点，即集合{}
1002,x x x x R =∈有3个元素，所以真
子集个数为3217-=
故选：D.
【点睛】
结论点睛：本题考查集合的子集个数，集合A 中含有n 个元素，则集合A 的子集有2n 个，真子集有()21n -个，非空真子集有()
22n -个. 5．A
解析：A
【分析】 由5
51112,2332log -<<<，8152
log >，即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】 52
1122
43--<=<，11325551152532log log log =<<=，12881582log log >=， a b c ∴<<.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，对数的运算性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
6．B
解析：B
【分析】
根据指数函数的图象与性质可求解.
【详解】
根据函数图象可知函数①y =x a ；②y =x b 为减函数，且1x =时，②y =1b <①y =1a ， 所以1b a <<，
根据函数图象可知函数③y =c x ；④y =d x 为增函数，且1x =时，③y =c 1>④y =d 1， 所以1c d >>
故选：B
【点睛】
本题主要考查了指数函数的单调性，指数函数的图象，数形结合的思想，属于中档题. 7．D
解析：D
【分析】
本题可依次判断四个选项中函数的定义域、对应关系、值域是否相同，即可得出结果.
【详解】
A 项：函数lg y x =定义域为()0,∞+，函数21lg 2
y x =定义域为{}0x x ≠，A 错误；
B 项：函数211x y x -=-定义域为{}
1x x ≠，函数1y x =+定义域为R ，B 错误； C 项：函数21y x =-值域为[)1,-+∞，函数1y x =-值域为R ，C 错误；
D 项：函数y x =与函数log x a y a =(0a >且1a ≠)定义域相同，对应关系相同，D 正确.
故选：D
【点睛】
方法点睛：判断两个函数是否相同，首先可以判断函数的定义域是否相同，然后判断两个函数的对应关系以及值域是否相同即可，考查函数定义域和值域的求法，是中档题. 8．C
解析：C
【分析】
根据题意，可得()f x 在R 上为单调递增函数，若x a ≥时为增函数，则3a ≥，若x a <时为增函数，则0a >，比较x=a 处两函数值的大小，即可求得答案，
【详解】
因为()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在R 上为单调递增函数，
当x a ≥时，2
()23f x x x =--的图象如图所示：
因为()f x 在R 上为单调递增函数，所以3a ≥，
当x a <时，()11f x ax =-为增函数，所以0a >，
且在x=a 处222311a a a --≥-，解得4a ≤，
综上34a ≤≤，
故选：C.
【点睛】
解题的关键是熟悉分段函数单调性的求法，根据单调性，先分析分段点两侧单调性，再比较分段点处函数值的大小即可，考查推理分析，化简计算的能力，属中档题.
9．A
解析：A
【分析】
求得函数的单调性，构造奇函数利用单调性得解
【详解】
由函数单调性性质得：3
y x =，21x y =+在R 上单调递增 所以()3221
x f x x =-+在R 上单调递增， 令函数()()321121
x x g x f x x -=+=-+，()()0g x g x +-= 则函数()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，
故()()20f a f b ++<()()g a g b ⇔<-0a b a b ⇔<-⇔+<．
故选:A
【点睛】
构造奇函数利用单调性是解题关键.
10．B
解析：B
【分析】
阴影部分可以用集合M N 、表示为()()M N C M N ⋃⋂，故求出M N 、、M N ⋃，M N ⋂即可解决问题．
【详解】
解：由题意得，{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =
{}1,0,1,2M N ⋃=-，{}0,1M N ⋂=
阴影部分为()(){}1,2M N C M N ⋃⋂=-故选B
【点睛】
本题考查用韦恩图表示的集合的运算，解题时要能用集合的运算表示出阴影部分． 11．D
解析：D
【分析】
化简集合A 、B ，根据补集与交集的定义写出R A B ，即可得出结论．
【详解】
集合{|28}{2A x Z x =∈<=，3，4，5，6，7}， 51{||log |1}{|5}5
B x R x x R x =∈<=∈<<， 1{|5R B x R x
∴=∈或5}x ， {5R A B ∴=，6，7}．
∴其中元素个数为3个．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
12．A
解析：A
【分析】
根据数轴判断两集合之间包含关系.
【详解】 因为{}1A x x =>，{}
1B x x =≥，所以A ⊆
B ，选A. 【点睛】
本题考查集合之间包含关系，考查基本判断分析能力. 二、填空题
13．【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点有两个零点即与的图象有两个交点由可得或①当时函数的图象如图所示此时存在满足 解析：()(),01,-∞⋃+∞
【分析】
由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围
【详解】
()()g x f x b =-有两个零点，
()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，
由32x x =可得，0x =或1x =
①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意
②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意
③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意
④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意
⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点
综上可得，0a <或1a >
故答案为：()(),01,-∞⋃+∞
【点睛】
本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想． 14．【分析】由题意可得有四个不等实根设求得导数和单调性可得极值画出图象即可得到所求范围【详解】函数有四个零点由不为零点即即有有四个不等实根设①当时令在区间上单调递增且使得则函数在区间上单调递减在区间上单 解析：1a e e -<--
【分析】 由题意可得1(||)||x x a x e x e -=+有四个不等实根，设1()(||)||x x
g x x e x e =+，求得导数和单调性，可得极值，画出图象，即可得到所求范围．
【详解】 函数22()1()x x f x x e a x e a R =++∈有四个零点
由(0)1f =，0x =不为零点
即()0f x =即有1x x a x e x e -=+有四个不等实根 设1()x x
g x x e x e =+ ①当0x >时，1()x x g x xe xe =+，()2222(1)11()(1)x x x x
x x e x g x x e x e x e +-+'=+-= 令22()1x h x x e =-，222()220x x h x xe x e '=+>
()h x ∴在区间(0,)+∞上单调递增，且2(0)10,(1)10h h e =-<=->
∴0(0,1)x ∈，使得()0220010x h x x e =-=
()0g x '∴<⇒00x x <<，0()0g x x x '>⇒>
则函数()g x 在区间()00,x 上单调递减，在区间()0,x +∞上单调递增，且
()min 0()2g x g x ==
②当0x <时，1()x
x g x xe xe =--导数为()2222(1)11()(1)x x x x x x e x g x x e x e x e +-+'=-++= 令22()1x x x e ϕ=-，2()2(1)x
x x x e ϕ'=-+ ()010x x ϕ'>⇒-<<，()01x x ϕ'<⇒<-
所以函数()x ϕ在区间(),1-∞-上单调递减，在区间(1,0)-上单调递增
()min 21()110x e
ϕϕ=-=-
>，即22()01x x x e ϕ->=在区间(,0)-∞上成立 即()010g x x '>⇒-<<，()01g x x '<⇒<- 则函数()g x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间(1,0)-上单调递增
且1x =-时，()g x 取得极小值1e e -+
画出函数()g x 的图象，可得1a e e -->+
即1a e e -<--时，1(||)||x x
a x e x e -=+有四个不等实根，即函数()f x 有四个零点 故答案为：1a e e -<--
【点睛】
本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用数形结合思想方法和导数判断单调性、极值，考查运算能力，属于中档题．
15．8【分析】根据函数平移法则求出点得再结合基本不等式即可求解【详解】由题可知恒过定点又点在直线上故当且仅当时取到等号故的最小值等于8故答案为：8【点睛】本题考查函数平移法则的使用基本不等式中1的妙用属 解析：8
【分析】
根据函数平移法则求出点A ()2,1--，得21m n +=，再结合基本不等式即可求解
【详解】
由题可知，()log 31a y x =+-恒过定点()2,1--，又点A 在直线 10mx ny ++=上，故
21m n +=，()121242448n m m n m n m n m n
⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当122n m ==时取到等号，故12m n
+的最小值等于8 故答案为：8
【点睛】 本题考查函数平移法则的使用，基本不等式中“1”的妙用，属于中档题
16．②③④【分析】①根据图象的平移规律直接判断选项；②根据指对函数的对称性直接判断；③根据指数函数的图象特点判断选项；④先求的范围再和0比较大小【详解】①根据平移规律可知的图象向右平移1个单位得到的图象
解析：②③④
【分析】
①根据图象的平移规律，直接判断选项；②根据指对函数的对称性，直接判断；③根据指数函数的图象特点，判断选项；④先求22x x -+的范围，再和0比较大小.
【详解】
①根据平移规律可知x
y e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象，所以①不正确；②根据两个函数的对称性可知函数()x f x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称，正确；③如下图，设1a >，122x x f +⎛⎫
⎪⎝⎭对应的是曲线上横坐标为122x x +的点C 的纵坐标，()()
122f x f x +是线段AB 的中点D 的纵坐标，由图象可知
()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
，同理，当01a <<时，结论一样，故③正确；
④2217721244x x x ⎛⎫-+=-+≥> ⎪⎝
⎭ 根据函数的单调性可知()222log 2log 10x x -+>=，所以函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方，故④正确.
故答案为：②③④
【点睛】
思路点睛：1.图象平移规律是“左＋右－”，相对于自变量x 来说，2.本题不易判断的就是③，首先理解122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭
和()()122f x f x +的意义，再结合图象判断正误. 17．【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域【详解】设则所以原函数可化为：由二次函数性质当时函数取最大值2由性质可知函数无最小值所以值域为：故答案为 解析：(],2-∞
【分析】
利用换元法将函数换元构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域.
【详解】 设)10t x t =-≥，则21x t =-，
所以原函数可化为：()2
210y t t t =-++≥， 由二次函数性质，当1t =时，函数取最大值2，由性质可知函数无最小值，
所以值域为：(],2-∞.
故答案为：(],2-∞.
【点睛】
本题考查换元法求函数值域，当函数解析式中含有根式时，一般考虑换元法，用换元法时要注意一定写出新变量数的取值范围.
18．【分析】依题意分析的值域A 包含于的值域B 再对分类讨论得到的值域列关系计算即可【详解】因为总使得成立所以的值域A 包含于的值域B 依题意A=
又函数因此当时不满足题意；当时在上递增则故即得；当时在上递减则故 解析：55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭ 【分析】
依题意分析()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，再对a 分类讨论得到()g x 的值域，列关系计算即可.
【详解】
因为[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立，
所以()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，依题意A =[]0,4，
又函数()1=-g x ax ，2,2x ，因此，
当0a =时，{}1B =-，不满足题意；
当0a >时，()g x 在[]2,2-上递增，则[][]21,210,4B a a =---⊇，
故210214
a a --≤⎧⎨-≥⎩，即得52a ≥； 当0a <时，()g x 在[]2,2-上递减，则[][]21,210,4B a a =---⊇，
故210214
a a -≤⎧⎨--≥⎩，即得52a ≤-. 综上，实数a 的取值范围为55,,2
2⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 故答案为：55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
. 【点睛】
本题考查了恒成立问题、函数的值域，以及利用包含关系求参数范围问题，属于中档题. 19．【分析】由题意知关于的方程无实数解可得出由此可解出实数的取值范围
【详解】由题意知关于的方程无实数解当时原方程为解得不合乎题意；当时则有解得综上所述实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查利用集合的 解析：()1,+∞
【分析】
由题意知，关于x 的方程2210ax x ++=无实数解，可得出00
a ≠⎧⎨∆<⎩，由此可解出实数a 的取值范围.
【详解】
由题意知，关于x 的方程2210ax x ++=无实数解.
当0a =时，原方程为210x +=，解得12
x =-，不合乎题意；
当0a ≠时，则有440a ∆=-<，解得1a >.
综上所述，实数a 的取值范围是()1,+∞.
故答案为：()1,+∞.
【点睛】
本题考查利用集合的子集个数求参数，将问题转化为方程无实解是解题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
20．【分析】先求得不等式的解集根据不等式的解集中的整数有且仅有得出不等式组即可求解得到答案【详解】由题意不等式即解得要使得不等式的解集中的整数有且仅有则满足解得即实数的取值范围是故答案为【点睛】本题主要 解析：[]16,17
【分析】 先求得不等式34x b -<的解集4433
b b x -++<<，根据不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有5,6，得出不等式组44534673b b -+⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩
，即可求解，得到答案. 【详解】 由题意，不等式34x b -<，即434x b -<-<，解得4433
b b x -++<<， 要使得不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有5,6， 则满足44534673b b -+⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩
，解得1617b ≤≤，即实数b 的取值范围是[]16,17. 故答案为[]16,17.
【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及集合的应用，其中解答中正确求解绝对值不等式，根据题设条件得到不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
三、解答题
21．（1）函数()f x 的单调减区间为(],1-∞-，增区间()1,-+∞；（2）1a ≤且0a ≠．
【分析】
（1）当1a =-时，(2),1()(1),1x x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩
，进而可得函数的单调区间；
（2）令()0f x =，分别解出x ，由方程()0f x =仅有一个实数根，列出不等式解出实数a 的取值范围．
【详解】
（1）当1a =-时，(2),1()(1),1
x x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩， 则函数()f x 的单调减区间为(],1-∞-，增区间()1,-+∞；
（2）令()0f x =，当x a ≥时，解得0x =或2x a =；当x a <时，解得1x =；
方程()0f x =仅有一个实数根，则021a a a a ≤⎧⎪<⎨⎪≤⎩或021a a a a >⎧⎪≥⎨⎪≤⎩或021a a a a >⎧⎪<⎨⎪>⎩
，
解得1a ≤且0a ≠．
【点睛】
方法点睛：本题考查分段函数的单调性，考查函数与方程思想，关于分段函数的理解，需要有：
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围，有不同的对应法则的函数； 分段函数是一个函数;
分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集．
22．（1）210600280,050()100009170,50x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝
⎭⎩；（2）2020年产量为100(千部)时，企业所获利润最大最大利润是8970万元.
【分析】
（1）分050x <<与50x ≥写出分段函数的解析式即可；
（2）分两段分别求函数的最大值，比较两个值的大小，即可求出函数的最大值.
【详解】
（1）当050x <<时，()22()8001020028010600280W x x x x x x =-+-=-+- 当50x ≥时，1000010000()80080194502809170W x x x x x x ⎛
⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 210600280,050()100009170,50x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝
⎭⎩ （2）若050x <<，2()10(30)8720W x x =--+，当30x =时，max ()8720W x =万元
若50x ≥
，10000()917091708970W x x x ⎛⎫=-+
+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当10000x x
=时，即100x =时，max ()8970W x =万元.
因为89708720>.
所以2020年产量为100(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是8970万元.
答（1）210600280,050()100009170,50x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝
⎭⎩ （2）2020年产量为100(千部)时，企业所获利润最大最大利润是8970万元.
【点睛】
关键点点睛：在实际问题中分类讨论求出函数的解析式，求最大值时，要分别求自变量在不同区域的最值，然后比较大小，得出函数的最值.
23．（1）值域为3,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
，不是“有上界函数”；理由见解析；（2）(,2]-∞ 【分析】
（1）把12a =-代入函数的表达式，令13x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得1t >，可求出2112y t t =-+的值域，即为()f x 在(,0)-∞的值域，结合“有上界函数”的定义进行判断即可；
（2）由题意知，()4f x ≤对[0,)x ∈+∞恒成立，令13x
t ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，可得(0,1]t ∈，整理得3a t t ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭
对(0,1]t ∈恒成立，只需min 3a t t ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭即可. 【详解】 （1）当12a =-时，111()1239x x f x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 令13x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0x <，1t ∴>，2112
y t t =-+， 2112
y t t =-+在(1,)+∞上单调递增，111232y -∴>+=， 即()f x 在(,0)-∞的值域为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
， 故不存在常数0M >，使()f x M ≤成立．
∴函数()f x 在(,0)-∞上不是“有上界函数”
（2）由题意知，()4f x ≤对[0,)x ∈+∞恒成立，
令13x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，0x ≥，(0,1]t ∴∈， 214at t ∴++≤对(0,1]t ∈恒成立，即3a t t ⎛⎫≤-
⎪⎝⎭对(0,1]t ∈恒成立，
设3()g t t t
=
-，易知()g t 在(0,1]t ∈上递减， ()g t ∴在(0,1]t ∈上的最小值为(1)2g =． ∴min ()2a g t ≤=，
∴实数a 的取值范围为(,2]-∞
【点睛】
本题考查新定义，考查函数的值域与最值，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
24．（1）2()log f x x =（2）偶函数.见解析
【分析】
（1）根据(4)(2)1f f -=，代入到函数的解析式中可求得2a =，可求得函数()f x 的解析式; （2）由函数()f x 的解析式，求得函数()g x 的解析式，先求得函数()g x 的定义域，再由函数的奇偶性的判断方法证得函数的奇偶性.
【详解】
（1）因为()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=，所以log 4log 21a a -=，即log 21a =.，解得2a =，所以2()log f x x =;
（2）因为()log a f x x =，所以22()log (2)log (2)g x x x =++-,
由2020x x +>⎧⎨->⎩
,得22x -<<,所以()g x 的定义域为()22-，， 又因为22()log (2)log (2)()g x x x g x -=-++=，
所以22()log (2)log (2)g x x x =++-为偶函数.
【点睛】
本题考查对数函数的函数解析式的求解，函数的奇偶性的证明，属于基础题.
25．（1）在区间(,-∞的单调递增，在区间()
的单调递减；（2）2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
． 【分析】
（1）利用对勾函数的性质，直接写出结论即可；
（2）利用不等式恒成立的关系，把问题从()5f x ≥恒成立，
转化为对于任意的x N *
∈，21351x ax x ++≥+恒成立，利用参变分离的方法，等价于()85a x x x *⎛⎫≥-+∈ ⎪⎝
⎭N ，然后，根据对勾函数的性质进行求解即可 【详解】
解：（1）因为函数k y x x =+()0k >在(单调递减，在)+∞单调递增，
所以，当2k =时函数2y x x =+在(单调递减，在)+∞单调递增． 易知函数2y x x =+
为奇函数，
所以函数y x x =+在区间(,-∞的单调递增；
在区间()
的单调递减．
（2）由题意，对任意的x N *∈，有()5f x ≥恒成立， 即对于任意的x N *
∈，21351x ax x ++≥+恒成立， 等价于()85a x x x *⎛⎫≥-+
∈ ⎪⎝⎭N ． 设()()8g x x x x
*=+∈N ，
易知，当且仅当8x x
=，即x =()g x 取得最小值，
由题设知，函数()g x 在(0,上单调递减，在()+∞上单调递增． 又因为x N *∈，且()26g =，()1733g =
，而()()23g g >， 所以当3x =时，()min 173g x =
． 所以81725533x x ⎛
⎫-+≤-=- ⎪⎝⎭，即23
a ≥-， 故所求实数a 的取值范围是2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
．
【点睛】 关键点睛：解题的关键在于，利用参变分离法，把问题转化为证明()85a x x x *⎛⎫≥-+∈ ⎪⎝
⎭N 恒成立，进而利用对勾函数性质求解，属于中档题 26．（1）(,1)(2,)M a a =-∞-⋃++∞，集合N 见解析；（2）[1,2]-.
【分析】
（1）对两个不等式进行因式分解，分类讨论即可得解；
（2）结合（1）的结论进行分类讨论求解.
【详解】
（1）22(21)(2)0x a x a a -+++->即()()()120x a x a ---+>
所以(,1)(2,)M a a =-∞-⋃++∞；
223()0x a a x a -++<即()()20x a x a --<
当1a >或0a <时，2
(,)N a a =；
当01a <<时，2(,)N a a =；
当1a =或0a =时，N =∅；
（2）分类讨论：当1a =或0a =时，N =∅，符合题意；
当01a <<时，2(,)N a a =，M N ⋂=∅， 即212a a a a ≥-≤+⎧⎨⎩，2102a a a a -+≥≤+⎧⎨⎩
恒成立，所以01a <<符合题意； 当1a >或0a <时，212a a a a ≥-≤+⎧⎨⎩
解得：12a -≤≤，所以[)(]1,01,2a ∈-， 综上所述：[1,2]a ∈-
【点睛】
此题考查求二次不等式的解集，关键在于准确进行因式分解并分类讨论，根据两个集合的交集为空集求参数的取值范围，考查分类讨论思想.。