高考数学第一轮知识点 第2课时 等差数列及其前n项和课时复习课件 理

∴n－n 1＝43.∴n＝4，an＝11.
∴数列的中间项为 11，项数为 7.
【变式训练】 3.在等差数列{an}中，Sn 表示其 前 n 项和． (1)若 a3＋a17＝10，求 S19 的值； (2)若 S4＝124，Sn－4＝54，Sn＝210，求项数 n； (3)若 S4＝1，S8＝4，求 a17＋a18＋a19＋a20 的值．
解析： (1)S19＝a1＋a219×19＝a3＋a217×19
＝95.
(2)SS4n＝－aS1n＋－4＝a2＋an＋a3＋ana－41＝＋1a2n－42，＋an－3＝156，
由两式相加得 a1＋an＝70. ∴Sn＝a1＋a2n×n＝70×2 n＝210. ∴n＝6. (3)S4＝1，S8－S4＝3，S12－S8，S16－S12，S20 －S16 成等差数列，首项为 1，公差为 2，
解得ad1＝＝21. 2，
所以 an＝2n＋10.
(2)由 Sn＝na1＋nn2－1d，Sn＝242， 得 12n＋nn2－1×2＝242.解得 n＝11 或 n＝ －22(舍去)．
等差数列的性质
1．等差数列的单调性 等差数列公差为 d，若 d＞0，则数列递增； 若 d＜0，则数列递减；若 d＝0，则数列为常数 列． 2．等差数列的最值 若{an}是等差数列，求前 n 项和的最值时， (1)若 a1＞0，d＜0，且满足aann≥ ＋1≤0，0， 前 n 项和 Sn 最大；
等差数列的判断与证明
判断或证明数列{an}为等差数列，常见的方法 有以下几种： (1)利用定义：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)； (2)利用等差中项：2an＋1＝an＋an＋2；
(3)利用通项公式：an＝dn＋c(d、c 为常数)，d 为公差．当 d≠0 时，通项公式 an 是关于 n 的 一次函数；d＝0 时为常函数，也是等差数列； (4)利用前 n 项和公式：Sn＝an2＋bn(a、b 为常 数)．若一个数列的前 n 项和为关于 n 的二次
(2)若 a1＜0，d＞0，且满足aann≤＋1≥0，0， 前 n 项和 Sn 最小； (3)除上面方法外，还可将{an}的前 n 项和的最 值问题看作 Sn 关于 n 的二次函数最值问题， 利用二次函数的图象或配方法求解，注意 n ∈N*.
已知数列{an}是等差数列． (1)前四项和为 21，末四项和为 67，且前 n 项 和为 286，求 n； (2)若 Sn＝20，S2n＝38，求 S3n； (3)若项数为奇数，且奇数项和为 44，偶数项
第2课时 等差数列及其前n项和
1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前 一项的差等于_同__一__个__常__数___，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的
_公__差__，通常用字母_d_表示，定义的表达式 为_a_n＋__1－__a_n_＝__d_.
a1＋ann ＝______2______.
【思考探究】 A＝a＋2 b是 a，A，b 成等差数列的 什么条件？ 提示： 充要条件．若 A＝a＋2 b⇒2A＝a＋b⇒A －a＝b－A⇒a，A，b 成等差数列．反之，若 a， A，b 成等差数列，则 A＝a＋2 b.故 A＝a＋2 b是 a， A，b 成等差数列的充要条件．
(2)由(1)知，bn＝n－72，则 an＝1＋b1n＝1＋2n2－7， 设函数 f(x)＝1＋2x2－7， 易知 f(x)在区间－∞，72和72，＋∞内为减函 数， ∴当 n＝3 时，an 取得最小值－1； 当 n＝4 时，an 取得最大值 3.
【变式训练】 1.(2011·浙江台州一模)数列 {an}中，a1＝1，当 n≥2 时，其前 n 项的和 Sn 满足 S2n＝an(Sn－1)．
解析： 由已知得 an＋1－an＝－23，a1＝15， ∴an＝a1＋(n－1)d＝15－23(n－1)＝47－3 2n， 显然 a23＞0，a24＜0. ∴该数列中乘积是负值的相邻两项为 a23 与 a24. 答案： 第 23 项与第 24 项
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
解析： 根据题意得 a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋ 3d)＝－1，
∴a1＝1.又∵a3＝a1＋2d＝0，∴d＝－12. 答案： B
3．等差数列{an}的公差 d＜0，且 a2·a4＝12，a2 ＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是( ) A．an＝2n－2(n∈N*) B．an＝2n＋4(n∈N*)
(2)等差中项 如果 a，A，b 成等差数列，那么_A__叫做 a 与 b 的等差中项且__A_＝__a_＋_2_b__. (3)通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么 通项公式为 an＝_a_1＋__(_n_－__1_)_d_，__n_∈__N_*_.
(4)前 n 项和公式：Sn＝_n_a_1＋__n__n_2－__1__d_
∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝9.
1．等差数列的判断方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(d 是常数)⇔{an}是等差 数列． (2)中项公式：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等 差数列． (3)通项公式：an＝pn＋q(p，q 为常数)⇔{an}是等 差数列．
2．数列的通项公式和前 n 项和公式在解题 中起到变量代换作用，而 a1 和 d 是等差数列 的两个基本量，用它们表示已知和未知是常 用方法．
设{an}是一个公差为 d(d≠0)的等差数列，它 的前 10 项的和 S10＝110，且 a22＝a1a4. (1)证明：a1＝d；
(2)求公差 d 的值和数列{an}的通项公式．
C．an＝－2n＋12(n∈N*)
D．an＝－2n＋10(n∈N*)
解析：
a2·a4＝12， 由a2＋a4＝8，
d＜0，
⇒aa24＝ ＝62， . ⇒
ad1＝＝－8，2，
所以 an＝a1＋(n－1)d，即 an＝8＋(n－1)(－2)
得 an＝－2n＋10，故选 D.
答案： D
4．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a6
理由．
解析： (1)证明：∵an＝2－an1－1(n≥2，n∈N*)，bn ＝an－1 1. ∴n≥2 时， bn－bn－1＝an－1 1－an－11－1＝2－an11－1－1－an－11－1 ＝ana－n1－－1 1－an－11－1＝1. 又 b1＝a1－1 1＝－52.
∴数列{bn}是以－52为首项，以 1 为公差的等差数列．
证明：数列S1n是等差数列．
证明： ∵S2n＝an(Sn－1)， ∴S2n＝(Sn－Sn－1)(Sn－1)(n≥2)． ∴SnSn－1＝Sn－1－Sn，即S1n－Sn1－1＝1.
∴S1n是以 1 为首项，1 为公差的等差数列．
等差数列的基本运算 1．等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 及前 n 项和公式 Sn＝na12＋an＝na1＋nn2－1d，共 涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就 能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
通过对近三年高考试题的统计分析不难发现， 等差数列作为最基本的数列模型之一，一直是 高考重点考查的对象．难度属中低档的题目较 多，但也有难度偏大的题目．其中，选择题、 填空题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、 前n项和公式为载体，结合等差数列的性质考 查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性 通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新 颖，突出对逻辑思维能力的考查．
(4)前 n 项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B 为常数)
⇔{an}是等差数列．
2．对于等差数列有关计算问题主要围绕着通 项公式和前 n 项和公式，在两个公式中共五个 量 a1、d、n、an、Sn，已知其中三个量可求出 剩余的量，而 a1 与 d 是最基本的，它可以确定 等差数列的通项公式和前 n 项和公式． 3．要注意等差数列通项公式和前 n 项和公式 的灵活应用，如 an＝am＋(n－m)d，S2n－1＝(2n －1)an 等． 4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三 个数为①a，a＋d，a＋2d；②a－d，a，a＋d； ③a－d，a＋d，a＋3d 等，可视具体情况而定．
和为 33，求数列a2＋a3＋a4＝21， an－3＋an－2＋an－1＋an＝67， ∴a1＋a2＋a3＋a4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝88. ∴a1＋an＝848＝22.
∵Sn＝na12＋an＝286，∴n＝26.
(2)∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成等差数列， ∴S3n＝3(S2n－Sn)＝54. (3)设项数为 2n－1(n∈N*)，则奇数项有 n 项，偶 数项有 n－1 项，中间项为 an，则 S 奇＝a1＋a22n－1·n＝n·an＝44. S 偶＝a2＋a2n－22·n－1＝(n－1)·an＝33，
1．(2010·重庆卷)在等差数列{an}中，a1＋a9
＝10，则a5的值为( )
A．5
B．6
C．8
D．10
解析： 在等差数列{an}中，2a5＝a1＋a9＝
10，∴a5＝5. 答案： A
2．{an}为等差数列，且 a7－2a4＝－1，a3＝0， 则公差 d＝( )
A．－2
B．－12
1 C.2
D．2
函数且不含常数项，则这个数列为公差不等于
零的等差数列；若此时的 a＝0，则此数列为
常数列．
已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－an1－1(n≥2， n∈N*)，数列{bn}满足 bn＝an－1 1(n∈N*)． (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明
因此，数列{an}的通项公式为 an＝2n，n＝
1,2,3….
【变式训练】 2.等差数列{an}的前 n 项和记 为 Sn.已知 a10＝30，a20＝50， (1)求通项 an； (2)若 Sn＝242，求 n.
解析： (1)由 an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝ 50， 得方程组aa11＋ ＋91d9＝ d＝305，0. .
解析： (1)证明：∵{an}是等差数列， ∴a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d， 又 a22＝a1a4，于是(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，
即 a21＋2a1d＋d2＝a21＋3a1d.化简得 a1＝d.
(2)由条件 S10＝110 和 S10＝10a1＋10× 2 9d， 得到 10a1＋45d＝110. 由(1)，a1＝d，代入上式得 55d＝110， 故 d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n.
＝S3＝12，则{an}的通项 an＝________. 解析： 设等差数列首项为 a1，公差为 d，
a1＋5d＝12， 则3a1＋3×2 2d＝12，
即aa11＋ ＋5dd＝＝41，2，
∴ad1＝＝22. ，
an＝a1＋(n－1)d＝2n. 答案： 2n
5．数列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N*)， 则该数列中乘积是负值的相邻两项为________．
2．等差数列的性质 已(1)知若数m＋列n{a＝n}p是＋等q，差则数_列a_m_，＋__Sa_nn_是＝__其a_p＋_前_a_nq_项. 和．
特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数 列，公差为__k_d__. (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等 差数列．