人教A版(2019)必修二第八章立体几何初步单元测试卷(4)(提高版)解析版

人教A版（2019）必修二第八章立体几何初步单元测试
卷（4）（提高版）
1.正三棱锥中，，，
AB的中点为M，若一只小蜜蜂沿锥体侧面经过棱PB由点M爬到点C，则最短路程是
A. B. C. D.
2.在棱长为6的正方体中，点E，F分别是棱，的中
点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为
A. B. C. D.
3.如图，已知是水平放置的根据斜二测
画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，
且，则的边AB上的高为
A. 3
B. 6
C.
D.
4.一个正四棱台的两底面边长分别为m，，侧面积等于两个底面积之和，
则这个棱台的高为
A. B. C. D.
5.斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实
物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽长方体去掉一个小长方体组成．若棱台两底面面积分别是，，高为9 cm，长方体形凹槽的体积为，斗的密度是那么这个斗的质量是注：台体体积公式是
A. 3990 g
B. 3010 g
C. 7000 g
D. 6300 g
6.已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是
边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，，则球O的体积为
A. B. C. D.
7.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其
面积为，则三棱锥体积的最大值为
A. B. C. D.
8.如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知是
绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是
A. 恒有
B. 异面直线与BD不可能垂直
C. 恒有平面平面BCDE
D. 动点在平面ABC上的射影在线段AF上
9.如图，正方体的棱长为1，线段
上有两个动点，且，则下列说法中正确的是
A. 存在点使得
B. 异面直线EF与所成的角为
C. 三棱锥的体积为定值
D. 到平面AEF的距离为
10.如图所示，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中，把
沿着DE翻折至位置，使得二面角为，则下列选项中正确的是
A. 点到平面BCED的距离为3
B. 直线与直线CE所成的角的余弦值为
C.
D. 四棱锥的外接球半径为
11.如图，在三棱锥中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点，平
面ABC，，则
A. 三棱锥的体积为6
B. 直线PB与直线DF垂直
C. 平面DEF截三棱锥所得的截面面积为12
D. 点P与点A到平面BDE的距离相等
12.如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱
形，，侧面PAD为正三角形，且平
面平面ABCD，则下列说法正确的是
A. 直线AD与PB是异面直线
B. 在棱AD上存在点M，使平面PMB
C. 平面PAD与平面PBC的交线平面ABCD
D. 当时，四棱锥的体积为6
13.如图是一正方体的表面展开图B、N、Q都是所在棱的中点则在原正方体中
与CD异面；平面PQC；平面平面CQN；与平面AQB
形成的线面角的正弦值是；二面角的
余弦值为其中真命题的序号是__________
14.如图，在正方体
中，
点P在面对角线AC上运
动，给出下列四个命题：
①平面；
②；
③平面平面；
④三棱锥的体积不变．
则其中所有正确的命题的序号是__________.
15.如图所示，在矩形ABCD中，，，点E为CD的中点，F为线段
端点除外上一动点．现将沿AF折起，使得平面平面ABCF，设直线DF与平面ABCF所成的角为，则的最大值为__________.
16.如图，在三棱锥中，若底面ABC是正三角形，侧棱长
，M、N分别为棱SC、BC的中点，并且，则异面直线MN 与AC所成角为___________；三棱锥的外接球的体积为__________.
17.如图，在正三棱柱中，，，由顶点B沿棱柱侧面
经过棱到顶点的最短路线与的交点记为M，求：
该最短路线的长及点M的位置；
平面与平面所成锐二面角的正切值．
18.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，，
EF交BD于点H，将沿EF折到的位置．
证明：；
若，，，，求五棱锥体积．19.如图，在正方体中，已知E是AB的中点，F是的中点，
求证：E，C，，F四点共面；
求证：直线CE，，DA三线共点；
求直线与所成角的正切值．
20.如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且，
，侧面底面若
求证：平面PAC；
侧棱PA上是否存在点E，使得平面若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由；
求二面角的余弦值．
21.如图，在四棱锥，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，
平面平面PCD，，，，
设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD；
求证：平面PCD；
求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．
22.如图1，在边长为4的菱形中，，于点E，将
沿折起到的位置，使，如图
求证：；
求二面角的余弦值；
判断在线段上是否存在一点P，使？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
答案和解析
【答案】
1. C
2. D
3. D
4. A
5. C
6. D
7. B
8. B
9. BCD10. ABD11. ACD12. ABC
13. ①②④
14. ①③④
15.
16.
17. 解：将侧面，展开在一个平面内，
如图，连交于
，，，
所以
A为BC中点，，
所以
所以最短路线的长为，此时M为中点.
取中点D，连接，过D作，垂足为E，连接
在正三棱柱中，底面是正三角形，D为中点，所以，
又面，面，
所以平面平面，
又平面平面，平面，
所以平面
因面，则，
又，，面，面，所以面，
又面，
所以，
所以为平面与平面所成锐二面角的平面角.
，，
所以，，
又，
所以，在直角三角形中，
所以平面与平面所成锐二面角的正切值为
18. 证明：菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，
点E，F分别在AD，CD上，，
，且，
将沿EF折到的位置，
则，
，
；
若，，则，，
，，
，
，
，
，，，，
，，
满足，
则为直角三角形，且，
又，，AC，底面ABCD，
即底面ABCD，
即是五棱锥的高．
底面五边形的面积
，
则五棱锥体积
19. 证明：如图，在正方体中，
连接EF，，
因为E为AB的中点，F为的中点，
又，，
四边形为平行四边形．
，从而
所以，且，
所以E，F，，C四点共面．
因为，，所以CE与必相交，设交点为P，则由直线CE，平面ABCD，得平面
同理，平面又平面平面，
所以直线
所以CE，，DA三线共点．
在正方体中，，
则与所成角即为，
在中， .
20. 解：因为，
所以
又因为侧面底面ABCD，且侧面底面，
所以底面
而底面ABCD，
所以
在底面ABCD中，
因为，，
所以，
所以
又因为，，
所以平面
在PA上存在中点E，使得平面PCD，
证明如下：设PD的中点是F，连结BE，EF，FC，
则，且
由已知，
所以，又，
所以，且，
所以四边形BEFC为平行四边形，所以
因为平面PCD，平面PCD，
所以平面
设G为AD中点，连结CG，则
又因为平面平面PAD，侧面底面，，所以平面
又，故，
过G作于H，连结CH，
由，，
故，
又，
故
所以是二面角的平面角.
设，则，
在中，，所以
所以，
即二面角的余弦值为
21. 证明：如图：
证明：连接BD，由题意得，，
又由，得，
平面PAD，平面PAD，
平面PAD；
证明：取棱PC中点N，连接DN，
依题意得，
又平面平面PCD，平面平面，平面PCD，平面PAC，
又平面PAC，，
又，，
平面PCD，平面PCD，
平面PCD；
解：连接AN，由中平面PAC，
知是直线AD与平面PAC所成角，
是等边三角形，，且N为PC中点，
，
又平面PAC，，
，
在中，
直线AD与平面PAC所成角的正弦值为
22. 证明：，，
，
，，，平面，
平面，
又平面，
，
，，DC，平面BCDE，
平面BCDE；
解：由题意，以EB，ED，分别为x，y，z轴，建立坐标系，则，
，，，，
，，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，
令，，
，，
钝二面角的余弦值为；
解：在线段EB上不存在一点P，使平面平面，
设，
则，，
设平面的法向量为，
则，
令，，
平面平面，
由第二问可得平面的一个法向量，
由得，，，
，
在线段EB上不存在一点P，使平面平面
【解析】
1. 【分析】
本题考查多面体表面上的最短距离的计算，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．将侧面PAB与侧面PBC展开到一个平面，则中，CM为最短路线长．
【解答】
解：由题意，将侧面PAB与平面PBC展开到一个平面，
则中，，，，
，
即最短路线长是，
故选
2. 【分析】
本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．
由题意画出截面五边形，再由已知利用勾股定理求得边长得答案．
【解答】
解：如图所示：
延长EF、相交于M，连接AM交于H，
延长FE、相交于N，连接AN交于G，
可得截面五边形
是边长为6的正方体，且E，F分别是棱，的中点，，，
截面的周长为
故选
3. 【分析】
本题考查了平面图形的直观图画法与有关计算问题，熟记平面图形的直观图与原图形的面积比，是解题的关键．
根据平面图形的直观图与原图形的面积比为1：，列方程求出结果．
【解答】
解：在坐标系下的面积为；
根据水平放置的平面图形的直观图画法知，
在xOy坐标系下的面积为，
由，且，
所以，即的边AB上的高为
故选：
4. 【分析】
本题考查棱台的侧面积，关键是要搞清楚棱台的高、斜高与上下底面的边长之间的关系，难点在于复杂的计算，属于中档题．
设该棱台的高为h，斜高，于是
，从而可求得
【解答】
解：设该棱台的高为h，则斜高，
该棱台侧面积等于两个底面积之和，
，
，
，
故选
5. 【分析】
本题主要考查台体的体积计算，是中档题．
由题意，求出“斗”的体积，再利用求解即可．
【解答】
解：依题意，，
又长方体形凹槽的体积为4300，
故“斗”的体积为，
其质量为
故选：
6. 【分析】
本题考查球的体积的求法，涉及到余弦定理．
设，，，根据余弦定理以及勾股定理证明三条侧棱两两互相垂直，即可求出球O的体积．
【解答】
解：
设，，，
因为E，F分别是PA，AB的中点，所以，，
在中，，
在中，，
整理得，①
因为是边长为2的正三角形，所以，
又，则，②，
由①②得，
所以，
所以，即，
同理可得，，则PA、PB、PC两两垂直，
则球O是以PA为棱的正方体的外接球，则外接球的直径为，
所以球O的体积为
故选
7. 【分析】
本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
求出等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．【解答】
解：为等边三角形且面积为，可得，解得，设球心为O，三角形ABC 的外心为，显然D为的延长线与球的交点时，三棱锥的体积最大.
如图：
，，
则三棱锥高的最大值为：6，
则三棱锥体积的最大值为：
故选：
8. 【分析】
本题平面图形的旋转为载体，综合考查线面、面面垂直的判定定理、性质定理的运用，考查空间线线、线面的位置关系及所成的角的概念，考查空间想象能力，属较难题．
先推导出平面，从而恒有，从而判断A正确；由异面直线所成的角的概念可判断B不正确；由面面垂直的判定定理，可判断C正确；由斜线的射影定理可判断D正确．
【解答】
解：在A中，，，是正三角形，，又，平面
平面，
又平面，恒有，故A正确；
在B中，、F为线段AC、BC的中点，，
就是异面直线与BD所成的角，
当时，直线与BD垂直，故B不正确；
在C中，因为平面，平面BCDE，
平面平面BCDE，故C正确；
在D中，，是正三角形，
，又，平面，
从而平面平面，且两平面的交线为AF，
在平面ABC上的射影在线段AF上，故D正确．
故选：
9. 【分析】
本题以正方体为载体，考查了空间中的平行关系、空间角、距离和体积问题，考查转化与化归的思想，属于拔高题．
由异面直线的判定判断A；异面直线EF与所成的角即为与所成的角，据此可判断B；由可计算体积，判断C；将到平面AEF 的距离转化为到平面的距离，利用等体积法可求距离，判断
【解答】
解：如图所示，AB与为异面直线，故AE与BF也为异面直线，A错误；
异面直线EF与所成的角即为与所成的角，即与所成的角，连接，，易得三角形是正三角形，，
即异面直线EF与所成的角为，故B正确；
连结BD交AC于O，则AO为三棱锥的高，，
易知：，则，
所以，为定值，故C正确；
到平面AEF的距离即到平面的距离，，
设到平面AEF的距离为h，由得
，
即，解得，故D正确.
故选
10. 【分析】
本题考查棱锥的结构特征，异面直线的夹角，点到平面的距离，二面角，锥体的外接球问题，属于困难题.
取ED，BC的中点分别为F，G，连接FG，取FG的中点为H，通过题中的数据，结合线面垂直的性质得出平面BCED，从而分析各选项即可.
【解答】
解：如图，取ED，BC的中点分别为F，G，连接FG，取FG的中点为H，连接，
因为正中，D，E分别为边AB，AC的中点，
所以，，
又易知，，，平面，
所以平面，且为的二面角，
即，
由，可知，
所以为正三角形，所以，
又平面，平面，
所以，
又，DE，平面BCED，
所以平面BCED，
在中，因为，
所以，故A正确；
连接EG，DG，因为且，
所以四边形EDGC为平行四边形，
故，即为直线与直线CE所成的角，
可知，，，
故，故B正确；
易知
，
即，故与BD不垂直，故C错误；
易知，
所以四棱锥的外接球球心O在过G点且与平面BCED垂直的直线上，记，四棱锥的外接球半径为R，
则有，
即，
解得，故D正确.
故选
11. 【分析】
本题考查空间几何体的结构特征，考查空间距离及几何体体积求法，空间中的线线关系和线面关系.
根据棱锥的体积公式即可判断A；假设，推出平面PAB，结合平面PAB即可判断B；取PB的中点Q，连DQ，FQ，计算截面DEFQ的面积即可判断C；证出平面BDE即可判断
【解答】
解：D，E分别为棱PC，AC的中点，则，
又平面ABC，则平面ABC，即平面FBE，
，，，所以，
，所以三棱锥的体积为，故A正确；
假设，平面ABC，平面ABC，，
又，，PA，平面PAB，平面PAB，，F分别为AC，AB的中点，，平面PAB，
平面PAB，，
平面ABC，平面ABC，，
，EF，平面DEF，平面DEF，
平面DEF，，
又假设，，AB，平面PAB，平面PAB，
显然不成立，不符合题意，故假设不成立，故B错误；
取PB的中点Q，连DQ，FQ，则，，
四边形DQFE为平行四边形，平面EFB，平面EFB，，
所以平行四边形DEFQ为矩形，，，所以截面面积为12，故C正确；
因为，平面BDE，平面BDE，所以平面
所以点P与点A到平面BDE的距离相等，故D正确；
故选
12. 【分析】
本题考查空间几何体中线面平行、线面垂直的判定，考查三棱锥的体积求解问题，属于较难题．
根据空间中异面直线的概念即可推出选项A正确；取AD的中点M，根据线面垂直的判定定理即可推出选项B成立；根据线面平行的判定定理和性质定理即可得选项C正确；根据面面垂直的性质定理可证得平面ABCD，计算四棱锥的体积，继而可判断出选项D的正误．
【解答】解：如图所示，
选项A：因为平面ABCD，平面ABCD，，平面ABCD，
所以根据异面直线的概念可知选项A正确；
选项B：取AD的中点M，连接PM，BM，连接对角线AC，BD相交于点
侧面PAD为正三角形，
又底面ABCD为菱形，，
是等边三角形，
又M为AD中点，
又，PM、平面
平面PMB，故选项B正确；
选项C：因为底面ABCD为菱形，
所以，
又平面PBC，平面PBC，
所以平面
设平面PAD与平面PBC的交线为l，
因为平面PAD，平面PBC，平面平面，
所以
又因为平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD，故选项C正确；
选项D：由选项B的证明过程可知，
又因为平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，所以平面
因为为正三角形，，
所以
底面ABCD为菱形，，，
所以菱形ABCD的面积为：
所以四棱锥的体积为：，
故选项D错误．
故选
13. 【分析】
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
将正方体的表面展开图进行还原成正方体，利用正方体中的直线位置关系分别判断．【解答】
解：根据条件将正方体进行还原如下图所示：
对于命题①，由图形可知，直线MN与CD异面，命题①正确；
对于命题②，、Q分别为所在棱的中点，易证四边形MNQP为平行四边形，所以，，平面PQC，平面PQC，
平面PQC，命题②正确；
对于命题③，在正方体中，平面PQC，
由于四边形MNQP为平行四边形，，平面
、平面PQC，，
则二面角所成的角为，显然不是直角，
则平面MPQ与平面CQN不垂直，命题③错误；
对于命题④，设正方体的棱长为2，易知平面AQB，
则EQ与平面AQB所成的角为，
由勾股定理可得，，
在中，，
即直线EQ与平面AQB所成线面角的正弦值为，命题④正确；
对于命题⑤，在正方体中，平面MEFG，且，平面、平面MEFG，，
所以，二面角的平面角为，
在中，由勾股定理得，
由余弦定理得，命题⑤错误.
故答案为①②④.
14. 【分析】
本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的位置关系的判断，综合考查学生的推理能力，属于中档题．
①根据面面平行的性质定理进行判断平面；
②利用特殊值法，即可判断不成立；
③根据面面垂直的判断条件即可判断平面平面；
④将三棱锥的体积进行等价转化，即可判断三棱锥的体积不变．
【解答】
解：①在正方体中，，
且平面，平面，
平面，
同理平面，
又、平面，且，
平面平面；
在面对角线AC上运动，
平面；①正确．
②当P位于AC的中点时，不成立，②错误；
③平面，平面，
，
同理，
平面，，
平面平面；③正确．
④三棱锥的体积等于三棱锥的体积．
的面积为定值，
B到平面的距离为高，为定值，
三棱锥的体积不变，④正确．
故答案为：①③④．
15. 【分析】
本题主要考查了线面角，难度较大.
首先在矩形ABCD中，过点D作AF的垂线交AF于O点，交AB于M点，证明
是直线DF与平面ABCF所成的角，求出最大，进而即可解答
【解答】
解：如图，在矩形ABCD中，过点D作AF的垂线交AF于O点，交AB于M点，设，，
由且四边形ABCD是矩形可知，，
所以，
所以
在翻折后的几何体中，连接DM，
因为，，，OD，平面ODM，
所以平面ODM，又AF在平面ABCF内，
所以平面平面ABCF，
又平面平面ABCF，平面平面，
所以平面
连接MF，则是直线DF与平面ABCF所成的角，
所以为锐角
因为，，
所以，
又，
故当，即时，取得最大值，
此时有最大值，即有最大值
故答案为
16. 【分析】
本题主要考查了线面垂直的性质与判定、异面直线所成的角、正三棱锥的外接球的体积. 根据三棱锥的底面为正三角形且侧棱长相等得到正三棱锥，得到面ABC，接着根据线面垂直的性质、正三角形的性质及线面垂直的判定得到面SBE，进而得到，最后根据中位线的性质证明出根据已知及线面垂直的判定得到面SAC，从而结合正三棱锥得到其为相应正方体的一部分，求出球的半径及球的体积.
【解答】
解：如图所示，
在三棱锥中，若底面ABC是正三角
形，
侧棱长知，三棱锥
是正三棱锥，
则点S在底面ABC中的投影为底面的中心O，
所以面ABC，
因此，又E为AC中点，，
，所以平面SBE，平面SBE，，
又M、N分别为棱SC、BC的中点，则，
因此，异面直线MN与AC所成角为；
，，，
平面SAC ，又，则平面SAC，
又三棱锥是正三棱锥，因此三棱锥可以看成正方体的一部分且S，A，B，C为正方体的四个顶点，故球的直径为，
则球的体积为
故答案为：
17. 本题重点考查棱柱的侧面展开图求最短距离和二面角的求法，考查推理能力、计算能力和空间想象能力.
将侧面，展开在一个平面内，连交于M，利用最短路线为即可求解；
取中点D，连接，过D作，垂足为E，连接说明
为平面与平面所成锐二面角的平面角，解直角三角形即可.
18. 本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，以及空间几何体的体积，根据线面垂直的判定定理以及五棱锥的体积公式是解决本题的关键．
根据直线平行的性质以及菱形对角线垂直的性质进行证明即可．
根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明是五棱锥
的高，即可得到结论．
19. 本题考查四点共线的证明，考查三条直线交于一点的证明，异面直线所成角，属于拔高题．
分别连接EF、、，推导出四边形为平行四边形，由此能证明E、F、、C四点共面．
推导出直线和CE必相交，设，推导出P是平面ABCD与平面的公共点，由此能证明CE、、DA三线共点．
由题意与所成角即为，在中求解即可.
20. 本题重点考查线面垂直和线面平行的判定，以及二面角的求法，考查空间想象能力、推理能力和计算能力，属于拔高题.
通过求证，即可求证平面PAC；
设PD的中点是F，通过求证，即可求证存在中点E，使得平面PCD；
设G为AD中点，连结CG，过G作于H，连结CH，先说明是二面角的平面角，再利用解三角形知识求解即可.
21. 本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，属于拔高题．
连接BD ，由题意得，，由，得，由此能证明平面PAD；
取棱PC中点N，连接DN，推导出，从而平面PAC，进而，再上，能证明平面PCD；
连接AN ，由平面PAC ，知是直线AD与平面PAC所成角，由此能求出直线AD与平面PAC所成角的正弦值．
22. 本题考查线面垂直的判定与性质及利用空间向量求二面角和平面与平面垂直.属于拔高题.
证明平面，可得，利用，，可得平面BCDE；
以EB，ED ，分别为x，y，z 轴，建立坐标系，求出平面、平面的一个法向量，利用向量的夹角公式求二面角的余弦值；
设，求出平面的法向量，利用平面平面，可得结论．
第31页，共31页。