黑龙江省哈尔滨市中实学校九年级数学上学期期中试卷(

2016-2017学年黑龙江省哈尔滨市中实学校九年级（上）期中数学试
卷（五四学制）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．|﹣|的倒数是（）
A．B．﹣ C．2 D．﹣2
2．下列运算中，正确的是（）
A．B．（a2）3=a6C．3a•2a=6a D．3﹣2=﹣6
3．下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A．B． C．D．
4．下列各点中，在反比例函数图象上的是（）
A．（2，1）B．（，3） C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，2）
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值等于（）
A．B．C．D．
6．从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（）
A．（6+6）米B．（6+3）米C．（6+2）米D．12米
7．如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中错误的是（）
A．B．C．D．
8．下列命题中正确的是（）
A．平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
B．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦
C．若两条弧的度数相等，则它们是等弧
D．弦的垂线平分弦所对的弧
9．如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB为（）
A．米B．米C．b米D．a米
10．甲、乙两车沿同一平直公路由A地匀速行驶（中途不停留）前往终点B地，甲、乙两车之间的距离y（千米）与甲车行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示．小红通过图象得出4个信息：
①甲车速度为60千米/小时；
②A、B两地相距240千米；
③乙车行驶2小时追上甲车；
④乙车由A地到B地共用小时．
上述信息正确的有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题3分，共30分）
11．太阳的半径约是69000千米，用科学记数法表示约是千米．
12．函数y=的自变量x的取值范围是．
13．不等式组的解集为．
14．因式分解：y3﹣4x2y= ．
15．分式方程=的解是．
16．某药品原价每盒25元，经过两次连续降价后，售价每盒16元．则该药品平均每次降价的百分数是．
17．已知⊙O的弦AB=8cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则⊙O的直径为cm．
18．如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在线段BA的延长线上，且AD=BC，∠BDC=30°，则∠BAC= ．
20．在Rt△ABC中，∠C=90°，且满足AC＞BC，BD平分∠ABC，点E在BC上，∠EDB=45°，若BE=5CE，CD=3，则AB的长为．
三、解答题（21～22题各题7分，23～24题各题8分，25～27题各10分，共计60分）21．先化简，再求代数式﹣÷的值，其中x=tan60°．
22．如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A．B．C．D均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出以AB为斜边的直角三角形ABE，点E小正方形的顶点上，且△ABE的面积为5；
（2）在方格纸中画出以CD为一边的△CDF，点F在小正方形的顶点上，且△CDF的面积为4，CF与（1）中所画线段BE平行，连接AF，请直接写出线段AF的长．
23．某学校准备组织八年级学生春游，供学生选择的春游地点分别是：植物园、太阳岛、东北虎林园．每名学生只能选择其中一个春游地点（必选且只选一个）．该校从八年级学生中随机抽取了a名学生，对他们选择春游地点的情况进行调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图．
（1）求a的值；
（2）求a名学生中选择去植物园春游的人数占所抽取人数的百分比是多少？
（3）如果该校八年级有440名学生，请你估计选择去太阳岛春游的学生有多少名？
24．已知：将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合（点D与D′为对应点），折痕为EF，连接AF．
（1）如图1，求证：四边形AECF为菱形；
（2）如图2，若FC=2DF，连接AC交EF于点O，连接DO，D′O，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有等边三角形．
25．哈市某花卉种植基地欲购进甲、乙两种君子兰进行培育，若购进甲种2株，乙种3株，则共需要成本1700元；若购进甲种3株，乙种1株，则共需要成本1500元．
（1）求甲乙两种君子兰每株成本分别为多少元？
（2）该种植基地决定在成本不超过30000元的前提下购进甲、乙两种君子兰，若购进乙种君子兰的株数比甲种君子兰的3倍还多10株，求最多购进甲种君子兰多少株？
26．如图1，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点E，过点D作DF⊥AB于点F．
（1）求证：BC=2DF；
（2）如图2，连接AE，过点C作AE的垂线交⊙O于点M，垂足为G，过点B作CM的垂线，垂足为H，若∠EAB+∠ODF=45°，AB=10，求弦CM的长．
27．已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，顶点为D，E为对称轴与x轴的交点，A（1，0），B（3，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上第四象限对称轴左侧上一点，设P点的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，过C点作射线CP交对称轴于K，CM⊥DE交抛物线于M，连接PM交对称轴于R，若DK=3RN，求P点的坐标．
2016-2017学年黑龙江省哈尔滨市中实学校九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．|﹣|的倒数是（）
A．B．﹣ C．2 D．﹣2
【考点】倒数；绝对值．
【分析】首先根据绝对值的求法，求出|﹣|的大小；然后根据求一个数的倒数的方法，求出|﹣|的倒数是多少即可．
【解答】解：∵|﹣|=，1÷，
∴，
∴|﹣|的倒数是2．
故选：C．
2．下列运算中，正确的是（）
A．B．（a2）3=a6C．3a•2a=6a D．3﹣2=﹣6
【考点】幂的乘方与积的乘方；算术平方根；单项式乘单项式；负整数指数幂．
【分析】由算术平方根的意义得出A不正确；由幂的乘方法则得出B正确；由单项式的乘法法则得出C不正确；由负整数指数幂的意义得出D不正确；即可得出结论．
【解答】解：∵=3≠±3，
∴A不正确；
∵（a2）3=a6，
∴B正确；
∵3a•2a=6a2≠6a，
∴C不正确；
∵3﹣2=≠﹣6，
∴D不正确．
故选：B．
3．下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A．B． C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选D．
4．下列各点中，在反比例函数图象上的是（）
A．（2，1）B．（，3） C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，2）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据y=﹣得k=xy=﹣2，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于﹣2，就在函数图象上．
【解答】解：A、2×1=2≠﹣2，故不在函数图象上；
B、×3=2≠﹣2，故不在函数图象上；
C、（﹣2）×（﹣1）=2≠﹣2，故不在函数图象上；
D、（﹣1）×2=﹣2，故在函数图象上．
故选D．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值等于（）
A．B．C．D．
【考点】同角三角函数的关系．
【分析】由三角函数的定义可知sinA=，可设a=3，c=5，由勾股定理可求得b，再利用余弦的定义代入计算即可．
【解答】解：∵sinA=sinA=，
∴可设a=3，c=5，由勾股定理可求得b=4，
∴cosA==，
故选B．
6．从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（）
A．（6+6）米B．（6+3）米C．（6+2）米D．12米
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】在Rt△ABC求出CB，在Rt△ABD中求出BD，继而可求出CD．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠CAB=45°，AB⊥DC，AB=6米，
∴BC=6米，
在Rt△ABD中，
∵tan∠BAD=，
∴BD=AB•tan∠BAD=6米，
∴DC=CB+BD=6+6（米）．
故选：A．
7．如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中错误的是（）
A．B．C．D．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵AD∥BC
∴
∵CD∥BE
∴△CDF∽△EBC
∴，
∴
∵AD∥BC
∴△AEF∽△EBC
∴
∴D错误．
故选D．
8．下列命题中正确的是（）
A．平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
B．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦
C．若两条弧的度数相等，则它们是等弧
D．弦的垂线平分弦所对的弧
【考点】命题与定理．
【分析】利用垂径定理、等弧的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故错误；
B、弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，正确；
C、若两条弧的度数相等，则它们是等弧，错误；
D、弦的垂线平分弦所对的弧，错误，
故选B．
9．如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB为（）
A．米B．米C．b米D．a米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；等边三角形的性质．
【分析】根据CM=CN以及∠MCN的度数可得到△CMN为等边三角形．利用相应的三角函数表示出MN，MC的长，可得到房间宽AB和AM长相等．
【解答】解：过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．
设梯子底端为C点，AB=x，且AB=ND=x．
∴△BNC为等腰直角三角形，
∴180°﹣45°﹣75°=60°
∴△CNM为等边三角形，梯子长度相同
∵∠NCB=45°，
∴∠DNC=45°，
∴∠MND=60°﹣45°=15°，
∴cos15°=，
又∵∠MCA=75°，
∴∠AMC=15°，
∴cos15°=，
故可得： =．
∵△CNM为等边三角形，
∴NM=CM．
∴x=MA=a．
故选D．
10．甲、乙两车沿同一平直公路由A地匀速行驶（中途不停留）前往终点B地，甲、乙两车之间的距离y（千米）与甲车行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示．小红通过图象得出4个信息：
①甲车速度为60千米/小时；
②A、B两地相距240千米；
③乙车行驶2小时追上甲车；
④乙车由A地到B地共用小时．
上述信息正确的有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】一次函数的应用．
【分析】由函数图象可以得出甲车行驶小时时与乙车相遇，而甲车再行驶1小时就与乙车
相距15km可以得出乙车比甲车每小时快15km，得出甲车走完这15km所用时间为4﹣=小时，就可以求出甲车的速度为45千米/时，就可以求出全程距离为45×4=180千米，由函数图象可以得出乙车追上甲车的时间是﹣=2小时，乙车由A地去B地的时间为﹣=3小时据可以得出结论．
【解答】解：由函数图象及题意可以得出：
甲车的速度为：15÷（4﹣）=45km/时，故①错误；
A、B两地的路程为：45×4=180km，故②错误；
乙车追上甲车的时间是﹣=2小时，故③正确；
乙车由A地去B地的时间为﹣=3小时，故④错误．
综上所述，正确的由1个．
故选A
二、填空题（每题3分，共30分）
11．太阳的半径约是69000千米，用科学记数法表示约是 6.9×104千米．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：69000用科学记数法表示为6.9×104，
故答案为6.9×104．
12．函数y=的自变量x的取值范围是x≠﹣．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2x+3≠0，
解得x≠﹣．
故答案为：x≠﹣．
13．不等式组的解集为﹣1≤x≤2 ．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，由①得，x≤2，由②得，x≥﹣1，故不等式组的解集为：﹣1≤x≤2．
故答案为：﹣1≤x≤2．
14．因式分解：y3﹣4x2y= y（y+2x）（y﹣2x）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：y3﹣4x2y，
=y（y2﹣4x2），
=y（y+2x）（y﹣2x）．
15．分式方程=的解是x=﹣3 ．
【考点】解分式方程．
【分析】根据解分式方程的步骤依次进行即可得．
【解答】解：去分母，得：x=3（x+2），
去括号，得：x=3x+6，
移项、合并，得：﹣2x=6，
系数化为1，得：x=﹣3，
经检验x=﹣3是原分式方程的解，
∴方程的解为x=﹣3，
故答案为：x=﹣3．
16．某药品原价每盒25元，经过两次连续降价后，售价每盒16元．则该药品平均每次降价的百分数是20% ．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，
故25（1﹣x）2=16，
解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去），
故该药品平均每次降价的百分率为20%．
故答案为：20%．
17．已知⊙O的弦AB=8cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则⊙O的直径为10 cm．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连结OA，先根据垂径定理得到AC=4，然后根据勾股定理计算出OA，从而得到圆的直径．
【解答】解：连结OA，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=AB=×8=4，
在Rt△AOC中，OC=3，
OA==5，
∴⊙O的直径为10cm．
故答案为10．
18．如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为20 ．
【考点】垂径定理；等边三角形的判定与性质．
【分析】延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC=2BE，由此得解．
【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；
∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；
∴△ADB为等边三角形；
∴BD=AD=AB=12；
∴OD=4，又∵∠ADB=60°，
∴DE=OD=2；
∴BE=10；
∴BC=2BE=20；
故答案为20．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在线段BA的延长线上，且AD=BC，∠BDC=30°，则∠BAC= 60°．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】作AE⊥DC于E，AF⊥BC于F，利用条件可证得Rt△AEC≌Rt△CFA，得到CE=AF，再结合条件证得四边形AECF是矩形，从而可求得∠BAC．
【解答】解：作AE⊥DC于E，AF⊥BC于F，
∵∠D=30°，
∴AE=AD，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF=BC，
∵AD=BC，
∴AE=CF，
又∵∠AEC=∠CFA=90°，AC=CA
在△AEC和△CFA中，
，
∴Rt△AEC≌Rt△CFA（HL），
∴CE=AF，
又∵AE=CF，∠A FC=90°，
∴四边形AECF是矩形，
∴∠ECF=90°，
则∠B=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
故答案为：60°．
20．在Rt△ABC中，∠C=90°，且满足AC＞BC，BD平分∠ABC，点E在BC上，∠EDB=45°，若BE=5CE，CD=3，则AB的长为10 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】如图，作BF⊥DE于F，FN⊥BC于N，FM⊥AC于M，DH⊥AB于H，连接CF．由△DMF ≌△BNF，推出FM=FN，DM=BN，由FM⊥CM，FN⊥CN，推出∠FCM=∠FCN=45°，推出CM=FM=CN=FN，四边形MCNF是正方形，设边长为x，CE=a，BE=5a，由DM=BN，可得3+x=6a﹣x，推出x=，由CD∥FN，得=，得=，解得a=1或，分两种情形分别求解即可．【解答】解：如图，作BF⊥DE于F，FN⊥BC于N，FM⊥AC于M，DH⊥AB于H，连接CF．
∵∠FDB=∠FBD=45°，
∴DF=BF，∵∠DCE=∠EFB=90°，∠CED=∠FEB，
∴∠CDE=∠EBG，
在△DMF和△BNF中，
，
∴△DMF≌△BNF，
∴FM=FN，DM=BN，∵FM⊥CM，FN⊥CN，
∴∠FCM=∠FCN=45°，
∴CM=FM=CN=FN，四边形MCNF是正方形，设边长为x，CE=a，BE=5a，
∵DM=BN，
∴3+x=6a﹣x，
∴x=，
∵CD∥FN，
∴=，
∴=，
解得a=1或，
∵==，
∵BD平分∠ABC，DH⊥AB，DC⊥BC，
∴=，设AD=y，
①当a=1时，BC=6，
∴=，
∴AB=2y，
在Rt△ABC中，62+（y+3）2=（2y）2，解得y=5或﹣3（舍弃），
∴AB=10，
②当a=时，BC=9，
∴=，
∴AB=3y，
在Rt△ABC中，92+（y+3）2=（3y）2，解得y=3或﹣（舍弃），
AD+DC=6，6＜9不合题意舍弃，
∴AB=10．
故答案为10．
三、解答题（21～22题各题7分，23～24题各题8分，25～27题各10分，共计60分）
21．先化简，再求代数式﹣÷的值，其中x=tan60°．
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子，本题得以解决．
【解答】解：﹣÷
=
=
=
=，
当x=tan60°=时，原式==．
22．如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A．B．C．D均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出以AB为斜边的直角三角形ABE，点E小正方形的顶点上，且△ABE的面积为5；
（2）在方格纸中画出以CD为一边的△CDF，点F在小正方形的顶点上，且△CDF的面积为4，CF与（1）中所画线段BE平行，连接AF，请直接写出线段AF的长．
【考点】勾股定理；作图—复杂作图．
【分析】（1）根据题意可知：AB=，因为、、恰好构成以AB为斜边的直角三角形，由此画出图形即可；
（2）根据题意可知：CD=，以CD为底，高为的三角形面积为4，由此画出图形，根据勾股定理求出AF的长即可．
【解答】解：（1）作图如下：
（2）AF==5．
23．某学校准备组织八年级学生春游，供学生选择的春游地点分别是：植物园、太阳岛、东北虎林园．每名学生只能选择其中一个春游地点（必选且只选一个）．该校从八年级学生中随机抽取了a名学生，对他们选择春游地点的情况进行调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图．
（1）求a的值；
（2）求a名学生中选择去植物园春游的人数占所抽取人数的百分比是多少？
（3）如果该校八年级有440名学生，请你估计选择去太阳岛春游的学生有多少名？
【考点】条形统计图；用样本估计总体．
【分析】（1）三组的人数的和就是a的值；
（2）根据百分比的意义即可求解；
（3）利用总人数440乘以对应的百分比即可求解．
【解答】解：（1）a=16+20+4=40；
（2）×100%=40%．
则选择去植物园春游的人数占抽取人数的百分比是40%；
（3）440××100%=220（名）．
答：估计选择去太阳岛春游的学生有220名．
24．已知：将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合（点D与D′为对应点），折痕为EF，连接AF．
（1）如图1，求证：四边形AECF为菱形；
（2）如图2，若FC=2DF，连接AC交EF于点O，连接DO，D′O，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有等边三角形．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定；菱形的判定．
【分析】（1）由折叠性质得AE=CE，AF=FC，∠AEF=∠CEF，由矩形性质得出∠ADC=∠BAD=90°，AE∥CF，证出AE=CF，得出四边形AECF是平行四边形，即可得出结论；
（2）先证出∠DAF=30°，得出∠EAF=60°，证出△AEF和△CEF是等边三角形；再证出OD= AC=OA，∠OAD=60°，得出△AOD是等边三角形；证出CD′=OC=OD′，得出△COD′是等边三角形．
【解答】（1）证明：∵将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，
∴AE=CE，AF=FC，∠AEF=∠CEF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BAD=90°，AE∥CF，
∴∠CFE=∠AEF，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE=CE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：等边三角形为：△AEF、△CEF、△AOD、△COD′；理由如下：
∵FC=2DF，AF=FC，
∴AF=2DF，
∵∠ADC=90°，
∴∠DAF=30°，
∴∠EAF=60°，
∵四边形AECF是菱形，
∴AE=AF，△AEF≌△CEF，OA=OC=AC，
∴△AEF和△CEF是等边三角形；
∵∠ADC=90°，
∴OD=AC=OA，
∵∠OAF=∠EAF=30°，
∴∠OAD=60°，
∴△AOD是等边三角形；
∵CD′=AD=OC，OD′=AC，
∴CD′=OC=OD′，
∴△COD′是等边三角形．
25．哈市某花卉种植基地欲购进甲、乙两种君子兰进行培育，若购进甲种2株，乙种3株，则共需要成本1700元；若购进甲种3株，乙种1株，则共需要成本1500元．
（1）求甲乙两种君子兰每株成本分别为多少元？
（2）该种植基地决定在成本不超过30000元的前提下购进甲、乙两种君子兰，若购进乙种君子兰的株数比甲种君子兰的3倍还多10株，求最多购进甲种君子兰多少株？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设甲种君子兰每株成本为x元，乙种君子兰每株成本为y元．此问中的等量关系：①购进甲种2株，乙种3株，则共需要成本1700元；②购进甲种3株，乙种1株，则共需要成本1500元；依此列出方程求解即可；
（2）结合（1）中求得的结果，根据题目中的不等关系：成本不超过30000元；列不等式进行分析．
【解答】解：（1）设甲种君子兰每株成本为x元，乙种君子兰每株成本为y元，依题意有，
解得．
故甲种君子兰每株成本为400元，乙种君子兰每株成本为300元．
（2）设购进甲种君子兰a株，则购进乙种君子兰（3a+10）株，依题意有
400a+300（3a+10）≤30000，
解得a≤．
∵a为整数，
∴a最大为20．
故最多购进甲种君子兰20株．
26．如图1，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点E，过点D作DF⊥AB于点F．
（1）求证：BC=2DF；
（2）如图2，连接AE，过点C作AE的垂线交⊙O于点M，垂足为G，过点B作CM的垂线，垂足为H，若∠EAB+∠ODF=45°，AB=10，求弦CM的长．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
【分析】（1）根据垂径定理证得2BE=BC，根据AAS证得△OEB≌△OFD，得出DF=BE，即可证得BC=2DF；
（2）连接AM、BM，由AE⊥CM．BH⊥CM．证得AE∥BH，得出∠EAB=∠ABH，进一步证得CG=GH，进而证得∠CBH=∠C=45°，得出CH=BH=BC，通过证得△AMG≌△MBH（AAS），得出MG=BH=CH，即MH=CM，BH=CM，根据圆周角定理证得△ABM是等腰直角三角形，得出AM=BM=
AB=5，然后根据勾股定理即可求得．
【解答】（1）证明：OD⊥弦BC于点E，
∴CE=BE，
∴2BE=BC，
∵DF⊥AB于点F．
∴∠OEB=∠OFD=90°，
在△OEB和△OFD中，
∴△OEB≌△OFD（AAS），
∴DF=BE，
∴BC=2DF；
（2）解：连接AM、BM，
∵AE⊥CM．BH⊥CM．
∴AE∥BH，
∴∠EAB=∠ABH，
∵△OEB≌△OFD，
∴∠ODF=∠ABC，
∵∠EAB+∠ODF=45°，
∴∠ABH+∠ABC=45°，即∠CBH=45°，
∵∠CHB=90°，
∴∠C=45°，
∴CH=BH=BC，
∵AB是直径，
∴∠AMB=90°，
∵∠MAB=∠C=45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AM=BM=AB=×10=5，
∵∠AMC+∠BMC=90°，∠GAM+∠AMC=90°，∴∠GAM=∠HMB，
在△AMG和△MBH中
∴△AMG≌△MBH（AAS），
∴MG=BH，
∴MG=CH，
∴CG=MH，
∵AE∥BH，CE=BE，
∴CG=GH，
∴MH=CM，BH=CM，
在RT△BMH中，MH2+BH2=BM2，
∴（CM）2+（CM）2=（5）2，
∴CM=3．
27．已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，顶点为D，E为对称轴与x轴的交点，A（1，0），B（3，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上第四象限对称轴左侧上一点，设P点的横坐标为m，△PBC的面积为
S，求S与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，过C点作射线CP交对称轴于K，CM⊥DE交抛物线于M，连接PM交对称轴于R，若DK=3RN，求P点的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）把A、B两点代入抛物线解析式即可．
（2）如图1中，过点B作BF⊥x轴，过点C作CF⊥y轴，设点P坐标（m，﹣m2+4m﹣3），根据s=S△PCF+S△PBF﹣S△BCF即可解决．
（3）如图2中，设点P坐标（m，﹣m2+4m﹣3），先求出直线PC、PM的解析式，再求出点K、R坐标，列方程解决即可．
【解答】解（1）把A（1，0），B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c
得解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x﹣3
（2）如图1中，过点B作BF⊥x轴，过点C作CF⊥y轴，设点P坐标（m，﹣m2+4m﹣3）∵点C（0，﹣3），
∴CF=BF=3，
∴s=S△PCF+S△PBF﹣S△BCF=×3×（﹣m2+4m﹣3+3）+×3×（3﹣m）﹣×3×3
∴S=﹣m2+m
（3）如图2中，设点P坐标（m，﹣m2+4m﹣3），
设直线PC的解析式为：y=kx﹣3，把点p代入得k=﹣m+4，
∴直线PC为y=（﹣m+4）x﹣3，
∴点K坐标（2，﹣2m+5），
∵点M坐标（4，﹣3），
设直线PM为y=k′x+b，把P、M两点代入得，解得，
∴直线PM为y=﹣mx+4m﹣3，
∴的R坐标为（2，2m﹣3），
∵DK=3RN，D（2，1），N（2，﹣3）
∴﹣2m+5﹣1=3[2m﹣3﹣（﹣3）]，
∴m=，
∴P（，﹣）．。