05高中数学思想方法专题五《构造思想方法》
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高中数学思想方法专题五构造的思想方法重庆市龙坡区渝西中学401326一知识要点概述在解决数学问题时根据该问题的背景结构特点通过观察联想恰当地构造出对已经认识了的所熟悉的某个数学模型并将欲解证的问题转化为研究该数学模型的特征由此通向达到解决原数学问题的目的这种解决数学问题的思想方法就是构造的思想方法
高中数学思想方法专题五
例3已知a∈(0，1)，求证：对于一切x∈R，都有1+2(2－a2)x2+(3a－a2)x4>2x+2ax3.
证明：整理为关于a的不等式：(x4+2x2)a2－(3x4－2x3)a－4x2+2x－1<0是关于a的二次式，因此，通过变更主元，构造关于a的二次函数.令f(a)=(x4+2x2)a2－(3x4－2x3)a－4x2+2x－1.
三、范例剖析
例1已知定义在R上的偶函数f (x)在[0，+∞)上是增函数，且f ()=0，则满足f (logx)>0的x的取值范围是( )
A.(0，+∞)B.(0，)C.(0，)∪(2，+∞)D.(0，)∪(，2)
解析：根据选择题的特点，利用特殊法求解：令f(x)=|x|﹣，则f(logx)=|logx|﹣，
即f(n)min=f(1)=++=,
故对一切自然数n使得f(n)>2a-5成立的充要条件是：>2a-5，∴a<，
故所求自然数a的最大值是3.
点拨：本题通过构造单调数列，是解证含自然数n的数学问题的一种常采用的方法.
例5已知α,β,γ满足关系等式sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，且0≤α＜β＜γ＜2π，求β－α和γ－β的值.
例6某校准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班级至少1人，名额分配方案共有_____种.
解析：构造一个隔板模型，如下图，取18枚棋子排成一列，在相邻的每两枚棋子形成的17个间隙中选取9个插入隔板，将18枚棋子分隔成10个区段，第i(1≤i≤10)个区段的棋子数。对应第i个班级的名额数，因此名额分配方案的种数与隔板插入种数相等，因隔板插入种数为C,故名额分配方案有C=24310种.
分析：因为sin2α+cos2α=1，sin2β+cos2β=1，sin2γ+cos2γ=1，
所以点A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，C(cosγ，sinγ)，三点均在单位圆x2＋y2=1上，由条件可得△ABC的重心G的坐标为：
，由此可得△ABC的重心G和外心O(0，0)重合，
故△ABC为正三角形，如图所示，
显然x4+2x2≥0，特别地x=0时，f(0)=－1<0成立，
而x≠0时f(0)=－4x2+2x－1=－4(x－)2－<0
f(1)=x4+2x2－3x4+2x3－4x2+2x－1=－2x4+2x3－2x2+2x－1=－2(x2－x)2－x2－(x－1)2<0.
由二次函数的图象知，当a∈(0，1)时，f(a)<max{f(0),f(1)}<0，f (x)＜0，因此，结论成立.
4.联想构造：联想是由一事物想另一事物的思维方式和过程，这种联想通常是事物的形式、结构、范围、关系等因素作用的结果.
二、解题方法指导
1.应用好构造思想解题的关键在二：一是要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合.
2.在运用构造法时，还要注意以下几点：一是构造出的数学模型要保证能反映出原命题的本质特征；二是构造出的数学模型所获得的结果，一定是原命题的解题目标，并经过检验，对于不符合原命题解题目标的结果应予以舍弃.
常用的构造方法有如下几种：
1.类比构造：由于问题中研究对象有着形式上、本质上的相同或相似，通过构造类似的数学形式，运用新数学形式的丰富内涵达到解决问题的目的.
2.归纳构造：对于与n有关的问题，直接不容易构造出，而以具体的特殊的如f(1),f(2),f(3)进而推进到f(n)等.
3.逆向构造：是指按逆向思维方式，向原有数学形式的相反方向去探求，通过构造(形式上，关系上或程度上)对立的数学形式来解决问题.
由|logx|﹣＞0，得logx＜或logx＜﹣，∴0＜x＜或x＞2，故选C.
点拨：根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数，是解答抽象函数型选择题的常用方法，充分体现了由抽象到具体的思维方法.
例2求sin220+cos250+sin20cos50的值.
解析：构造△ABC，设外接圆半径为R，∠A=20，∠B=40，则∠C=120，则
sin20=，sin40=，sin120=，
∴原式=sin220+sin240+sin20sin40=sin220+sin240-2sin20sin40cos120
=()2+()2-2···cosC=(a2+b2-2aபைடு நூலகம்cosC)==sin2120=.
点拨：本题根据所求式的结构，构造三角形，通过正、余弦定理的转换，达到了求值的目的，通过构造避开了使用和差化积与积化和差公式，同时还可以起到简化解题过程，减少繁琐的运算.
构造的思想方法
慕泽刚(重庆市龙坡区渝西中学401326)
一、知识要点概述
在解决数学问题时，根据该问题的背景、结构特点，通过观察、联想、恰当地构造出对已经认识了的所熟悉的某个数学模型，并将欲解证的问题转化为研究该数学模型的特征，由此通向达到解决原数学问题的目的，这种解决数学问题的思想方法就是构造的思想方法.
点拨：本题将已知等式适当变形后，其结构(1-cos)cos+sinsin与数量积的坐标运算式类似，据此构造向量，并用数量积的性质进行解答.
例8已知x、y∈[﹣，]，a∈R，且，求cos(x+2y).
解析：将②×2化为(2y)3+sin2y+2a=0，比较①式中，x3+sinx与②式中(2y)3+sin2y，这两部分形式完全类似，由此类比启示，构造函数f(t)=t3+sint，t∈[﹣，]，
点拨：变更主元是解答多元变量的问题的一条有效的方法，本题通过变更主元构造出一个二次函数，再利用二次函数的性质进行解答的.
例4求自然数a的最大值，使不等式++…+>2a-5对一切自然数n恒成立.
解析：令f(n)=++…+.
对任意n∈N*，f(n+1)-f(n)=++-=+-=>0,
∴f(n+1)>f(n),∴f(n)在N上是单调递增数列，∴f(n)的最小值为f(1)，
所以，β－α=∠AOB=120，γ－β=∠BOC=120.
点拨：在三角的求值、化简、证明过程中，经常会遇到关于sinα与cosα的关系式，通常利用其关系式sin2α+cos2α=1联想与单位圆方程x2＋y2=1在结构与本质上的联系，充分利用这一点，将所要解决的三角问题转化到单位圆中进行解决，使问题得到直观的显现，从而达到优化解题的目的.
构造法是在函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想方法的指导下，解决某些数学问题的一种重要方法之一，它的思维方式是：
“构造”是一种重要而灵活的思维方式，它没有固定的模式，要想用好它，需要敏锐的观察、丰富的联想、创新性的思维等能力，故有一定的难度.高考中常见的构造对象有构造数学模型(即实际问题数学化)、构造方程、构造恒等式、构造函数、构造数列、构造图形、构造反例等.
点拨：对较复杂的排列问题，通常通过构造一个相应的模型来处理.本题就是通过构造一个模型，使较复杂的题设条件转化得直观、形象，达到了快速求解的目的.在解答排列组合应用题中，对于元素没有区别的分配问题，常采用构造隔板模型解答.
例7已知、锐角，cos+cos﹣cos(+)=，求，的值.
解析：由已知得(1-cos)cos+sinsin=﹣cos(*)
构造向量a=((1-cos)，sin)，b=(cos，sin)，
∴a·b=(1-cos)cos+sinsin=﹣cos,
|a||b|=·=.
由于(a·b)2≤|a|2|b|2，于是(﹣cos)2≤2-2 cos，
即(cos﹣)2≤0，∴cos=，∴=.
将=代入(*)并整理，得sin(+)=1，∴=.故==.
高中数学思想方法专题五
例3已知a∈(0，1)，求证：对于一切x∈R，都有1+2(2－a2)x2+(3a－a2)x4>2x+2ax3.
证明：整理为关于a的不等式：(x4+2x2)a2－(3x4－2x3)a－4x2+2x－1<0是关于a的二次式，因此，通过变更主元，构造关于a的二次函数.令f(a)=(x4+2x2)a2－(3x4－2x3)a－4x2+2x－1.
三、范例剖析
例1已知定义在R上的偶函数f (x)在[0，+∞)上是增函数，且f ()=0，则满足f (logx)>0的x的取值范围是( )
A.(0，+∞)B.(0，)C.(0，)∪(2，+∞)D.(0，)∪(，2)
解析：根据选择题的特点，利用特殊法求解：令f(x)=|x|﹣，则f(logx)=|logx|﹣，
即f(n)min=f(1)=++=,
故对一切自然数n使得f(n)>2a-5成立的充要条件是：>2a-5，∴a<，
故所求自然数a的最大值是3.
点拨：本题通过构造单调数列，是解证含自然数n的数学问题的一种常采用的方法.
例5已知α,β,γ满足关系等式sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，且0≤α＜β＜γ＜2π，求β－α和γ－β的值.
例6某校准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班级至少1人，名额分配方案共有_____种.
解析：构造一个隔板模型，如下图，取18枚棋子排成一列，在相邻的每两枚棋子形成的17个间隙中选取9个插入隔板，将18枚棋子分隔成10个区段，第i(1≤i≤10)个区段的棋子数。对应第i个班级的名额数，因此名额分配方案的种数与隔板插入种数相等，因隔板插入种数为C,故名额分配方案有C=24310种.
分析：因为sin2α+cos2α=1，sin2β+cos2β=1，sin2γ+cos2γ=1，
所以点A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，C(cosγ，sinγ)，三点均在单位圆x2＋y2=1上，由条件可得△ABC的重心G的坐标为：
，由此可得△ABC的重心G和外心O(0，0)重合，
故△ABC为正三角形，如图所示，
显然x4+2x2≥0，特别地x=0时，f(0)=－1<0成立，
而x≠0时f(0)=－4x2+2x－1=－4(x－)2－<0
f(1)=x4+2x2－3x4+2x3－4x2+2x－1=－2x4+2x3－2x2+2x－1=－2(x2－x)2－x2－(x－1)2<0.
由二次函数的图象知，当a∈(0，1)时，f(a)<max{f(0),f(1)}<0，f (x)＜0，因此，结论成立.
4.联想构造：联想是由一事物想另一事物的思维方式和过程，这种联想通常是事物的形式、结构、范围、关系等因素作用的结果.
二、解题方法指导
1.应用好构造思想解题的关键在二：一是要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合.
2.在运用构造法时，还要注意以下几点：一是构造出的数学模型要保证能反映出原命题的本质特征；二是构造出的数学模型所获得的结果，一定是原命题的解题目标，并经过检验，对于不符合原命题解题目标的结果应予以舍弃.
常用的构造方法有如下几种：
1.类比构造：由于问题中研究对象有着形式上、本质上的相同或相似，通过构造类似的数学形式，运用新数学形式的丰富内涵达到解决问题的目的.
2.归纳构造：对于与n有关的问题，直接不容易构造出，而以具体的特殊的如f(1),f(2),f(3)进而推进到f(n)等.
3.逆向构造：是指按逆向思维方式，向原有数学形式的相反方向去探求，通过构造(形式上，关系上或程度上)对立的数学形式来解决问题.
由|logx|﹣＞0，得logx＜或logx＜﹣，∴0＜x＜或x＞2，故选C.
点拨：根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数，是解答抽象函数型选择题的常用方法，充分体现了由抽象到具体的思维方法.
例2求sin220+cos250+sin20cos50的值.
解析：构造△ABC，设外接圆半径为R，∠A=20，∠B=40，则∠C=120，则
sin20=，sin40=，sin120=，
∴原式=sin220+sin240+sin20sin40=sin220+sin240-2sin20sin40cos120
=()2+()2-2···cosC=(a2+b2-2aபைடு நூலகம்cosC)==sin2120=.
点拨：本题根据所求式的结构，构造三角形，通过正、余弦定理的转换，达到了求值的目的，通过构造避开了使用和差化积与积化和差公式，同时还可以起到简化解题过程，减少繁琐的运算.
构造的思想方法
慕泽刚(重庆市龙坡区渝西中学401326)
一、知识要点概述
在解决数学问题时，根据该问题的背景、结构特点，通过观察、联想、恰当地构造出对已经认识了的所熟悉的某个数学模型，并将欲解证的问题转化为研究该数学模型的特征，由此通向达到解决原数学问题的目的，这种解决数学问题的思想方法就是构造的思想方法.
点拨：本题将已知等式适当变形后，其结构(1-cos)cos+sinsin与数量积的坐标运算式类似，据此构造向量，并用数量积的性质进行解答.
例8已知x、y∈[﹣，]，a∈R，且，求cos(x+2y).
解析：将②×2化为(2y)3+sin2y+2a=0，比较①式中，x3+sinx与②式中(2y)3+sin2y，这两部分形式完全类似，由此类比启示，构造函数f(t)=t3+sint，t∈[﹣，]，
点拨：变更主元是解答多元变量的问题的一条有效的方法，本题通过变更主元构造出一个二次函数，再利用二次函数的性质进行解答的.
例4求自然数a的最大值，使不等式++…+>2a-5对一切自然数n恒成立.
解析：令f(n)=++…+.
对任意n∈N*，f(n+1)-f(n)=++-=+-=>0,
∴f(n+1)>f(n),∴f(n)在N上是单调递增数列，∴f(n)的最小值为f(1)，
所以，β－α=∠AOB=120，γ－β=∠BOC=120.
点拨：在三角的求值、化简、证明过程中，经常会遇到关于sinα与cosα的关系式，通常利用其关系式sin2α+cos2α=1联想与单位圆方程x2＋y2=1在结构与本质上的联系，充分利用这一点，将所要解决的三角问题转化到单位圆中进行解决，使问题得到直观的显现，从而达到优化解题的目的.
构造法是在函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想方法的指导下，解决某些数学问题的一种重要方法之一，它的思维方式是：
“构造”是一种重要而灵活的思维方式，它没有固定的模式，要想用好它，需要敏锐的观察、丰富的联想、创新性的思维等能力，故有一定的难度.高考中常见的构造对象有构造数学模型(即实际问题数学化)、构造方程、构造恒等式、构造函数、构造数列、构造图形、构造反例等.
点拨：对较复杂的排列问题，通常通过构造一个相应的模型来处理.本题就是通过构造一个模型，使较复杂的题设条件转化得直观、形象，达到了快速求解的目的.在解答排列组合应用题中，对于元素没有区别的分配问题，常采用构造隔板模型解答.
例7已知、锐角，cos+cos﹣cos(+)=，求，的值.
解析：由已知得(1-cos)cos+sinsin=﹣cos(*)
构造向量a=((1-cos)，sin)，b=(cos，sin)，
∴a·b=(1-cos)cos+sinsin=﹣cos,
|a||b|=·=.
由于(a·b)2≤|a|2|b|2，于是(﹣cos)2≤2-2 cos，
即(cos﹣)2≤0，∴cos=，∴=.
将=代入(*)并整理，得sin(+)=1，∴=.故==.