北师大版七年级数学下册第 四章 三角形 全等三角形的基本模型 (25PPT)

平移＋旋转模型：
平移＋对称模型：
图形特点：将其中一个三角形平移至与另一个三角形对应顶点重合，然后 两三角形可关于这点所在直线对称变换后重合，或者绕该顶点旋转后重合
例 5.如图，已知点 B，E，C，F 在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE， ∠A＝∠D. (1)说明：AC∥DE； (2)若 BF＝13，EC＝5，求 BC 的长.
全等三角形的证明思路：（SSS,ASA,AAS,SAS）
已知 已知
已知
(1)已知两边
AB=DE,BC=EF (2)已知两角
∠A=∠D,∠B=∠E
思路一(找第三边)
思路二(找角)
首先找出AC=DF,然后应 ①找夹角:首先找出∠B=∠E,然后应用 用“SSS”判定全等 “SAS”判定全等;②找直角用
练 3.如图，D 是 AC 上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE，试 说明：△ABC≌△DAE.
解：∵DE∥AB ∴∠CAB＝∠EDA（两直线平行，内错角相等）
在△ABC 和△DAE 中 ∠CAB＝∠EDA，（已证）
AB＝DA， ∠B＝∠DAE， ∴△ABC≌△DAE(ASA)
∴∠A＝∠B＝90°（垂直的定义） ∴∠D＋∠ACD＝90° ∵CD⊥CE， ∴∠ACD＋∠BCE＝180°－90°＝90° ∴∠D＝∠BCE
在△ACD 和△BEC 中
∠A＝∠B，（已证）
∠D＝∠BCE（，已证） CD＝EC， ∴△ACD≌△BEC(AAS)
∴AD＝CB（全等三角形的对应边相等）
类型5 组合模型
图形特点：沿公共边或者公共顶点所在某条直线折叠可得 两三角形重合
例 2.如图，点 E，C 在 BF 上，BE＝CF，AB＝DF，∠B＝∠F，试说 明：∠A＝∠D.
解：∵BE＝CF ∴BE＋EC＝CF＋EC，即 BC＝FE
在△ABC 和△DFE 中， AB＝DF，
∠B＝∠F， BC＝FE，（已证） ∴△ABC≌△DFE(SAS) ∴∠A＝∠D（全等三角形的对应角相等）
练2.如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在 AC 边上，∠1＝∠2，AE和BD 相交
于点O．试说明△AEC≌△BED.
解:∵∠A=∠B（已知） ∠AOD=∠BOE（对顶角相等）
在△AOD中，∠2=1800-∠A-∠AOD 在△BOE中，∠BEO=1800-∠B-∠BOE ∴∠2=∠BEO 又∵∠1=∠2（已知） ∴∠1=∠BEO ∴∠1+∠AED=∠BEO+∠AED 即∠AEC=∠BED
∵△ADO≌△AEO
∴DO＝EO（全等三角形的对应边相等）
在△BDO 和△CEO 中
∠BDO＝∠CEO，
DO＝EO（，已证） ∠DOB＝∠EOC（，对顶角相等） ∴△BDO≌△CEO(ASA)
类型3 旋转模型 图形特点：共顶点，绕该顶点旋转可得到两三角形重合
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例 3.如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O，AB∥CD，O 是 BD 的 中点. (1)说明：△ABO≌△CDO； (2)若 BC＝AC＝4，BD＝6，求△BOC 的周长.
第四章 三角形
全等三角形的基本模型
知识点回顾
全等三角形的判定：
1、边边边（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等。 2、角边角（ASA）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 3、角角边（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个 三角形全等。 4、边角边（SAS）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 注意：三个角对应相等不能判定两个三角形全等(AAA)； 两边分别相等且其中一组等边的对角相等不能判定两个三角形全等 (SSA).
∴∠B＝∠DCE（两直线平行，同位角相等） ∠ACB＝∠E（两直线平行，同位角相等） ∵点 C 为 BE 的中点 ∴BC＝CE 在△ABC 和△DCE 中 ∠BCB＝＝C∠ED，CE（，（已已证证）） ∠ACB＝∠E，（已证） ∴△ABC≌△DCE(ASA) ∴AB＝DC（全等三角形的对应边相等）
类型2 对称模型
在△AEC和△BED中
A B(已知)
AE
BE（已知）
AEC BED（已证）
∴△AEC ≌ △BED（ASA）
类型4 一线三等角模型 图形特点：同一条线上有三个相等的角
例 4.如图，AD⊥AB 于点 A，BE⊥AB 于点 B，点 C 在 AB 上，且 CD⊥CE， CD＝CE.试说明：AD＝CB. 解：∵AD⊥AB，BE⊥AB
练 1.如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD 交于点 O，且 AO 平
分∠BAC，试说明：△BDO≌△CEO.
解：∵AO 平分∠BAC ∴∠DAO＝∠EAO（角平分线的定义） ∵∠BDC＝∠CEB＝90° ∴∠ADO＝∠AEO＝90°
在△ADO 和△AEO 中 ∠∠ADDAOO＝＝∠∠AEAEOO（（，，已已证证）） AO＝AO，（公共边） ∴△ADO≌△AEO(AAS)
“HL”判定全等(八年级会学到)
思路一(找夹边)
思路二(找角的对边)
首先找出AB=DE,然后应 首先找出AC=DF或BC=EF,然后应用 用“ASA”判定全等 “AAS”判定全等
(3)已知一边一角
思路一(找夹 思路二(找夹 思路三 角的另一边) 边的另一角) (找边的对角)
①边为角的邻 首先找出BC= 首先找出∠A 首先找出∠C=∠F,然后应用“
解：(1)∵AB∥CD ∴∠BAO＝∠DCO（两直线平行，内错角相等） ∠ABO＝∠CDO（两直线平行，内错角相等） ∵O 是 DB 的中点 ∴BO＝DO
在△ABO 和△CDO 中 ∠BAO＝∠DCO（，已证） ∠ABO＝∠CDO（，已证） BO＝DO（，已证） ∴△ABO≌△CDO(AAS).
(2)∵△ABO≌△CDO， ∴AO＝CO（全等三角形的对应边相等） 1 CO＝2AC＝2 1 ∵BO＝2BD＝3 ∴△BOC 的周长为 BC＋BO＋OC＝4＋3＋2＝9.
边:AB=DE,∠ EF,然后应用 =∠D,然后应 AAS”判定全等
B=∠E
“SAS”判定 用“ASA”判
全等
定全等
②边为角的对 找边的邻角相等,先找出∠A=∠D或∠C=∠F,然后应用
边:
“AAS”判定全等
AC=DF,∠B=
∠E
类型1 平移模型
图形特点：沿同一条直线平移可得到两三角形重合
例 1.如图，AB∥DC，AC∥DE，点 C 为 BE 的中点，试说明：AB＝DC. 解：∵AB∥DC，AC∥DE
解：(1)在△ABC 和△DFE 中
AB＝DF，
∠A＝∠D， AC＝DE， ∴△ABC≌△DFE(SAS)
∴∠ACB＝∠DEF（全等三角形的对应角相等）
∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行）
(2)若BF＝13，EC＝5，求BC的长.
(2)∵△ABC≌△DFE ∴BC＝EF（全等三角形的对应边相等） ∴BC-EC=EF-EC 即 BE=CF 1 ∴BE＝CF＝2(BF－EC)＝4 ∴BC＝BE＋EC＝9