《初中数学116解题模型》450页

母题十二
方法
3 旋转+截长补短：破解半角模型——诀曰： 共顶点，等线段，绕着顶点来旋转。 鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转。 线段和，要得证，截长补短是正本。 正方形，等直三，内含半角转一转。
母题十三
正方形内含半角
1.如图：正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的 点，且∠EAF=45°， ⑴证明：EF=BE+DF ⑵证明△ECF的周长等于正方形ABCD周长的一半。 ⑶过A作AH⊥EF于H，证明：AH=BC 备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。
3. 几何三大方法：全等、相似、勾股定理。 4. 辅助线的认识
① 对内分割 ② 对外补形
5. 压轴题大类：几何综合；代数综合；代几综 合。
戏说数学之——代数 单项式
特 死数（实数）
殊 数 活数（含有字母的数）
代数式（定义）
有理式 无理式
整式 分式
多项式
数与数之间 的特殊关系
相等关系：等式及方程
一元（一次；二次） 整式方程
算功：有理数、无理数、代数式的三种计算功力。 解功：指解一元一次方程、一元二次方程、二元一 次方程组、不等式（组）的四种功力。 勾股三用途：指勾股定理的计算；列方程；证明垂 直的三项功能。
初中数学精髓
1. 几何：两个字概括——特殊：特殊图形；特 殊关系（全等、相似）。
2. 代数：两个字概括——代入：字母的含义代 入代数式、方程、不等式或者函数。
D
如图：四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，且AB=AC，求
证：⑴BD平分∠ADC=90
⑵DA+DC= 2 BD
C
⑶S四边形ABCD=1/2BD2
特别提示：类似题目可以用“旋转大法”和“截长补短”
法以及“角平分线双垂直模型”解决，建议对比提升解
题能力。
母题十一
A B
1.如图：四边形ABCD中，∠ABC=60°， ∠ADC=120°且
A
E
G
F
B
C
母题五
母题六
诀曰：共顶点，等线段，绕着顶点来旋转。
2
鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转。
简释 ：遇到共点等线段出现，可以考虑在共点等线组成的角内找一条过
角的顶点的线段（所谓的鸡爪图），把该线段绕角的顶点旋转一个与α
相同的角度，构造“等角套”，此时必然会产生一对全等三角形。利用
全等的性质去解决问题，事半功倍。
D
A
A
B
D C B
如图：若∠AOB＝∠COD（等角套：内套；外套 ）
则立得： ∠AOC＝∠BOD（理由：
）
等角套等角：产生一对新的等角，“顺藤摸瓜”去确定这一对等角所在的两 个可能相似（全等）的三角形，找到条件证之用之——拨开云雾见天日！
诀曰：歪八套，和歪 A，形影不离似孪生。 特殊的三对相似（和四点共圆结合理解更加妙趣横生）
形可以自己去找。
更多结论参考下页——
母题十四
邻补四边形内含半角（邻边相等，对角互补的四边形）
A F
D
E
B
C
A
F
D
B E
C A
F
E
B
C
1.如图：四边形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的 点， ∠ABC= ∠ADC= 90°且∠EBF=45°， ⑴猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系 备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。
目录2
●“魔鬼模型”——婆罗摩笈定理及模型 ●方、不、函综合应用题解题策略 ●数与代数中的二级结论 ●正方体展开模型识记 ●方程与不等式重点、难点、易错点处理策略 ●瓜豆原理（相似+缩放+旋转的叠加） ●胡不归（斜边打折变对边，正弦助力胡可归） ●最大张角（米勒定理） ●阿氏圆（子母相似邂逅圆创造奇迹） ●中考六道大题破解策略总结及示例 ●作辅助线的的原则 ●《初中数学116解题模型》完整版 ●与初中数学紧密相关的几个历史人物 ●三角形全等的 模型与技巧讲义(初二培优特供)
代数一般式；两得全搞定。 方程辨两类；函数识三型。 系数不为零；指数要相吻。 统计要通关；两查走在前。 四图加一表；数据整理好。 数据分析透；三差加三数。 概率也不难；频率能估算。 列表和树型；搞清总和分。 鱼池鱼几多；应用记概型。 动点巧分类；最短牛喝水。 找准临界点；相似巧破题。 代数两特殊；首先特殊数。 数数拉关系；方不与函数。
母题一
A
D B
1.如图：△ABC和△ADE均为等边三角形，
连接BD、CE（手拉手），延长BD交CE
于F，连接AF。
E
求证：⑴ △ABD≌△ACE ⑵∠BFC=60°
F
⑶AF平分∠DFE
2.若把上题已知条件中的等边三角形
改为等腰直角三角形，∠BAC和∠DAE
为直角，请判断：上述结论有什么变化？
C
试证明你的判断。
二元（一次方程组） 分式方程（可化为一元一次方程）
不等关系：不等式（组） 全部关系：函数与图象
代数学什么？数以及 数与数的关系！
按照数的性质为代数式分类
死数（实数）
• 代数式
活数（含字母的数）
永正数：非负数+正数 非负数：平；绝；根 永负数：－（非负数+正数） 条件活数（川剧变脸）
戏说数学之——几何
母题二
A
M
G
B
C
双等边模型
E
F
D
1.如图：点B、C、D在一条直线上，△ABC与△ECD 都是等边三角形，其中的点及对应的字母如图所示。
证明：
⑴ △BCE≌△ACD（BE=AD本质：等角套+旋转全等） ⑵ △CDF≌△CEG △CBG≌△CAF（旋转全等） ⑶ △CGF是等边三角形。 ⑷MC是∠GMF的平分线。（以点M为顶点的角有
M O G
2.如图：在“1”的条件下，连接BD交AE于G，AF于 M，连接EM、GF。GF与EM相交于O点。 ⑴证明：BG2+MD2=GM2 ⑵证明：△AGF与△AME是等腰直角三角形 ⑶证明：AE平分∠BEF；AF平分∠DFE ⑷ 证明：△ EAB∽ △ EFG； △ ADF∽ △ EMF ⑸图中有至少六个圆内接四边形，太多的相似三角
C
母题八
四边形+换个角度看等角套：共点等线旋转解题策略
A E
B
D 1.如图：正方形ABCD内有一点E，且EA=1，EB=2 EC=3，求∠AEB的度数。
鸡爪—旋转（图中几个鸡爪？
C
选择哪个？为什么？） 口诀：辅助线，有原则，聚合补全方向明。
2.如图：∠ABC=30°， ∠ADC=60°，AD=DC， 求证：AB2+BC2=BD2
鸡爪图
B
A
D C
A
E D B
C
如图：若已知AB=AC，AD是过A点的一条线段——怎么做辅助线？ 作AE=AD，且∠EAD= ∠BAC（或：把线段AD绕A点旋转一个 与∠BAC相等的度数 ），可以达到柳暗花明又一村的奇效。
母题七
A
B
D
如图：等腰直角△BAC中，∠BAC=90°，D为 BC边上任意一点。猜想：AD、BD、DC的数量 关系并证明。
AB=AC，
求证：⑴BD平分∠ADC
⑵DA+DC= BD
D
⑶S四边形ABCD=
3 BD2
4
C
特别提示：和“母题九”类比，条件和结论分别佛发生了 什么变化？
2.如图：四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°且AB=AC， 求证：BD平分∠ADC 问:“1”中的其它结论还成立吗？为什么？
小结，拓展：上面是所谓的共点等线构成的“鸡爪图”，可以如法炮制吗？
学习几何要过四关
• 画图关：按照题意画图形。 • 语言关：文字语言（自然语言）、图形语
言、符号语言这三种语言的转换和翻译。 • 推理关：证明，推理的能力和步骤。 • 模型关：掌握常用的几何模型。
1
诀曰：等角套，套等角，顺藤摸瓜找相似。 备注：等角套也叫共点等角、旋转等角。分为“内套和外套。
O
O
C
初中数学通关口诀
• 代数抓精髓；代入是关键。 • 算功过三关；解功四门槛。 • 函数三姐妹；勾股三用途。 • 非负三兄弟；蜕皮两魔鬼。 • 几何要通透；精髓是特殊。 • 重点特殊图；识图定性判。 • 两图谈感情；特殊关系联。 • 全等加相似；对称与旋转。 • 平移与投影；位似也要算。 • 考点说举做；做题改变找。 • 条件挖隐含；分类不漏点。 • 思路技巧精；反思记模型。 • 应用均同宗；关系是根本。 • 元量同回代；运算有六种。 • 关系大小等；再加倍比分。 • 每每有热点；负元巧应用。
F
B
C
E
母题四
A
1.如图，等腰直角三角形ABC中，D为斜边BC
E B
F
上的中点，E、F分别在AB、AC上，且ED⊥EF， 求证：⑴BE=AF ⑵△EDF为等腰直角三角形
⑶BE2+CF2=EF2 ⑷S△ABC=2S四边形AEDF
C
2.在“1”中，若EF与AD相交于G，其他条件 不变，求证：⑴ED2=EG·EA ⑵GE·GF=GA·GD
A D
C
B
如果AB=4，BC=3，求BD=？
图解：图中直角=360 -（360-30-60）=90
A┓
B D
C
母题九
A
E B
如图：等边三角形ABC中，EA=3，EB=4，EC=5 求∠AEB的度数。
C
母题十
A
B
“邻补四边形模型”口诀：对角补，邻边等，知二推一角平分。
邻补四边形：对角互补，邻边相等的四边形！
注意：2中的点M为△ABC的费
中的点及对应的字母如图所示。
证明：⑴BE=DC ⑵MA是∠GME的平分线。 （以点M为顶点的角有六个60°角，请你找出
马点：三角形中到三个顶点距 来并说明理由）。⑶ △AEG是等边三角形吗？
离的和最小的点！且这个最小 距离就是DC或BE（为什么？）
为什么？AE=AE吗？说明理由。
六个60°角，请你找出来并说明理由）。
2.如图：把题“1”中的两个等边三角形绕C点
A
E 反向旋转（左逆右顺），就形成了一对新的
D
“双等边三角形”。
G E
M
已知： △ABC为任意三角形，AB＜AC， ∠BAC＜120°，分别以AB、AC为边向三角形 外侧作两个等边三角形：△ABD与△ACE。其中
B C
母题三 双正方形模型
A
D
1.如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，
G
H F
G在CD上，BG的延长线交DE于H。求证： ⑴BG=DE ⑵BG⊥DE
（内含：歪八套歪A+四点共圆，与圆结合：宝藏也）
B
C
E
A
D
2.如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，
HG
BG交DE于H。求证： ⑴BG=DE ⑵BG⊥DE （对照“1”，类比推理）
特 基本图形（点、线、面、空）
殊 图 特殊图形（三、四、多、圆）
三角形 （直角等腰） 特殊图形 四边形 （平矩菱正）
多边形与圆（正、圆）
图与图之间 的特殊关系
全等关系 相似关系 变换关系
定义 性质 判定
定义 性质
判定
普通图形（丑） （整容） 特殊图形（美）
对称—兴致—平移—位似—投影—视图
几何学什么：特殊的图形以及图形之间的特殊关系！
A
A
鸡爪图
E
D
B
C
D
B C
如图：若已知AB≠AC，假定AB：AC=m，AD是过A点的一条线段—— 怎么做辅助线？作AD：AC=m，且∠DAE= ∠BAC（或：把线段AC绕 A点旋转一个与∠BAC相等的度数，并使 AD：AE=m ），会发生什么？ 有全等吗？显然不是！找一找：是不是出现了相似——神气的一转成双！
A
E
D
EF
D
B
C
口诀：手拉手，是旋转，等边等腰和任三。
3.若把“1”题已知条件中的等边三角形 改为顶角相等的两个等腰三角形，∠BAC 和∠DAE顶角，请判断：上述结论有什么 变化？试证明你的判断。
4.若把“1”中的条件改为： △ABC中， DE∥BC，把 △ABC旋转到如图所示的 位置。其他条件不变。请判断：上述 结论有什么变化？试证明你的判断。
《深本数学116解题模型》（初中版）配套母题
目录1
●等角套 ●鸡爪图（旋转大法） ●内含半角模型（截长补短+旋转大法） ●将军饮马（牛喝水）——两村一路问题及拓展 ● 妙趣横生的“十字架”（四边形+三角形） ●中点处理策略 —— 五大模型 ●角平分线处理策略（双垂、单垂、双等、与平行等腰叠加） ●相似模型俱乐部 ●倍半角处理策略 ●三角比与解三角形及应用模型（确定即可求的理念进一步深化） ●一次函数中K的颜值及其妙用 ●二次函数常用二级结论及解题套路 ●反比例函数中的几何模型及二级结论 ●完美无缺的圆（圆中的模型） ●妙不可言、威力无穷的12345模型
A
D O
C B
若∠D＝∠C，这个图形为“歪8”， 显然△AOD∽△BOC，添油加醋—
A
D O
C B
若∠D＝∠C，这个图形为“歪8”， 显然△AOD∽△BOC，添油加醋—连接 AB、DC， △AOB∽△DOC相似吗？为什 么？
八字倒角（共边等角，一等三等）：
如图：如果∠BAC与∠BDC； ∠DAC与∠DBC； ∠ABD与∠ACD ∠BDA与∠ACB四对共边等角中，有一对相等，则另外三对一定相等。 思考：为什么叫“共边等角”？ （学了圆，理解、记忆更容易）