高三数学第二轮复习专题3不等式

高三数学第二轮复习专题3不等式
专题3 不等式
江苏省震泽中学 王利平
一、填空题
例1 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，B ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫a 2
，2a ，其中a ∈R.定义A ×B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，
x 1∈A ，x 2∈B }，若集合A ×B 中的最大元素为2a ＋1，则a 的取值范围是________． 解析 A ×B ＝{a 2,2a ，a 2＋1,2a ＋1}．由题意，得2a ＋1＞a 2＋1，解得0＜a ＜2. 答案 (0,2)
例2 ．设12
3
log
2,ln 2,5
a b c -===则c b a ,,三者的大小关系
解析 a=3
log 2=2
1log 3, b=In2=2
1
log e
,而2
2log
3log 1
e >>,所
以a<b, c=1
2
5-=
5
,而
2252log 4log 3
>=>,所以c<a,综上
c<a<b.
答案c a b <<
例3 ．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，
解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0”．给出如下一种解法：
解 由ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c ＞0的解集为(－2,1)， 即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为(－2,1)．
参考上述解法，若关于x 的不等式k
x ＋a
＋
x ＋b x ＋c ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫12，1，则关于x 的不等式kx
ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为________．
解析 不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0可化为k
1x
＋a ＋
1
x ＋b 1x ＋c
＜0，所以有1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫12，1， 即x ∈(－3，－1)∪(1,2)，从而不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1
＜0的解集为(－3，－1)∪(1,2)． 答案 (－3，－1)∪(1,2) 例4 ．设不等式组
x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域是
1
Ω,平面区域是2
Ω与1
Ω关于直线3490x y --=对称,对
于1
Ω中的任意一点A 与2
Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于
解析 由题意知，所求的||AB 的最小值，即为区域1
Ω中的点到直线3490x y --=的距离的最小值的
两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图
所示，
可看出点（1，1）到直线3490x y --=的距离最小，
故||AB 的最小值为
|31419|
24
5
⨯-⨯-⨯
=。

答案 4
例5 ．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)． ①1ab ≤； 2
a b ≤； ③ 2
22
a
b +≥；
④3
33
a
b +≥； ⑤11
2a b
+≥ 解析 令1a b ==，排除②④；由221
a b ab ab =+≥≤，
命题①正确；
222()2422
a b a b ab ab +=+-=-≥，命题③正确；
1122a b a b ab ab
++==≥，命题⑤正确。

答案 ①，③，⑤
例6 ．对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则
a 的取值范围是________．
解析 ∵x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，∴a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫x x 2
＋3x ＋1max ，而x x 2
＋3x ＋1＝1
x ＋1x
＋3≤12
x ·1x
＋3
＝15(x >0)，当且仅当x ＝1
x 时，等号成立，∴a ≥15.
答案 a ≥1
5
例7 ．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．
解析 由x 2＋y 2＋xy ＝1，得(x ＋y )2－xy ＝1，即xy ＝(x ＋y )2
－1≤(x ＋y )24，所以34(x ＋y )2≤1，
故－233≤x ＋y ≤23
3，当x ＝y 时“＝”成
立，所以x ＋y 的最大值为23
3.
答案 23
3
例8 ．已知14x y -<+<且23x y <-<，则23z x y =-的取值范围是_______（答案用区间表示）
解析 画出不等式组14
23
x y x y -<+<⎧⎨
<-<⎩
表示的可行域，在可行域内平移直线z=2x-3y ，当直线经过x-y=2与x+y=4的交点A （3，1）时，目标函数有最小值z=2×3-3×1=3；当直线经过x+y=-1与x-y=3的焦点A （1，-2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8.
答案 （3，8）
例9 ．当a >0且a ≠1时，函数f (x )＝log a (x －1)＋1的图象恒过点A ，若点A 在直线mx －y ＋n ＝0上，则4m ＋2n 的最小值为________． 解析 易知f (x )恒过点(2,1)．由于(2,1)在mx －y ＋n ＝0上，则2m ＋n ＝1.又4m ＋2n ＝22m ＋2n
≥22
2m ＋n
＝22，当且仅当m ＝14，n ＝
1
2
时等号成立． 答案 2 2
例10 ．已知点P 在直线x ＋2y －1＝0上，点Q 在直线x ＋2y ＋3＝0上，PQ 中
点M (x 0，y 0)满足y 0＞x 0＋2，则y 0
x 0
的取
值范围是________．
解析 设y 0
x 0
＝k ，则y 0＝kx 0.由题意，得
⎩⎨
⎧
x 0＋2y 0＋1＝0，
y 0＞x 0＋2，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝－11＋2k ，(k －1)x 0＞2，
从而有
1－k 1＋2k
＞2，即
5k ＋12k ＋1
＜0，解得－12＜k ＜－15.所以y 0
x 0∈
⎝
⎛
⎭
⎪⎪⎫－12，－15. 答案 ⎝
⎛
⎭⎪⎪⎫
－12，－15
例11 ．若不等式组
03434x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
所表示的平面区域
被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k
的值是
解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC
由34
34x y x y +=⎧⎨+=⎩得A （1，1），又B （0，4），C （0，43） ∴S △ABC =144(4)1233
-⨯=，设y kx =与34x y +=的 交点为D ，则由12
23
BCD
S
S ABC ∆=
∆=知1
2
D
x
=
，∴52
D
y
=
∴5147
,2233
k k =⨯+=。

答案 73 例12 ．若不等式(－1)
n －1
(2a －1)＜n
)2
3(对一切正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是________．
解析 当n 为奇数时，原不等式即为(2a －1)＜
n )2
3(，又对一切正整数n 恒成立，所以2a
A x
D y C O y=kx+43 B
－1＜32⇒a ＜5
4
，当n 为偶数时，原不等式
即为－(2a －1)＜n
)23(，即2a －1＞－n
)2
3
(又对一切正整数n 恒成立，所以2a －1＞－n
)2
3(，从而a ＞－58，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－58，54.
答案 ⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫－58，54
例13 ．已知x ∈(0，π)，则函数f (x )＝1＋cos x ＋8sin 2
x
2
sin x
的最小值为________．
解析
f (x )＝
1＋cos x ＋8sin 2
x
2
sin x
＝
2cos 2
x 2＋8sin 2 x 22sin x 2cos
x 2
＝
cos
x
2sin x 2
＋
4sin
x 2cos
x 2
≥2
cos x 2sin x 2·4sin
x 2cos x 2
＝4，当且仅当cos x 2sin x 2＝4sin
x
2cos x 2，即tan x 2＝1
2
时取“＝”，因为0＜x 2＜π
2，所以存在x 使tan
x 2＝1
2，这时f (x )min ＝4. 答案 4
例14 ．已知实数x ，t ，满足8x ＋9t ＝s ，且x
＞－s ，则x 2＋(s ＋t )x ＋st ＋1
x ＋t 的最小值为
________．
解析 设x ＋t ＝m ，则x 2＋(s ＋t )x ＋st ＋1
x ＋t
＝x 2＋(8x ＋10t )x ＋(8x ＋9t )t ＋1x ＋t ＝9(x ＋t )2＋1x ＋t
＝9m 2＋1m ＝9m ＋1
m .因x ＞－s ，即x ＞－(8x ＋9t )，所以x ＋t ＞0，即m ＞0，所以9m ＋1
m ≥6，当且仅当m ＝13，即x ＋t ＝1
3时等号成立．故所
求最小值为6. 答案 6
例15．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x ＜0时，f (x )＜0，则关于x 的不等式f (mx 2)－2f (x )＞f (m 2x )－2f (m )(0＜m ＜2)的解集为________． 解析 由题意，得f (x )是奇函数且在R 上为增
函数，所以由f (mx 2)＋f (2m )＞f (m 2x )＋f (2x )， 得f (mx 2＋2m )＞f (m 2x ＋2x )，即mx 2＋2m
＞m 2x ＋2x ，也即)2
(m x -(x －m )>0.
又0＜m ＜2，所以x ＜m ，或x ＞2m . 答案
⎭⎬
⎫⎩
⎨⎧><m x m x x 2或
例16．若实数a ，b ，c 满足2a
＋2b
＝2
a ＋b,2a
＋2b
＋2c ＝2a ＋b ＋c ，则c 的最大值为________． 解析 ∵2a ＋b ＝2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b (当且
仅当a ＝b 时取等号)，
∴(2a ＋b )2－4×2a ＋b ≥0，∴2a ＋b ≥4或2a ＋
b
≤0(舍)．
又∵2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c ，∴2a ＋b ＋2c ＝2a ＋
b
·2c ，
∴2c ＝2a ＋b
2a ＋b －1
(2a ＋b ≥4)．
又∵函数f (x )＝x x －1＝1＋1
x －1
(x ≥4)单调
递减，
∴2c
≤44－1＝43
，∴c ≤log 24
3＝2－log 23.
答案 2－log 23
二、解答题
例17．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热屋建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度
x(单位：cm)满足关系式：C(x)＝
k 3x＋5
(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年
能源消耗费用为C(x)＝
k
3x＋5
，
再由C(0)＝8得k＝40，因此C(x)＝40
3x＋5
.而建造费用C1(x)＝6x.
故f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×
40
3x＋5
＋6x
＝
800
3x＋5
＋6x(0≤x≤10)．
(2)由f (x )＝2)55353400(-+++x x ≥2(2400－5)＝70，当且仅当4003x ＋5
＝3x ＋5，
即x ＝5时等号成立，得f (x )min ＝70. 当隔热层修建为5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．
例18．设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l .
(1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程； (2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3.
由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线，
故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1，
由此得⎩⎨
⎧
8＋8a ＋2b ＋a ＝0，
12＋8a ＋b ＝1， 解得
⎩⎨
⎧
a ＝－2，
b ＝5.
所以切线l 的方程为x －y －2＝0. (2)由(1)得f (x )＝x 3－4x 2＋5x －2， 所以f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x .
依题意，方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，故x 1、x 2是方程 x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根，所以Δ
＝9－4(2－m )>0，即m >－1
4
.
又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，
特别地，取x ＝x 1时，f (x 1)＋g (x 1)－mx 1<－m 恒成立，得m <0，
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m >0.故0<x 1<x 2.
对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x >0，
所以f (x )＋g (x )－mx ＝x (x －x 1)(x －x 2)≤0. 又f (x 1)＋g (x 1)－mx 1＝0，
所以函数f (x )＋g (x )－mx 在x ∈[x 1，x 2]上的最大值为0.
于是当m <0时，对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．
综上所述，m 的取值范围是⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫－14，0.
例19．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x 和g (x )＝2sin x ·cos x .
(1)若a 为实数，试求函数F (x )＝f (x )＋ag (x )，x ∈[0，π
2
]的最小值h (a )；
(2)若对任意x ∈[0，π
2]，使|af (x )－g (x )－
3|≥1
2
恒成立，求实数a 的取值范围．
解 (1)F (x )＝f (x )＋ag (x )＝sin x ＋cos x ＋2a sin x cos x .
设t ＝sin x ＋cos x ，则2sin x cos x ＝t 2－1，所以φ(t )＝t ＋a (t 2－1)＝at 2＋t －a ， 由x ∈[0，π
2
]，得t ∈[1，2]．
若a ＝0，则h (a )＝φ(1)＝1；若a ＞0，则φ(t )＝a ⎝
⎛
⎭
⎪⎪⎫t ＋12a 2
－a －14a ，因为t ＝－12a ＜0，
所以φ(t )在[1，2]上单调递增，所以h (a )＝φ(1)＝1；
若a ＜0，则当－12a ≤1＋2
2
，即a ≤1－2
时，h (a )＝φ(2)＝a ＋2；当－12a ＞1＋22
， 即1－2＜a ＜0时，h (a )＝φ(1)＝1.
综上所述，h (a )＝⎩⎨⎧
1， a ＞1－2，a ＋2，a ≤1－2， (2)由|af (x )－g (x )－3|≥12
，得|a (sin x ＋cos x )－2sin x cos x －3|≥12
. 设t ＝sin x ＋cos x ，则2sin x cos x ＝t 2－1，
且由x ∈⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，得t ∈[1，2]． 所以|at －t 2
－2|≥12恒成立，即t 2－at ＋2≤－12或t 2－at ＋2≥12
恒成立． 由t 2－at ＋2≤－12，得a ≥t ＋52t ，因为t ∈[1，
2]，且t ＋52t 在[1，2]上递减， 所以t ＋52t ≤72，所以a ≥72.由t 2－at ＋2≥12
，得a ≤t ＋32t
.因为t ∈[1，2]， 所以t ＋32t ≥2t ·32t ＝6，当且仅当t ＝32t
，即t ＝62
时等号成立，所以a ≤ 6. 综上所述a ≤6或a ≥72
. 例20．某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)．如图所示，垂直放置的
标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE
＝α，∠ADE ＝β.
(1)该小组已测得一组α，β的
值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，
请据此算出H的值．
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的
距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若
电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，α—β最大？
解(1)由AB＝
H
tan α，BD＝
h
tan β，AD＝
H
tan β
及AB＋BD＝AD，得
H
tan α＋
h
tanβ＝
H
tan β，
解得H＝
h tan α
tan α－tan β
＝
4×1.24
1.24－1.20
＝124.
因此，算出的电视塔的高度H是124 m.
(2)由题设知d＝AB，得tan α＝H d.
由AB ＝AD －BD ＝H tan β－h tan β
，得tan β＝H －h d
，所以tan(α－β) ＝tan α－tan β1＋tan αtan β
＝h d ＋H (H －h )d ≤h 2H (H －h ). 当且仅当d ＝H (H －h )d
，即d ＝H (H －h ) ＝125×(125－4)＝555时，上式取等号，所以当d ＝555时tan(α－β)最大．
因为0＜β＜α＜π2，则0＜α－β＜π2
，所以当d ＝555时，α－β最大．
故所求的d 是55 5 m.。