高中数学 第二讲《参数方程》全部教案 新人教A版选修4-4

曲线的参数方程
教学目标：
1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

3．会进行参数方程和普通方程的互化。

教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

参数方程和普通方程的互化。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

参数方程和普通方程的等价互化。

教学过程
一．参数方程的概念
1．探究：
（1）平抛运动： 为参数）
t gt y t
x (215001002⎪⎩
⎪
⎨⎧-== 练习：斜抛运动：
为参数）
t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩
⎪
⎨⎧-⋅=⋅=αα
2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1
232
t y t
x (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。

)
0,1()2
1
,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==
A 、一个定点
B 、一个椭圆
C 、一条抛物线
D 、一条直线
二．圆的参数方程
)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨
⎧==ωω
)(sin cos 为参数θθ
θ⎩⎨
⎧==r y r x
说明：
（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。

（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。

例2．（教科书第24页例2）
思考：你能回答教科书第25页的思考吗？
三．参数方程和普通方程的互化
1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。

注意，在参数方程和普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值X 围保持一致。

例3．（教科书第25页例3）
例4．（教科书第26页例4）
2．你能回答教科书第26页的思考吗？
四．课堂练习
（教科书第26页习题）
五．巩固与反思
1．本节学习的数学知识 2．本节学习的数学方法 巩固与提高
1．与普通方程xy=1表示相同曲线的参数方程（t 为参数）是（D ）
A ．⎩⎨⎧==-22t y t x
B ． ⎩⎨⎧==t y t x csc sin
C ．⎪⎩
⎪
⎨⎧==t y t
x 1 D ．⎩⎨⎧==t y t x cot tan
轨迹是所表示的一族圆的圆心为参数、由方程)(045243222t t ty tx y x =-+--+。

半径，并化为普通方程所表示圆的圆心坐标、为参数、指出参数方程)(sin 235cos 22ααα+=-=⎩⎨⎧y x
2．下列哪个点在曲线)(2cos sin 为参数θθ
θ⎩⎨
⎧==y x 上（C ）
A ．(2,7)
B ．)3
2,31( C ．)2
1,21( D ．(1,0) 3．曲线)(sin 2cos 12
为参数θθθ
⎩⎨
⎧=+=y x 的轨迹是（D ）
A ．一条直线
B ．一条射线
C ．一个圆
D ．一条线段 4．方程)(cos 2为参数θθ
⎩⎨
⎧==y x 表示的曲线是（D ）
A ．余弦曲线
B ．与x 轴平行的线段
C ．直线
D ．与y 轴平行的线段 5．曲线)(sin cos 为参数θθ
θ⎩⎨
⎧==y x 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（D ）
A ．2
1 B ．
2
2
C ．1
D ．2 6．方程04524222=-+--+t ty tx y x (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D ） A ．一个定点 B ．一个椭圆 C ．一条抛物线 D ．一条直线 7．直线)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==t y t x 与圆)(sin 2cos 24为参数ϕϕϕ
⎩⎨⎧=+=y x 相切，
那么直线的倾斜角为（A ） A ．6
π
或
6
5π B ．
4π或43π C ．3π或3
2π
D ．6π-或65π- 8．曲线y y x 222=+的一个参数方程为)(sin 1cos 为参数θθθ
⎩
⎨
⎧+==y x 。

9．曲线)(1
1为参数t t t y t t x ⎪⎩
⎪⎨
⎧
-
=+=的普通方程为422=-y x 。

10．已知)(sin cos 2为参数θθ
θ
⎩⎨
⎧=+=y x ，则2
2)4()5(++-y x 的最大值是6。

11．设飞机以匀速v=150m/s 作水平飞行，若在飞行高度h=588m 处投弹（设投弹的初速度等于飞机的速度，且不计空气阻力）。

（1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程；
（2）试问飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标。

解：（1）)(9.45881502
为参数t t
y t
x ⎩⎨
⎧
-==。

（2）1643m 。

12．火炮以α为发射角，0v 为初速度发射，求炮弹的轨迹方程。

解：)(21sin cos 2
00为参数t gt t y y t v x ⎪⎩
⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα。

13．动点M 从起点M 0(1,2)出发作等速直线运动，它在x 轴与y 轴方向上的分速度
分别为6和8，求点M 的轨迹的参数方程。

解：)(8261为时间参数t t
y t x ⎩⎨
⎧+=+=。

14．求直线为参数）
t t
y t x (11⎩⎨
⎧-=+=与圆422=+y x 的交点坐标。

解：把直线的参数方程代入圆的方程，得(1+t)2+(1-t)2=4,得t=±1,分别代入直
线方程,得交点为（0，2）和（2，0）。

圆的参数方程的应用
教学目标：
知识与技能：利用圆的几何性质求最值（数形结合） 过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：会用圆的参数方程求最值。

教学难点：选择圆的参数方程求最值问题. 授课类型：复习课
教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、最值问题
1.已知P （x,y ）圆C ：x 2+y 2－6x －4y+12=0上的点。

（1）求
x y
的最小值与最大值
（2）求x －y 的最大值与最小值 2
+y 2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值是；
2/.圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是_______；
3. 过点(2,1)的直线中,被圆x 2+y 2-2x+4y=0截得的弦：
为最长的直线方程是_________；为最短的直线方程是__________；
4．若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值为；
二、参数法求轨迹
1)一动点在圆x 2＋y 2=1上移动,求它与定点(3,0)连线的中点的轨迹方程
2)已知点A(2,0),P 是x 2+y 2=1上任一点,AOP ∠的平分线交PA 于Q 点,求Q 点的轨迹.
解题思想：将要求点的坐标x,y 分别用同一个参数来表示
例题：1)点P(m,n)在圆x 2+y 2=1上运动,
求点Q(m+n,2mn)的轨迹方程
2)方程x 2+y 2-2(m+3)x+2(1-4m 2)y+16m 4
程表示一个圆,求m 的取值X 围和圆心的轨迹方程。

三、小结：本节学习内容要求掌握 1．用圆的参数方程求最值； 2．用参数法求轨迹方程，消参。

四、作业：
圆锥曲线的参数方程
教学目的：
知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法
教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、复习引入：
1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。

(1)圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θ
θ
sin cos r y r x （θ为参数）
（2）圆2
20
20)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数） 2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。

3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？ 二、讲解新课：
的推导：椭圆122
22=+b
y a x 参数方程
⎩
⎨
⎧==θθ
sin cos b y a x （θ为参数） 参数方程：双曲线122
22=-b y a x 参数方程⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）
参数方程：抛物线Px y 22
=参数方程⎩
⎨⎧==Pt y Pt x 222
（t 为参数）
1、 关于参数几点说明：
（1） 参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意
义。

（2） 同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 （3） 在实际问题中要确定参数的取值X 围 2、 参数方程的意义：
参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标。

3、 参数方程求法
（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x
（2）选取适当的参数
（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式
（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 4、 关于参数方程中参数的选取
选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。

与运动有关的问题选取时间t 做参数 与旋转的有关问题选取角θ做参数
或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。

二、 典型例题：
例1．设炮弹发射角为α，发射速度为0v ，
（1）求子弹弹道曲线的参数方程（不计空气阻力）
（2）若s m V o /100=，6
π
α=，当炮弹发出2秒时，
① 求炮弹高度 ② 求出炮弹的射程
例2．求椭圆的参数方程（见教材）
椭圆122
22=+b
y a x 参数方程
⎩
⎨
⎧==θθ
sin cos b y a x （θ为参数）
变式训练1. 已知椭圆⎩⎨⎧==θθ
sin 2cos 3y x (θ为参数)
求（1）6
π
θ=
时对应的点P 的坐标 （2）直线OP 的倾斜角
变式训练2 A 点椭圆长轴一个端点，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA=90°，其中O 为椭圆中心，求椭圆离心率e 的取值X 围。

例3．把圆0622=-+x y x 化为参数方程
（1） 用圆上任一点过原点的弦和x 轴正半轴夹角θ为参数 （2） 用圆中过原点的弦长t 为参数
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．选择适当的参数表示曲线的方程的方法; 2．体会参数的意义
五、课后作业：教材P
圆锥曲线参数方程的应用
教学目的：
知识与技能：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题 过程与方法：选择适当的参数方程求最值。

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：选择适当的参数方程求最值。

教学难点：正确使用参数式来求解最值问题 授课类型：新授课 教学模式：讲练结合 教学过程： 一、复习引入：
通过参数θ简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值X 围等问题。

二、讲解新课：
例1．求椭圆的内接矩形面积的最大值
变式训练1
椭圆 122
22=+b
y a x （0>>b a ）与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上存在点P ，
使OP ⊥AP ，（O 为原点），求离心率e 的X 围。

例2．AB 为过椭圆
116
252
2=+y x 中心的弦，1F ，2F 为焦点，求△ABF 1面积的最大值。

例3．抛物线x y 42=的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接三角形的周长。

例4 、过P （0，1）到双曲线122=-y x 最小距离
变式训练2：
设P 为等轴双曲线122=-y x 上的一点，1F ，2F 为两个焦点，证明
2
21OP P F P F =⋅
例5，在抛物线ax y 42=)0(>a 的顶点，引两互相垂直的两条弦OA ，OB ，求顶点O 在AB 上射影H 的轨迹方程。

三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
适当使用参数表示已知曲线上的点用以求最值问题
五、课后作业：
直线的参数方程
教学目的：
知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义
过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：曲线参数方程的定义及方法
教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学. 一、复习引入：
1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。

圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θ
θ
sin cos r y r x （θ为参数）
（2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθ
sin cos 00r y y r x x （θ为参数）
2．写出椭圆参数方程. 3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程?
二、讲解新课：
1、 教师引导学生推导直线的参数方程：
过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程
⎩
⎨
⎧+=+=αα
sin cos 00t y y t x x （t 为参数） 2、 辨析直线的参数方程：
T 的几何意义是指它表示点P 0P 的长,带符号.
三、直线的参数方程应用：
课本例题,此略.
四、小结：
（1）直线参数方程求法 （2）直线参数方程的特点
（3）根据已知条件和图形的几何性质，注意参数的意义
参数方程与普通方程互化
教学目的：
知识与技能：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 过程与方法：选取适当的参数化普通方程为参数方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：参数方程与普通方程的互化 教学难点：参数方程与普通方程的等价性 授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、复习引入：
（1）圆的参数方程 （2）椭圆的参数方程 二、讲解新课：
1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种： （1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数 （2） 三角法：利用三角恒等式消去参数
（3） 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。

化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值X 围的一致性，必须根据参数的取值X 围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值X 围。

2、常见曲线的参数方程
（1）圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θ
θ
sin cos r y r x （θ为参数）
（2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩
⎨⎧+=+=θθ
sin cos 00r y y r x x （θ为参数）
（3）椭圆122
22=+b
y a x 参数方程
⎩
⎨
⎧==θθ
sin cos b y a x （θ为参数） （4）双曲线122
22=-b y a x 参数方程⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）
（5）抛物线Px y 22
=参数方程⎩
⎨⎧==Pt y Pt x 222
（t 为参数）
（6）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程
⎩
⎨
⎧+=+=αα
sin cos 00t y y t x x （t 为参数） 典型例题
1、 将下列参数方程化为普通方程
（1）⎪⎩⎪⎨⎧+=-=2
22
2
t y t t x （2）⎩⎨⎧=+=θθθ2sin cos sin y x （3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
+=++=2221t t y t t x （4）⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=22
1212t t y t x （5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=)
1(3)1(222t t y t t x
变式训练1
2、（1）方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=2
1y t t x 表示的曲线
A 、一条直线
B 、两条射线
C 、一条线段
D 、抛物线的一部分
（2）下列方程中，当方程x y =2表示同一曲线的点
A 、⎩⎨⎧==2t y t x
B 、⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x sin sin 2
C 、⎩⎨⎧=+=t y x 11
D 、⎪⎩⎪⎨⎧=+-=t
y t t xos x tan 2cos 121 例2化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线。

（1） ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=t
y t x 4321 （t 是参数） （2） θθ2cos cos 2==y x （θ是参数） （3） 22
2
212121t t y t t
x +-=-=
（t 是参数）
变式训练2。

P 是双曲线⎩
⎨⎧==θθtan 3sin 4y x （t 是参数）上任一点，1F ，2F 是该焦点： 求△F 1F 2的重心G 的轨迹的普通方程。

例3、已知圆O 半径为1，P 是圆上动点，Q （4，0）是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点，当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程。

变式训练3：
已知),(y x P 为圆4)1()1(22=-+-y x 上任意一点，求y x +的最大值和最小值。

三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
熟练记忆把参数方程化为普通方程的几种方法。

五、课后作业：见教材53页 .5
圆的渐开线与摆线
教学目的：
知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程.
过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程
教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法
授课类型：新授课
教学模式：讲练结合 启发引导 自学指导 发现教学法 偿试指导法 启发、诱导发现教学.
教学过程：
一、复习引入：
1 复习：圆的参数方程
二、讲解新课：
1、以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线
的参数方程为⎩
⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x （ϕ为参数） 2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为。

⎩⎨⎧-=-=)
cos 1()sin (ϕϕϕr y r x （ϕ为参数） 例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程
变式训练1 当2πϕ=，π时，求圆渐开线⎩⎨⎧-=+=ϕ
ϕϕϕϕϕcos sin sin cos y x 上对应点A 、B 坐标并求出A 、B 间的距离。

变式训练 2 求圆的渐开线⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)
cos (sin 2)sin (cos 2t t t y t t t x 上当4π=t 对应的点的直角坐标。

例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程
变式训练3
求摆线⎩
⎨⎧-=-=t y t t x cos 1sin π20≤≤t 与直线1=y 的交点的直角坐标
例3、设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M 它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴。

三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．
2．
3．。