2013版中考复习方案课件：第四单元三角形-人教版
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中考复习提能训练课件第四章第1讲相交线和平行线PPT课件
图 4-1-10
A. 30°
B. 40°
C. 50° D. 60°
解析：因为 AC∥DF，所以∠A＝∠1.又因为 AB∥EF，所
以∠A＝∠2，所以∠1＝∠2，由∠2＝50°，得∠1＝50°.
3 ． (2013年广东佛山)命题“ 对顶角相等” 的条件是 __两__个__角__是__对__顶__角____．
＝a＋x，那么 x
3 x＝a＋x)；
(2)选择(1)中你写出的一个 命题，说明它正确的理由．
图 4-1-8
解：(1)命题 1：如果①，②，那么③； 命题 2：如果①，③，那么②. (2)命题 1 的证明如下： ∵AE∥DF, ∴∠A＝∠D. ∵AB＝CD， ∴AB＋BC＝CD＋BC，即 AC＝DB. 在△AEC 和△DFB 中， ∵∠E＝∠F，∠A＝∠D，AC＝DB， ∴△AEC≌△DFB(AAS)． ∴CE＝BF.
5．如图4-1-3，在△ABC 中，∠A＝90°，点 D在AC 边上， DE∥BC，若∠1＝155°，则∠B 的度数为__6_5_°_．
图 4-1-3
与线(直线、射线、线段)、 角(互余、互补、垂直)有 关的计算
例题：(2013 年江苏南通)如图 4-1-4，直线 AB，CD 相交于
点 O，OE⊥AB，∠BOD＝20°，则∠COE＝__________.
考点2 相交线
1．垂线的性质． 性质 1：过一点有且只有___一__条_____直线与已知直线垂直． 性质 2 ：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， __垂__线__段____最短． 2．点到直线的距离． 直线外一点到这条直线的垂线段的__长__度___，叫做点到直线 的距离．
考点3 平行线的性质与判定 1．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种： ___相__交_____或 ___平__行_____. 2．平行线公理：经过直线外一点，有且只有___一__条___直线 与这条直线平行．
中考数学复习方案第四单元三角形第21课时直角三角形及勾股定理
综上所述,原直角三角形纸片的斜边长是 4 5或 10,
故答案是:4 5或 10.
第二十五页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
考向二 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)及其逆定理的应用
例2 [教材(jiàocái)题]一架2.5米长的梯子靠在一座建筑物上,梯子的底部离建筑物0.7米,如果
梯子的顶部滑下0.4米,梯子的底部向外滑出多远?
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
题组二
易错题
【失分点】
直角的不确定引起的分类讨论;求最短距离时,将立体(lìtǐ)图形展开成平面图形求解.
6.[2018·东营]如图 21-2 所示的圆柱的高 AB=3,底面直径 BC=3,现在有一只蚂蚁
想从 A 处沿圆柱表面爬到对角 C 处捕食,则它爬行的最短距离是 (
A.3 1 + π
的中点,连接BM,MN,BN, ∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,则BN的长为
.
高
频
考
向
探
究
图21-6
第二十二页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
[答案] 2
1
[解析]在△ CAD 中,∵M,N 分别是 AC,CD 的中点,∴MN∥AD,MN= AD,
2
1
在 Rt△ ABC 中,∵M 是 AC 的中点,∴BM= AC=1.
∵∠ACB=45°,∴AF=CF=1,
∴DF= 2 - 2 = 3,
∴CD=DF-CF= 3-1.
故答案是:4 5或 10.
第二十五页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
考向二 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)及其逆定理的应用
例2 [教材(jiàocái)题]一架2.5米长的梯子靠在一座建筑物上,梯子的底部离建筑物0.7米,如果
梯子的顶部滑下0.4米,梯子的底部向外滑出多远?
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
题组二
易错题
【失分点】
直角的不确定引起的分类讨论;求最短距离时,将立体(lìtǐ)图形展开成平面图形求解.
6.[2018·东营]如图 21-2 所示的圆柱的高 AB=3,底面直径 BC=3,现在有一只蚂蚁
想从 A 处沿圆柱表面爬到对角 C 处捕食,则它爬行的最短距离是 (
A.3 1 + π
的中点,连接BM,MN,BN, ∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,则BN的长为
.
高
频
考
向
探
究
图21-6
第二十二页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
[答案] 2
1
[解析]在△ CAD 中,∵M,N 分别是 AC,CD 的中点,∴MN∥AD,MN= AD,
2
1
在 Rt△ ABC 中,∵M 是 AC 的中点,∴BM= AC=1.
∵∠ACB=45°,∴AF=CF=1,
∴DF= 2 - 2 = 3,
∴CD=DF-CF= 3-1.
中考数学总复习 第四单元 三角形 第24课时 解直角三角形的应用课件
参考数据: 3≈1.732, 2≈1.414)
(
A.4.64 海里
B.5.49 海里
C.6.12 海里
D.6.21 海里
)
第十一页，共三十八页。
课前双基巩固
[答案] B
[解析] 如图所示,
由题意知,∠BAC=30°,∠ACB=15°,
作 BD⊥AC 于点 D,以点 B 为顶点,BC 为边,在△ABC 内部作∠CBE=∠ACB=15°,则∠BED=30°,BE=CE.
45°,那么铁塔的高度是
m.(精确到 0.1 m)
在 Rt△ACE 中,CE=AE·tan45°=6DE 中,DE=AE·tan30°=60× 3 =20 3.
所以铁塔的高度为 CE+DE=60+20 3≈94.6(m).
图 24-4
第七页，共三十八页。
课前双基巩固
5. [九下 P115 问题 3 改编] 如图 24-5,为了测量旗杆的高度,小明在 M 处用高 1 米(DM=1 米)
(2)由(1)得:PE=0.63CE=31.5(m),
∴AC=BP-PE=90-31.5=58.5(m),58.5÷3=19.5,∴点 C 位于第 20 层.
答:点 C 位于第 20 层.
图 24-13
第二十页，共三十八页。
高频考向探究
3. [2016·徐州 25 题] 如图 24-14,为了测出旗杆 AB 的高度,在旗杆前的平地上选择一点 C,测得旗杆顶部 A 的仰
形(一般同时得到两个直角三角形)是解决这类问题的常用方法;在多个直角三角形中一定要认真分析各条
线段之间的关系(包括三角函数关系、相等关系),运用方程求解,有时可起到事半功倍之效.注意下面两个基
(
A.4.64 海里
B.5.49 海里
C.6.12 海里
D.6.21 海里
)
第十一页，共三十八页。
课前双基巩固
[答案] B
[解析] 如图所示,
由题意知,∠BAC=30°,∠ACB=15°,
作 BD⊥AC 于点 D,以点 B 为顶点,BC 为边,在△ABC 内部作∠CBE=∠ACB=15°,则∠BED=30°,BE=CE.
45°,那么铁塔的高度是
m.(精确到 0.1 m)
在 Rt△ACE 中,CE=AE·tan45°=6DE 中,DE=AE·tan30°=60× 3 =20 3.
所以铁塔的高度为 CE+DE=60+20 3≈94.6(m).
图 24-4
第七页，共三十八页。
课前双基巩固
5. [九下 P115 问题 3 改编] 如图 24-5,为了测量旗杆的高度,小明在 M 处用高 1 米(DM=1 米)
(2)由(1)得:PE=0.63CE=31.5(m),
∴AC=BP-PE=90-31.5=58.5(m),58.5÷3=19.5,∴点 C 位于第 20 层.
答:点 C 位于第 20 层.
图 24-13
第二十页，共三十八页。
高频考向探究
3. [2016·徐州 25 题] 如图 24-14,为了测出旗杆 AB 的高度,在旗杆前的平地上选择一点 C,测得旗杆顶部 A 的仰
形(一般同时得到两个直角三角形)是解决这类问题的常用方法;在多个直角三角形中一定要认真分析各条
线段之间的关系(包括三角函数关系、相等关系),运用方程求解,有时可起到事半功倍之效.注意下面两个基
中考数学复习方案 第四单元 三角形 第 相似三角形及其应用数学课件
2 7
3
4
6
8
= = ,满足这两个直角三角形相似的条件.∴x=5 或 x= 7.∴x 的值可
以有 2 个.故选 B.
9.如图20-10,P为Rt△ABC斜边AB上任意一点(除A,B外),过点P作直线截△ABC,
使截得的新三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线的作法共有 (
A.1种
B.2种
C.3种
-
,一条线段有⑥ 两
个黄金分割点.
考点二 平行线分线段成比例
1.基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
如图 20-1,两条直线 l1,l2 被三条互相平行的直线 AD,BE,CF 所截,则 =
图20-1
.
2.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段
(或在同一直线上),像这样的两个图形叫做位似图形,这点叫做位似中心.
2.基本图形:
图20-3
3.性质
(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于⑮ 相似比 ;
(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于⑯
(3)位似图形对应边⑰ 平行
(或在同一条直线上);
(4)位似图形对应角相等.
4.作图步骤
图20-8
)
[答案] C
[解析]∵DN∥BM,∴△ADN∽△ABM,
∴ = ,
∵NE∥MC,∴△ANE∽△AMC,
∴
=
故选 C.
,∴
=
.
7.如图20-9,在△ABC中,DE∥BC,过点A作AM⊥BC于点M,交DE于点N,若S△ADE∶
(优)中考一轮复习专题数学人教版第四章三角形的有关概念及性质
A)
(2020·烟台)如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交
_____∥BC且DE
离相等，可过角平分线上的点
2
D.
2
D.
5，7，2
D.
(2019·浙江杭州)在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，
必有一个内角等于30° B.
AB，BC于点E，F，连接EF.
第2课时 三角形的有关概念及性质
三角形的外角通常和三角形的内角、平行线一起考查，在解题时要注意一个外角与它不相邻的两个内角之和的关系.
8
C.
则该三角形的周长为(
)
边长可以是 ________________________________(写出一个即可).
如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD，AE分别是其角平分线和中线，
80°
1
＝__2 _BC
结论
高线不一定在三角形内，遇到 高线问题应注意分类讨论
见到中点则常寻找同一三角形 中的另一边的中点并连接(常 作辅助线之一)
三角形的重要线段是常考的知识点，单独考查的频次不高，常在几何图形 综合题中进行考查
注意，“三条角平分线”的交点、“三条中线”的交点一定在三角形内， 但“三条高线”的交点可能在三角形内，也可能是三角形的顶点，也可能 在三角形外.
必有一个内角等于60° D.
(2)三角形任意两边之差小于第三边
“两边的和”“两边的差”中的“两边”可以是三角形中的任意两条边，不能用指定的或特殊的两边作和或差来判断.
按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形
DE⊥AB，垂足恰好是边AB的中点E.
如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD，AE分别是其角平分线和中线，
人教版九年级数学中考总复习《直角三角形与勾股定理》课件20张 (共20张PPT)
考点精讲
【例】（2016广东）如图1-4-5-1，
Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°， CD⊥AB交AB于点D，以CD为较短的直角 边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E= 30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作 Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC， ∠HCI=90°. 若AC=a，求CI的长.
课堂巩固训练
1. 将一副直角三角板按如图1-4-5-11放置，若∠AOD=20°，
则∠BOC的大小为
（B）
A. 140°
B. 160°
C. 170° D. 150°
2. 如图1-4-5-12，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂
思路点拨：在Rt△ACD中，利用30°角的性质和勾股定理求出 CD的长；同理在Rt△ECD中求出FC的长，在Rt△FCG中求出CH 的长；最后在Rt△HCI中，利用30°角的性质和勾股定理求出 CI的长. 解：在Rt△ACB中，∠B=30°，∠ACB=90°， ∴∠A=90°-30°=60°. ∵CD⊥AB， ∴∠ADC=90°. ∴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱACD=30°.
•1、多少白发翁，蹉跎悔歧路。寄语少年人，莫将少年误。 •2、三人行，必有我师焉；择其善者而从之，其不善者而改之。2021/10/312021/10/312021/10/3110/31/2021 8:14:06 PM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/312021/10/312021/10/3110/31/2021
【例】（2016广东）如图1-4-5-1，
Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°， CD⊥AB交AB于点D，以CD为较短的直角 边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E= 30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作 Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC， ∠HCI=90°. 若AC=a，求CI的长.
课堂巩固训练
1. 将一副直角三角板按如图1-4-5-11放置，若∠AOD=20°，
则∠BOC的大小为
（B）
A. 140°
B. 160°
C. 170° D. 150°
2. 如图1-4-5-12，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂
思路点拨：在Rt△ACD中，利用30°角的性质和勾股定理求出 CD的长；同理在Rt△ECD中求出FC的长，在Rt△FCG中求出CH 的长；最后在Rt△HCI中，利用30°角的性质和勾股定理求出 CI的长. 解：在Rt△ACB中，∠B=30°，∠ACB=90°， ∴∠A=90°-30°=60°. ∵CD⊥AB， ∴∠ADC=90°. ∴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱACD=30°.
•1、多少白发翁，蹉跎悔歧路。寄语少年人，莫将少年误。 •2、三人行，必有我师焉；择其善者而从之，其不善者而改之。2021/10/312021/10/312021/10/3110/31/2021 8:14:06 PM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/312021/10/312021/10/3110/31/2021
中考数学复习讲义课件 第4单元 第20讲 解直角三角形及其应用
3≈277(m)． 277m.
8．(2021·娄底)我国航天事业捷报频传，“天舟二号”于 2021 年 5 月 29 日成 功发射，震撼人心．当“天舟二号”从地面到达点 A 处时，在 P 处测得点 A 的仰角∠DPA 为 30°且 A 与 P 两点的距离为 6km，它沿铅垂线上升 7.5s 后到达 B 处，此时在 P 处测得点 B 的仰角∠DPB 为 45°，求“天舟二号” 从 A 处到 B 处的平均速度．(结果精确到 1m/s，取 3≈1.732， 2≈1.414)
解：由题意，得∠DPA＝30°，∠DPB＝45°，AP＝6km，∠BDP＝90°. ∴在 Rt△APD 中，AD＝12AP＝3km，PD＝AP·cos30°＝6× 23＝3 3(km)． ∴在 Rt△BPD 中，BD＝PD·tan45°＝3 3km. AB＝BD－AD＝3 3－3≈2.196(km)＝2196(m)． 2196÷7.5≈293(m/s)． 答：“天舟二号”从 A 处到 B 处的平均速度约为 293m/s.
答：河宽 EF 的长度约为 53.3m.
10．(2021·怀化)政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼 (2014·常德)如图，A，B，C 表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB， BC 表示连接缆车站的钢缆．已知 A，B，C 所处位置的海拔 AA1，BB1，CC1 分别为 160 米，400 米，1000 米，钢缆 AB，BC 分别与水平线 AA2，BB2 所成 的夹角为 30°，45°，求钢缆 AB 和 BC 的总长度．(结果精确到 1 米)
解：过点 C 作 CF⊥AE 于点 F. 则 FC＝AD＝20m，AF＝DC． 在 Rt△ACF 中，∠EAC＝22°. ∵tan∠EAC＝FACF＝tan22°≈25， ∴DC＝AF≈52FC＝52×20＝50(m)．
中考数学复习 第四单元 三角形 第19课时 等腰三角形数学课件1
(2)请选择(1)中的一种情形,写出证明过程.
(2)选①②证明如下:
在△BOE和△COD中,
∵∠EBO=∠DCO,∠EOB=∠DOC,BE=CD,
∴△BOE≌△COD,∴BO=CO,∴∠OBC=∠OCB,
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB,
即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
即△ABC是等腰三角形.
2
角形 ABC 的底角的度数为
.
[答案] 15°或45°或75°
[解析]分情况讨论:
(1)当∠ABC为顶角时,△ABC为等腰直角三角形,如图①,此时∠C=45°;
1
(2)当∠ABC 为底角,∠BAC 为锐角时,如图②,BD= AC,∴∠BAC=30°,则∠ABC=75°;
2
1
(3)当∠ABC 为底角,∠BAC 为钝角时,如图③,BD= AC,∴∠BAD=30°,∠BAC=150°,
又∵∠ADB=∠C+∠DAC,
∴2∠C=∠ADB,
70°
∴∠C=
2
=35°.
图19-2
| 考向精练 |
1.[2018·湖州]如图19-3,AD,CE分别是
[答案]B
△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,
[解析] ∵AB=AC,AD是△ABC的中线,
∠CAD=20°,则∠ACE的度数是 (
∴AD⊥BC.∵∠CAD=20°,
-∠ECD=180°-50°-50°=80°,故选D.
3.[2019·黔三州]如图19-5,以△ABC的顶
[答案] 34°
点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于
[解析]根据题意可得
点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则
(2)选①②证明如下:
在△BOE和△COD中,
∵∠EBO=∠DCO,∠EOB=∠DOC,BE=CD,
∴△BOE≌△COD,∴BO=CO,∴∠OBC=∠OCB,
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB,
即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
即△ABC是等腰三角形.
2
角形 ABC 的底角的度数为
.
[答案] 15°或45°或75°
[解析]分情况讨论:
(1)当∠ABC为顶角时,△ABC为等腰直角三角形,如图①,此时∠C=45°;
1
(2)当∠ABC 为底角,∠BAC 为锐角时,如图②,BD= AC,∴∠BAC=30°,则∠ABC=75°;
2
1
(3)当∠ABC 为底角,∠BAC 为钝角时,如图③,BD= AC,∴∠BAD=30°,∠BAC=150°,
又∵∠ADB=∠C+∠DAC,
∴2∠C=∠ADB,
70°
∴∠C=
2
=35°.
图19-2
| 考向精练 |
1.[2018·湖州]如图19-3,AD,CE分别是
[答案]B
△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,
[解析] ∵AB=AC,AD是△ABC的中线,
∠CAD=20°,则∠ACE的度数是 (
∴AD⊥BC.∵∠CAD=20°,
-∠ECD=180°-50°-50°=80°,故选D.
3.[2019·黔三州]如图19-5,以△ABC的顶
[答案] 34°
点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于
[解析]根据题意可得
点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则
中考数学复习方案 第四单元 三角形 第 等腰三角形数学课件
它的特征值k=
.
两底角的度数为:
∴特征值 k=
180°-80°
2
=50°,
80° 8
= ;
50° 5
②当∠A 为底角时,顶角的度数
为:180°-80°-80°=20°,
∴特征值 k=
20° 1
= ,
80° 4
8
1
5
4
故答案为 或 .
第十九页，共三十三页。
5.[2018秋·
广州番禺区期末(qī mò)]等腰三角形
∴△ BB'C 为等边三角形,∴BB'=BC.
又∵在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,∴BB'=BC=6 3.
第十页，共三十三页。
题组二
易错题
【失分点】腰与底不确定时忽视分类讨论;分类讨论时忘记三角形三边关系;顶角与底
角(dǐ jiǎo)不确定时忽视分类讨论造成漏解.
第二十四页，共三十三页。
证明(zhèngmíng):∵DE∥AC,∴∠1=∠3.
∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.
∴∠2=∠3.
∵AD⊥BD,
∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°,
∴∠B=∠BDE,∴△BDE是等腰三角形.
第二十五页，共三十三页。
2.[2018·嘉兴]已知:如图20-13,在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB, DF⊥BC,垂足分别
CE,故选B.
图20-8
第十七页，共三十三页。
3.[2018·
娄底]如图20-9,△ABC中,AB=AC,
[答案] 6
AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点
(广东专用)2013届中考数学复习方案 第4单元 三角形新课标课件 新人教版
∴∠A1＝12∠A.∵∠A＝θ，∴∠A1＝θ2 ； 同理可得∠A2＝12∠A1＝12·12θ＝θ22 ，所以∠An＝θ2n .
第18讲┃ 归类示例
综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分线 的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，可以灵活 的解决内外角的关系，得到结论．
第19讲┃ 全等三角形
∠3和∠7是同位角
内错 角
如果两个角在截线l的两旁(交错)，在被 截线a、b之间(内)叫做内错角(位置在内 且交错)．∠2和∠8，∠3和∠5是内错角
同旁 如果两个角在截线l的同侧，在被截直线 内角 a、b之间(内)叫做同旁内角．∠5和∠2，
∠3和∠8是同旁内角
第17讲┃ 考点聚焦 考点6 平行
平行线的 定义 平行 公理
∵∠1＝40°， ∴∠3＝180°－∠1－90°＝180°－40°－90°＝50°. ∵a∥b，∴∠2＝∠3＝50°.故答案为：50°.
第17讲┃ 归类示例
计算角度问题时，要注意挖掘图形中的隐含条件(三角 形内角和、互为余角或补角、平行性质、垂直)及角平分线 知识的应用．
第17讲┃ 归类示例
► 类型之三 度、分、秒的计算 命题角度： 1．度、分、秒的换算； 2．度、分、秒的计算．
_一__半___ (1)一个三角形有三条中位线；(2)三角形的中位线
分得三角形两部分的面积比为1∶3
第18讲┃ 考点聚焦 考点4 三角形的三边关系
定理 三角形的 稳定性
三角形的任何两边之和__大__于____第三边 三条线段组成三角形后，形状无法改变是
稳定性的体现
第18讲┃ 考点聚焦 考点5 三角形的内角和定理及推理
第18讲┃ 三角形
第18讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
第18讲┃ 归类示例
综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分线 的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，可以灵活 的解决内外角的关系，得到结论．
第19讲┃ 全等三角形
∠3和∠7是同位角
内错 角
如果两个角在截线l的两旁(交错)，在被 截线a、b之间(内)叫做内错角(位置在内 且交错)．∠2和∠8，∠3和∠5是内错角
同旁 如果两个角在截线l的同侧，在被截直线 内角 a、b之间(内)叫做同旁内角．∠5和∠2，
∠3和∠8是同旁内角
第17讲┃ 考点聚焦 考点6 平行
平行线的 定义 平行 公理
∵∠1＝40°， ∴∠3＝180°－∠1－90°＝180°－40°－90°＝50°. ∵a∥b，∴∠2＝∠3＝50°.故答案为：50°.
第17讲┃ 归类示例
计算角度问题时，要注意挖掘图形中的隐含条件(三角 形内角和、互为余角或补角、平行性质、垂直)及角平分线 知识的应用．
第17讲┃ 归类示例
► 类型之三 度、分、秒的计算 命题角度： 1．度、分、秒的换算； 2．度、分、秒的计算．
_一__半___ (1)一个三角形有三条中位线；(2)三角形的中位线
分得三角形两部分的面积比为1∶3
第18讲┃ 考点聚焦 考点4 三角形的三边关系
定理 三角形的 稳定性
三角形的任何两边之和__大__于____第三边 三条线段组成三角形后，形状无法改变是
稳定性的体现
第18讲┃ 考点聚焦 考点5 三角形的内角和定理及推理
第18讲┃ 三角形
第18讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
中考复习课件：第4单元 三角形(6课时)
需要更完整的资源请到 QFC QAE 60
0
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跟进训练:
（2010浙江义乌）如图1，已知∠ABC=90°， △ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点 P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针 旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点 F.（2）已知线段AB= 2 3，设BP=x ，点Q到射线BC的距离为y，
求y关于x的函数关系式．
Q
0
(3)作EN BE
ABE 60 , EBF 90 60 30
0 0 0
在RtEBN中, EBF 60 , BE 2 3
0
A E
EN 3,BF EF 2
B
FN 图1
HP
C
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考点三 全等三角形的判定方法
（1）SAS （2）ASA （3）AAS （4）SSS 直角三角形除上述方法外，还有 HL. 需要更完整的资源请到 新世纪教
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1.（2010.凉山）如图∠E=∠F=90°, ∠B=∠C, AE=AF, 结论:①EM=FN；②CD=DN；③ ∠FAN=∠EAM； C ④△CAN≌△ABM．其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）已知线段AB= 2 3 ，设BP=x ，点Q到射线BC的距离为y，
求y关于的函数关系式．
Q Q A E B
需要更完整的资源请到 新世纪教 C B F 图 P 育网 1 -
A E F P 图2 C
跟进训练:
（2010浙江义乌）如图1，已知∠ABC=90°， △ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点 P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针 旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点 F.（1）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数， 并加以证明； 解：QFC 60
0
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跟进训练:
（2010浙江义乌）如图1，已知∠ABC=90°， △ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点 P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针 旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点 F.（2）已知线段AB= 2 3，设BP=x ，点Q到射线BC的距离为y，
求y关于x的函数关系式．
Q
0
(3)作EN BE
ABE 60 , EBF 90 60 30
0 0 0
在RtEBN中, EBF 60 , BE 2 3
0
A E
EN 3,BF EF 2
B
FN 图1
HP
C
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考点三 全等三角形的判定方法
（1）SAS （2）ASA （3）AAS （4）SSS 直角三角形除上述方法外，还有 HL. 需要更完整的资源请到 新世纪教
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1.（2010.凉山）如图∠E=∠F=90°, ∠B=∠C, AE=AF, 结论:①EM=FN；②CD=DN；③ ∠FAN=∠EAM； C ④△CAN≌△ABM．其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）已知线段AB= 2 3 ，设BP=x ，点Q到射线BC的距离为y，
求y关于的函数关系式．
Q Q A E B
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A E F P 图2 C
跟进训练:
（2010浙江义乌）如图1，已知∠ABC=90°， △ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点 P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针 旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点 F.（1）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数， 并加以证明； 解：QFC 60
中考复习课件：第4单元 三角形(6课时)-2
2
3
4
z
考点整合 考点三 黄金分割
A
如果 C
B
如图,点 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,(AC>BC)
A = BC (或AC2=AB ∙ BC)， 那么称线段 AB 被点 C C A AC 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点。 B 黄金分割， AC 与 AB 的比叫做黄金比.
A = BC = C A AC B
cd a c ab 2.合比性质 : 如果 , 那么 _______ d b d b
b
d
a c m 3.等比性质 : 如果 ... (b d ... n 0), b d n a c m a c .... m 或 或. 那么 __________ b d ... n d d n
a b 如果 （或b 2 ac） ，则b叫做a、c的比例中项。 b c 需要更完整的资源请到 新世纪教
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考点二
比例的性质
a c 1.基本性质 : 如果 , 那么 ________; ad bc b d a c 如果ad bc, 那么 __________ _ .(a, b, c, d都不等于0)
A E D
F G
B
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C
归类示例
(2008.安徽). 如图四边形ABCD和四边形ACED 都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、 CD于点P、Q。 ⑴请写出图中各对相似三角形(相似比为1 除外)； (2)求BP∶PQ∶QR A 解：（1） △BCP∽△BER
√5 – 1
2
≈ 0.618
注意:一条线段的黄金分割点有两个 . 需要更完整的资源请到 新世纪教
中考复习课件：第4单元 三角形(6课时)-3
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跟进训练
1.已知D、E、F分别是△ABC三边的中点, 1
2 cm; 若△ABC的周长为acm,则△DEF的周长为＿＿＿＿
若△ABC的面积为bcm2,则△DEF的面积为＿＿＿＿cm2.
a
1 b 4
2.(2008.衢州)如图,点D、E分别在△ABC的边AB 、AC上,且
6 x 240 x 28800 6( x 20) 26400
2
2
B
D F
C
答：当矩形EFGH的边FG为20米时，空地改造的总投资最小， 最小值为26400元。 需要更完整的资源请到 新世纪教
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跟进训练
有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三 角形，已知∠Ｃ＝900,AB=5cm,AC=3cm,试 设计一种方案,用这批不锈钢片截出面积最大的 正方形不锈钢片,并求出这种为锈钢片的边长.
(2)当矩形EFGH的边FG为多少米时, △ABC空地改造总投资最 小?最小值为多少元? A
解：（2）设改造后的总投资为W元 3 1 3 1 3 x ( 120 x) 4 W (120 x)(80 x) 6 x x 10 2 2 2 2 2
H
80-X K G X E X
12 分析： CD 5
C 3cm E H
如图(2),设边长为ycm,则BH=(4-y)cm
12 x 如图（1）设边长为Xcm, x 5 12 则由△CEH～△ABC可得: 5 60 5 x 37
A
FD C
G 5cm
B
（1）
3cm F G
H B 5cm
则由△GBH～△ABC可得: A 12 y 4 y y x y 7 3 4 需要更完整的资源请到 新世纪教 所以应按图(2) 的方式截正方形钢片
中考数学复习方案 第四单元 三角形 第19课时 直角三角形课件
向
探
究
1
∵M 是 AC 的中点,∴BM= AC.
2
又∵AC=AD,∴BM=MN.
第十五页，共三十三页。
基
础
知
识
巩
固
例1 如图19-5,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接
(liánjiē)BM,MN,BN.
(2)若∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.
高
频
考
向
探
究
互余
;
(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于
性质 ③ 斜边的一半(yībàn)
;
(3)直角三角形斜边上的中线等于④
斜边的一半
;
(4)勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么⑤
第三页，共三十三页。
a2+b2=c2
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
(续表)
高
频
考
向
探
究
∵AN=1,∴NC=MN=2,∴AC=AN+NC=3,∴BC=6.故选B.
第十九页，共三十三页。
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
2.[2018·玉林(yùlín)]如图19-7,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,则AD的取值范围
是
.
[答案] 2<AD<8
[解析] 如图,延长 BC 交 AD 的延长线于点 E,过点 B
探
究
1
∵M 是 AC 的中点,∴BM= AC.
2
又∵AC=AD,∴BM=MN.
第十五页，共三十三页。
基
础
知
识
巩
固
例1 如图19-5,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接
(liánjiē)BM,MN,BN.
(2)若∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.
高
频
考
向
探
究
互余
;
(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于
性质 ③ 斜边的一半(yībàn)
;
(3)直角三角形斜边上的中线等于④
斜边的一半
;
(4)勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么⑤
第三页，共三十三页。
a2+b2=c2
基
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知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
(续表)
高
频
考
向
探
究
∵AN=1,∴NC=MN=2,∴AC=AN+NC=3,∴BC=6.故选B.
第十九页，共三十三页。
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
2.[2018·玉林(yùlín)]如图19-7,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,则AD的取值范围
是
.
[答案] 2<AD<8
[解析] 如图,延长 BC 交 AD 的延长线于点 E,过点 B
中考数学复习方案 第四单元 三角形 第23课时 相似三角形的应用课件
D.AB∥A'B'
图23-8
[答案] C
[解析]∵以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C',
∴△ABC∽△A'B'C',点C、点O、点C'三点在同一直线上,AB∥A'B',
AO∶OA'=1∶2,故选项C错误,符合题意.
故选:C.
| 考向精练 |
[2019·滨州]在平面直角坐标系中,△ ABO 三个
5
5
,CF= 2,NF= 2 - 2 = ,
5
在直角三角形 ABC 中,AC= 5,所以 F 点的坐标为
3 5
根据规律,F1 比 F 的横坐标增加
所以点 F1 的坐标为
2 5
5
+
3 5
5
5
标增加 个单位,所以点 F2 的坐标为
5
所以 F2019 的坐标为
2 5
5
+
3 5
5
5
3 5
+
5
, 5+
=
+
,∴OE=32.
答:楼的高度 OE 为 32 m.
,
角度3
利用点光源计算目标物体的长度
例4 一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度,如图23-7,
当李明走到点A处时,张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等,接着李
明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,
(3)按照相似比取点;
(4)顺次连接各点,所得图形就是所求作的图形.
对点演练
题组一
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[解析] 这个角为180°－36°35′＝143°25′
第17讲┃ 归类示例
注意角的度数之间的进率是60而不是10，这是容易出 错的地方．
第17讲┃ 归类示例
► 类型之四
平行线的性质和判定的应用
命题角度： 1. 平行线的性质； 2. 平行线的判定； 3. 平行线的性质和判定的综合应用． 例4 如图17－3，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中 ∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系 中任选一个加以证明．
第18讲┃ 归类示例
综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平 分线的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理， 可以灵活的解决内外角的关系．得到结论．
如果两个角在截线l的同侧，在被截直线 同旁 a、b之间(内)叫做同旁内角．∠5和∠2， 内角 ∠3和∠8是同旁内角
第17讲┃ 考点聚焦 考点7 平行 不相交 在同一平面内，________的两条直线叫 做平行线 一 经过直线外一点，有且只有____条直线 平行 与这条直线______
平行线的 定义 平行 公理
图17－3
第17讲┃ 归类示例 解：①∠APC ＝∠PAB ＋∠PCD； ②∠APC＝360°－(∠PAB ＋∠PCD)； ③∠APC＝∠PAB －∠PCD； ④∠APC＝∠PCD－∠PAB. 如证明① ∠APC ＝∠PAB ＋∠PCD.
证明：过P点作PE∥AB，所以∠A＝∠APE. 又因为AB∥CD，所以PE∥CD，所以∠C＝∠CPE， 所以∠A＋∠C＝∠APE＋∠CPE， ∴∠APC ＝∠PAB ＋∠PCD. 同理可证明其他的结论．
互为余 角
互为补 角
性质 拓展
第17讲┃ 考点聚焦 考点5 邻补角、对顶角
邻补角 定义
若两角有一条公共边，它们的另一边 互为反向延长线，具有这种关系的两 个角，互为邻补角
对顶角
定义
若两角有一个公共顶点，且两角的两 边互为反向延长线，具有这种位置关 系的两个角，互为对顶角 对顶角相等
性质
第17讲┃ 考点聚焦 考点6 “三线八角“的概念 如果两个角在截线l的同侧，且在被截直 同位 线a、b的同一方向叫做同位角(位置相 角 同)．∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6， ∠3和∠7是同位角 如果两个角在截线l的两旁(交错)，在被 内错 截线a、b之间(内)叫做内错角(位置在内 角 且交错)．∠2和∠8，∠3和∠5是内错角
定理
总结
第18讲┃ 考点聚焦 考点4 三角形的三边关系
定理 推理 三角形的 稳定性
三角形的两边之和____第三边 大于 三角形的两边之差____第三边 小于 三条线段组成三角形后，形状无 法改变是稳定性的体现
第18讲┃ 考点聚焦 考点5 定理 三角形的内角和定理及推理 三角形的内角和等于________ 180° 1.三角形的一个外角等于和它________________的和 不相邻的两个内角 推论 2.三角形的一个外角大于任何一个和它______的内角 不相邻 3.直角三角形的两个锐角________ 互余 360° 4.三角形的外角和为________ 拓展 在任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两 个锐角；最多有一个钝角，最多有一个直角
第18讲┃ 归类示例
[解析] 四条木棒的所有组合：3，4，7和3， 4，9和3，7，9和4，7，9；只有3，7，9和4，7， 9能组成三角形．故选B.
第18讲┃ 归类示例 ► 类型之二 三角形的重要线段的应用
命题角度： 1. 三角形的中线、角平分线、高线； 2. 三角形的中位线． 例2 [2012· 盐城]如图18－1，在△ABC中， D，E分别 是边AB、AC的中点，∠B＝50°.现将△ABC沿DE折叠 ，点A落在三角形所在平面内的点A1，则∠BDA1的度数 为________． 80°
重要线段 中线 角平分线
高
第18讲┃ 考点聚焦 考点3 三角形的中位线 连接三角形两边的______的线段叫三角 中点 形的中位线 三角形的中位线______于第三边，并且 平行 等于它的______ 一半 (1)一个三角形有三条中位线．(2)三角 形的中位线分得三角形两部分的面积比 为1∶3
定义
Hale Waihona Puke 直角 如果两条直线相交成______，那么这两条直 定义 线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线， 垂足 互相垂直的两条直线的交点叫做______
垂直 (1)两条直线垂直是两条直线相交的特殊情 特别 况，特殊在它们所交的角是直角；(3)线段 说明 与线段、射线与线段、射线与射线的垂直， 都是指它们所在直线垂直 一 在同一平面内，过一点有且只有______条直 线与已知直线垂直
第17讲┃
几何初步及平行线、相交线
第17讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 三种基本图形——直线、射线、线段
一 经过两点有且只有________条直线 线段 两点之间，________最短 长度 连接两点间的线段的________，叫做 这两点间的距离
直线公理 线段公理 两点间的 距离
第17讲┃ 考点聚焦
2
3 4 5
n条直线最多有________个交点
平面内有n条直线，最多可以把平 面分成________个部分
第17讲┃ 考点聚焦 考点4 互为余角、互为补角 定义 性质 定义 如果两个角的和等于90°，则这两个 角互余 相等 同角(或等角)的余角________ 如果两个角的和等于180°，则这两个 角互补 相等 同角(或等角)的补角________ 一个角的补角比这个角的余角大90°
角的大小比 较
角平 分线 定义 性质
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两 个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
第17讲┃ 考点聚焦 考点3 1 几何计数 数直线的 条数 数线段的 条数 数角的 个数 数交点的 个数 数直线分 平面的份数 过任意三个不在同一直线上的n个 点中的两个点可以画________条 线段上共有n个点(包括两个端点) 时，共有线段________条 从一点出发的n条直线可组成 ______个角
第17讲┃ 归类示例
平行线的性质与判定的综合运用，是解 决与平行线有关的问题的常用方法．先由 “形”得到“数”，即应用特征得到角相等 (或互补)，再利用角之间的关系进行计算， 得到新的关系．然后再由“数”到“形”得 到一组新的平行．
第18讲┃
三角形
第18讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 三角形的分类
第17讲┃ 归类示例 ► 类型之二 直线的位置关系
命题角度： 1. 直线平行与垂直的判定及简单应用； 2. 角度的有关计算. 例2 [2012· 义乌] 如图17－2，已知a∥b，小亮把三角 板的直角顶点放在直线b上．若∠1＝40°，则∠2的度数 50° 为________．
图17－2
第17讲┃ 归类示例
第18讲┃ 归类示例
∵A1B 是∠ABC 的平分线，A2B 是∠A1BC 的平分线， 1 1 ∴∠A1BC＝ ∠ABC，∠A1CD＝ ∠ACD. 2 2 又∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1, 1 ∴ (∠A＋∠ABC)＝∠A1BC＋∠A1， 2 1 ∴∠A1＝ ∠A. 2 ∵∠A＝θ， θ ∴∠A1＝ ； 2 θ 1 1 1 (2)同理可得∠A2＝ ∠A1＝ · θ ＝ 2 ， 2 2 2 2 θ 所以∠An＝ n . 2
平行公理 的推论
如果两条直线都与第三条直线平行，那 平行 么这两条直线也互相________
第17讲┃ 考点聚焦
同位角相等，两直线平行 平行线的 判定
内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同位角相等
平行线的 性质
两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补
第17讲┃ 考点聚焦 考点8 垂直
归类示例
► 类型之一 线与角的概念和基本性质 命题角度： 1. 线段、射线和直线的性质及计算； 2. 角的有关性质及计算．
例1 [2012·北京] 如图17－1，直线AB，CD交于点O，射 线OM平分∠AOC，若∠BOD＝76°，则∠BOM等于( C ) A．38° B．104° C．142° D．144° 图17－1
[解析] 如图，∵∠1＝40°，
∴∠3＝180°－∠1－ 90°＝180°－40°－90° ＝50°. ∵a∥b，∴∠2＝∠3＝ 50°.故答案为：50°.
第17讲┃ 归类示例
计算角度问题时，要注意挖掘图形中的隐含条件 (三角形内角和、互为余角或补角、平行性质、垂直) 及角平分线知识的应用．
第17讲┃ 归类示例 ► 类型之三 度、分、秒的计算 命题角度： 1．度、分、秒的换算； 2．度、分、秒的计算． 例3 [2011·芜湖] 一个角的补角是36°35′，这个角 143°25′ 是____________.
考点2 角
射线 有公共端点的两条____组成的图形叫做角．这个公 定义1 顶点 共端点叫做角的____，这两条射线叫做角的____ 两边 角的 概念 端点 一条射线绕着它的____从一个位置旋转到另一个位 定义2 置所成的图形叫做角 角的分类 直角 锐角 角按照大小可以分为平角、周角、____、____、钝 角 (1)叠合法 (2)度量法
第17讲┃ 归类示例
[解析] 根据对顶角相等求出∠AOC 的度数，再根据角平分线的定义求出 ∠AOM 的度数，然后根据平角等于 180°列式计算． ∵∠BOD＝76°， ∴∠AOC＝∠BOD＝76°. ∵射线 OM 平分∠AOC， 1 1 ∴∠AOM＝ ∠AOC＝ ×76°＝38°， 2 2 ∴∠BOM＝180°－∠AOM＝180°－38°＝142°. 故选 C.
图18－2
第18讲┃ 归类示例
[解析] (1)根据角平分线的定义可得∠A1BC ＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，再根据三角形的 一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可 得∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋ ∠A1，整理即可得解； (2)与(1)同理求出∠A2，可以发现后一个角 等于前一个角的，根据此规律再结合脚码即 可得解．