高中数学_“杨辉三角”与二项式系数的性质教学设计学情分析教材分析课后反思

《1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质》教学设计
姓名 班级 . 【学习目标】 1掌握二项式系数的性质 2利用二项式定理求有关系数的和 【学习重点】如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 【学习难点】如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
【学法指导】自主学习与合作学习相结合。

【导学学过程】
一 教材导读
探究任务一：杨辉三角
问题1：在n b a )(+展开式中，当n ＝1，2，3，…时，各项的二项式系数有何规律？
()1b a +
()2b a +
()3b a +
()4b a +
()5b a +
()6b a +
新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关
系是
探究任务二 二项式系数的性质
问题2：设函数()r n C r f =，函数的定义域是 ，
函数图象有何性质？（以n ＝6为例）
新知2：二项式系数的性质
⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是2n r =
. 练习1
① 在(a ＋b)6展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( )
A 第２项
B 第３项
C 第４项
D 第５项
② 若()
n b a +的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n ＝ .
反思：为什么二项式系数有对称性？
⑵ 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 .
当n 是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值；
当n 是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二项式系数都取得最大值.
练习：n b a )(+的各二项式系数的最大值是
⑶ 各二项式系数的和：
在n b a )(+展开式中，若1==b a ，则可得到 =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n n r n n n C C C C 10
即 =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n n r n n n C C C C 21
二、典型例题
题型一、单调性的应用
【例1】求()1012x +的展开式中系数最大的项．
变式1：在二项式(x-1)11的展开式中, ⑴ 求二项式系数最大的系数的项； ⑵ 求项系数
最小的项和最大的项.
题型二 、二项式系数和的问题
【例2】．求证 在()n
a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
变式2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：
（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++；
三、．当堂检测
1.=+⋅⋅⋅+++7737271
7C C C C . 78583818C C C C +++= .
2 在()991x -的展开式中，二项式系数最大的是第 项， 二项式系数最小的项是第 项；
3. 若()92
9012912x a a x a x a x -=++++，则 129a a a +++＝ ； 4. ⑴ 求1233⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-x x 展开式的中间一项； ⑵ 求()15x
y y x -展开式
5.n 3)x 1x (+的展开式的各项系数和为32，求这个展开式的常数项.
6.已知(1+x
2)n 展开式中含x -2的项的系数为12，求n .
7.若(a+a )n 的展开式中，奇数项的系数和等于512，求第八项.
.
8求(x -1)-(x -1)2+(x -1)3-(x -1)4+(x -1)5的展开式中，x 2的系数
【课堂小节】
本节我所学到核心知识有 ，
基本题型有 ；
作业 p 35 练习
本课研究的重点是二项式系数的性质．如何研究这个这个问题，这是首先面临的选择，其一利用传统方法借助于杨辉三角从数的角度和改变数据的呈现方式的形式的数据中观察规律获得新知；其二利用联系的观点，二项式系数组成的一列数作为数列是一种特殊的函数，考虑函数的方法进行研究.研究函数问题重要方法之一就是“图像法”.教师首先要从研究问
题的策略方法上引导学生.本节内容联系的观点还体现从数据表格到杨辉三角图形这一过程中，可以联系必修三统计内容的“从样本估计总体”，对于获得样本数据直接观察，规律是不明显，但通过改变数据的呈现方式如画频率分布直方图、茎叶图等就可以很方便的获得数据的规律性的信息，教师在教学中恰当的“联系”一下相关内容，便会加强学生今后用联系的观点想问题，解决问题，从而发展思维，真正达到教师给学生的不仅是“鱼”，更应是“渔”．
《课程标准》对此部分要求是 1.掌握二项式系数的一些性质，体会数形结合、特殊到一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.
2．通过从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.
3．通过“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感.
4．注意培养学生合作交流、实践操作，培养学生勇于实践的科学探索精神.在发现、解决数学问题的过程中，掌握数学研究的方法，促进数学思维的发展.
《“杨辉三角”与二项式系数的性质》教材分析
本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-3中的1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》．
研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位．
本节内容以前面学习的二项式定理为基础，通过“杨辉三角”初步直观的探究二项式系数的性质，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能．由于二项式系数组成的数列就是一个离散函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，便于建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，可以利用组卡西欧图形计算器画出它的图象，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，有利于帮助学生发现规律，形成证明思路，有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识．
根据以上教材分析，本节的教学重点设定为：体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质．
本节课利用函数的方法研究二项式系数的性质最突出的矛盾就是当n的值较大时，纸笔计算作图都非常困难，若n的取值较少，由个别图像去把握整体性质，信服力稍显不足，而图形计算器的参与恰好可以自由的画出大量的函数图像，改变了数据不足的矛盾.同时让学生在亲自动手操作、实验的过程中，进行感悟和理解．它能使学生真正动起来，参与到课堂
中来，提高了学习兴趣．
学生在教师创设的问题情景中，通过观察、分析、思考、探究、概括、归纳得出性质，体现了学生的主体地位，培养了学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。

学情分析
高二的学生已经具备了一定的分析、探究问题的能力，恰时恰点的问题引导就能建立知识之间的相互联系，解决相关问题.
学生已学习两个计数原理和二项式定理，通过课前探究“杨辉三角”包含的规律，结合“杨辉三角”，并从函数的角度研究二项式系数的性质.
教学难点：利用函数图象，理解增减性与最大值，根据n 的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质.
本节课采用师生互动探究式教学．教师遵循“教师为主导、学生为主体”的原则，结合授课班级学生的求知心理和已有的认知水平开展教学．教师引导学生动手操作、直观感知，启发思维，通过问题式教学环境的创设，由学生个体操作观察，小组操作、感知归纳获取二项式系数的性质,让学生主动地获取知识，教师只起适当引导作用，使教师的主导作用和学生的主体作用都必须得到充分发挥．
测评练习
1.=+⋅⋅⋅+++7737271
7C C C C . 78583818C C C C +++= .
2 在()991x -的展开式中，二项式系数最大的是第 项， 二项式系数最小的项是第 项；
3. 若()92
9012912x a a x a x a x -=++++，则 129a a a +++＝ ； 4. ⑴ 求1233⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-x x 展开式的中间一项；
⑵ 求()15x
y y x -展开式
5.n 3)x 1x (+的展开式的各项系数和为32，求这个展开式的常数项.
6.已知(1+x
2)n 展开式中含x -2的项的系数为12，求n .
7.若(a+a )n 的展开式中，奇数项的系数和等于512，求第八项.
.
8求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中，x2的系数。