[实用参考]全国各重点高中自主招生试题集及答案

全国各重点高中自主招生试题集及答案（07—10年） 浙江省萧山中学20GG 年自主招生考试数学试卷
满分为100分，考试时间为70分钟。

一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分） 1．计算tan 602sin 452cos30︒+︒-︒的结果是（ ）
A ．2
B
C ．1
D
2．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ）
A
．1-
B
C
．1 D ．
1
2 3．已知b a ,为实数，且1=ab ，设1
1+++=b b a a M ，1
111+++=b a N ，则N M ,的大小关系是（ ）
A ．N M >
B ．N M =
C ．N M <
D ．无法确定
4. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的
4
1
，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( )
A ．20分钟 Ｂ．22分钟 Ｃ．24分钟 D ．26分钟
5.二次函数1422++-=x x y 的图象如何移动就得到2
2x y -=的图
D '
C
象（）
A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。

B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。

C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。

D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。

6．下列名人中：①比尔 盖茨②高斯③刘翔④诺贝尔⑤陈景润⑥陈省身⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（）
A．①④⑦B．②④⑧C．②⑥⑧D．②⑤⑥
7．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这
请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案. 此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（ ） A ． 500元 B ． 600元 C ． 700元 D ． 800元
8．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h
的函数关系的图象如上图所示，那么水瓶的形状是（ ）
二、填空题：（每题6分，共30分） 9. 若关于x 的分式方程3
131+=-+x a
x 在实数范围内无解，则实数=a _____.
10．三角形的两边长为4cm 和7cm ，则这个三角形面积的最大值为_____________cm 2.
11．对正实数b a ,作定义b a ab b a +-=*，若444=*x ，则x 的值是________．
12．已知方程()0332=+-+x a x 在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，则a 的取值范围是 ． 13．如果有20GG 名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1……的规律报数，那么第20GG 名学生所报的数是 ．
三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明, 证明过程或推演步骤。

14．（本小题满分8分）【田忌赛马】
齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马； 田忌的下马不敌齐王的下马. 田忌在按图1的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的
建议，用图2的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛.假如在不知道齐王出马顺序的情况下：
（1）请按如图的形式，列出所有其他可能的情况； （2）田忌能赢得比赛的概率是___________.
15．（本题满分10分）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{}3,2,1、{}19,8,7,2-，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素。

如果一个集合满足：当实数a 是集合的元素时，实数a -8也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合。

(1)请你判断集合{}2,1，{}7,4,1是不是好的集合？ (2)请你写出满足条件的两个好的集合的例子。

16．（本小题满分10分）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，CD 是AB 边上的高线，且有2CD=3AB ，又E ，F 为
CD
图1
图
2
的三等分点，
求证：∠ACB+∠AEB 十∠AFB=1800。

17．（本小题满分10分）．已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线2
14
y x =
上的一个动点．（1）求证：以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-的相切； （2）设直线PM 与抛物线2
14
y x =
的另一个交点为点Q ，连接NP ，
NQ ，求证：PNM QNM ∠=∠．
四、附加题：（本题满分为3分，但即使记入总分也不能使本次考试超出100分） 18．有人认为数学没有多少使用价值，我们只要能数得清钞票，到菜场算得出价钱这
点数学知识就够了。

根据你学习数学的体会，谈谈你对数学这
门学科的看法。

浙江省萧山中学20GG 年自主招生考试数学参考答案
二、填空题：（每题6分，共30分）
9、 1 10、 14 11、 36 12、2
11-<<-a
或323-=a 13、3
三、三、解答题：（共38分） 解答应写出文字说明, 证明过程或
姓名__________ ———线——————————————————
推演步 步骤。

171414、(本小题满分8分)
解：（1）其他可能的对阵形式有：
田忌上马 齐王上马 齐王中马 齐王下
马 齐王下马
田忌中马 对 齐王下马 齐王上马 齐王上马
齐王中马
田忌下马 齐王中马 齐王下马 齐王中
马 齐王上马
（每写出一个得1分）
（2）根据对对阵形式的分析可以知道：天忌赢得比赛
的概率为6
1
（得4分）
解(115、（本小题满分10分）
解： 解：（1）集合{}2,1不是好的集合，{}7,4,1是好的集合。

（每个判断正确得2分）
（2）集合{}4、{}5,4,3、{}6,2、{}7,6,4,2,1等都可以举。

（每举出一个得3分） 16、（本小题满分10分）
证明： AB CD 32= ，且F E ,为CD 三等分
点，D 为AB 中点
AB CD 2
1
31=∴，即DF AD =
45=∠∴AFD （得4分） FC FE DF DF AD AF ∙==+=∴22222
CFA AFE ∆∆∴∽
AEF CAF ∠=∠∴ （得3分）
即 45=∠=∠+∠∴AFD AED ACD
90=∠+∠+∠∴AFD AED ACD 所以得证 （得3分）
17、（本小题满分10分）
解：（1）设点P 的坐标为2
001(,
)4
x x ，则 PM ＝
20114
x ==+;
又因为点P 到直线1y =-的距离为22
01(1)144x x --=+， 所以，以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-相切． （得4分）
（2）如图，分别过点P ，Q 作直线1y =-的垂线，垂足分别为H ，
R ．由（1）知，PH ＝PM ，同理可得，QM ＝QR ．
因为PH ，MN ，QR 都垂直于直线1y =-，所以，PH ∥MN ∥
QR ，于是
Q M M P R N N H =，所以QR PH
RN HN
=，因此，Rt △PHN ∽Rt △QRN ． 于是HNP RNQ ∠=∠，从而PNM QNM ∠=∠ （得6分） 附加题：(可以在反面作答)
18、可以从数学的基础性，应用的广泛性，培养严密的逻辑思维能力，人文素养，科学精神等各方面价值作简单说明。

20GG 年罗田一中自主招生考试
数学试卷
一、填空题（4085=⨯分）
1、方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++26
21133y x y x 的解是
2、若对任意实数x 不等式b ax >都成立，那么a 、b 的取值范围为
3、设21≤≤-x ，则221
2++-
-x x x 的最大值与最小值之差为 4、两个反比例函数x y 3=，x
y 6
=在第一象限内的图象点1P 、2P 、3P 、…、2007P 在反比例函数x
y 6
=上，它们的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、…、2007x ，纵坐标分别是1、3、5…共2007个连续奇数，过1P 、2P 、3P 、
…、2007P 分别作y 轴的平行线，与x
y 3
=的图象交点依次为)','(111y x Q 、)','(222y x Q 、…、
),('
2007'20072007y x Q ，
则=20072007Q P
5、如右图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一
点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是
6、有一张矩形纸片ABCD ，9=AD ，12=AB ，将纸片折叠使A 、
C 两点重合，那么折痕长是
7、已知3、a 、
4、b 、5这五个数据，其中a 、b 是方程0232=+-x x 的两个根，则这五个数据的标准差是
8、若抛物线1422++-=p px x y 中不管p 取何值时都通过定点，则定点坐标为
二、选择题（4085=⨯分）
9、如图，A B C ∆中，D 、E 是BC 边上的点，
1:2:3::=EC DE BD ，M 在AC 边上，2:1:=MA CM ，
BM 交AD 、AE 于H 、G ，则GM HG BH ::等于
( )
A 、
1:2:3 B 、1:3:5 C 、5:12:25 D 、10:24:51 10、若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是( )
A 、
r
c r
2+π B 、
r c r +π C 、r c r +2π D 、2
2r
c r
+π 11、抛物线2ax y =与直线1=x ，2=x ，1=y ，2=y 围成的正方
形有公共点，则实数a 的取值范围是 ( )
A 、141≤≤a
B 、221≤≤a
C 、12
1
≤≤a D 、
24
1
≤≤a
12、有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习
本7本，圆珠笔1支共需15.3元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需2.4元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需
( )
A 、2.1元
B 、05.1元
C 、95.0元
D 、9.0元 13、设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax ，有两个不相等的实数
根1x 、2x ，且1x <<12x ，那么实数a 的取值范围是 ( ) A 、112-
<a B 、5272<<-a C 、5
2
>a D 、011
2
<<-
a 14、如图，正方形ABCD 的边1=AB ，和都是以1为半径的
圆弧，则无阴影部分的两部分的面积之差是 ( )
A 、
12-π B 、41π
- C 、13
-π D 、6
1π- 15、已知锐角三角形的边长是2、3、x ，那么第三边x 的取值范围是 ( )
A 、51<<x
B 、135<<x
C 、513<<x
D 、155<<x
16、某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了%x ，第三季
度的产值又比第二季度的产值增长了%x ，则第三季度的产值比第一季度增长了 （ ）
A 、%2x
B 、%21x +
C 、%%)1(x x ∙+
D 、%%)2(x x ∙+
三、解答题
17、（15分）设m 是不小于1-的实数，关于x 的方程
033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ，
（1）若21x 622=+x ，求m r 值；（2）求22
212111x mx x mx -+-的最大值。

18、（15分）如图，开口向下的抛物线a ax ax y 1282+-=与x 轴
交于A 、B 两点，抛物线上另有一点C 在第一象限，且
使OCA ∆∽OBC ∆，（1）求OC 的长及AC
BC 的值；（2）设直线BC 与y 轴交于P 点，点C 是BP 的中点时，求
直线BP 和抛物线的解析式。

19、（15分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调
整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？
20、（10分）一个家庭有3个孩子，（1）求这个家庭有2个男孩和
1个女孩的概率；（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率。

21、（15分）如图，已知⊙O 和⊙'O 相交于A 、B 两点，过点A 作
⊙'O 的切线交⊙O 于点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙O 、
⊙'O 于E 、F ，EF 与AC 相交于点P ，（1）求证：
PF PC PE PA ∙=∙；（2）求证：PB
PF PC PE =22；（3）当⊙O 与⊙'O 为等圆时，且5:4:3::=EP CE PC 时，
求PEC ∆与FAP ∆的面积的比值。

数学试卷参考答案
一、
1、⎩⎨⎧==02611y x 或 ⎩⎨⎧=-=28222y x
2、0=a 0<b
3、1
4、24013
5、33
6、4
45 7、2 8、)33,4(
二、
9～16 DBDB DABD
三、
17、（15分）
解： 方程有两个不相等的实数根
∴044)33(4)2(422>+-=+---=∆m m m m
1<∴m
由题意知：11<≤-m
（
1）610102)33(2)2(42)(222212212221=+-=+---=-+=+m m m m m x x x x x x 2175±=
∴m 11≤≤-m 2
175-=∴m （2）22212111x mx x mx -+-m m m m m m x x x x x x x x m --+-=--+-+=2232121212221)2882()1)(1()]([ 2
5)23(2)13(2)1()13)(1(2222--=+-=-+--=m m m m m m m m m )11(<≤-m
1-=∴m y 取最大值为10
18、（15分）
解：（1）由题设知0<a ，且方程01282=+-a ax ax 有两二根6,221==x x
于是6,2==OB OA
OCA ∆∽OBC ∆ 122=∙=∴OB OA OC 即32=OC
而322===∆∆OC OB S S AC
BC OCA OBC 故 3=AC BC （2）因为C 是BP 的中点 BC OC =∴ 从而C 点的横坐标为3 又32=OC )3,3(C ∴
设直线BP 的解析式为b kx y +=，因其过点)0,6(B ，)3,3(C ，则有 ⎩⎨⎧+=+=b k b k 3360 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=∴3233b k 3233+-=∴x y 又点)3,3(C 在抛物线上 a a a 122493+-=∴ 3
3-=∴a ∴抛物线解析式为：343
38332-+-
=x x y 19、（15分） 解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x 台、y 台、
z 台，则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥++==++=++60)3(1219012041312
1360z y x z y x z y x 总产值x x y x y x z y x z y x A -=-++=++++=++=1080)3(720)2()(2234
60≥z 300≤+∴y x 而
3603=+y x
3003360≤-+∴x x 30≥∴x
1050≤∴A 即 30=x 270=y 60=z
20、（10分）
解：用B 和G 分别代表男孩和女孩，用“树状图”列出所有结
果为：
∴这个家
庭有2个男孩和1个女孩的概率为83。

这个家庭至少
有一个男孩的概率87。

21、（15分）
解：（1）
证明：连结
AB CA 切⊙'O 于A ∴F C A B ∠=∠ E
C A B ∠=∠ ∴F E ∠=∠
CE AF //∴ PA
PC PF PE =∴ PF PC PE PA ∙=∙∴ ① （2）证明：在⊙O 中，PC PA PE PB ∙=∙ ②
①×②得 PF PC PA PB PE PA ∙∙=∙∙22
PB
PF PC PE =∴22 （3）连结AE ，由（1）知P E C ∆∽PFA ∆，而5:4:3::=EP CE PC
5:4:3::=∴PF FA PA
设x EP x CE x PC 5,4,3===
2
22CE PC EP +=∴ 222FA PA PF +=
090=∠=∠∴CAF C
AE ∴为⊙O 的直径，AF 为⊙'O 的直径
⊙O 与⊙'O 等圆 y AF AE 4==∴
222AE CE AC =+ 222)4()4()33(y x y x =++∴ 即 07182522=-+y xy x 即0))(725(=+-y x y x
257=∴y x 62549:22==∴∆∆y
x S S FAP ECP 20GG 年乐清中学自主招生考试
数学试题卷
亲爱的同学：
欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点：
1．全卷共三大题，满分120分，考试时间为100分钟。

2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成。

试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。

做在试题卷上无效。

3．请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。

4．答题过程不准使用计算器。

祝你成功!
一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题
的四个选项中，只有一个符合题目要求）
1．如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于G 的方程a(G 2-1)－2cG+b(G 2+1)=0的根的情况为
3．如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是
A π－1 B
π－2 C 121-π D 221-π 4．由325x y a x y a x y a m -=+⎧⎪+=⎪⎨>⎪⎪>⎩得a>－3,则m 的取值范围是 A
m>－3 B m ≥－3 C m ≤－3 D m<－3
5．如图，矩形ABCG （AB <BC ）与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D
在同一条直线上，APE ∠的顶点P 在线段BD 上移动，使APE ∠ 为直角的点P 的个数是
A 0
B 1
C 2
D 3
第3题
6．已知抛物线P=aG 2+2aG+4(0<a<3),A （G 1，P 1）B(G 2，P 2)是抛物线上两点，若G 1<G 2,
且G 1+G 2=1－a,则
A P 1< P 2
B P 1= P 2
C P 1> P 2
D P 1与P 2的大小不能确定
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把
答案填写在题中横线上）
7． 二次函数P ＝aG 2+(a －b ）G —b 的图象如图所示，
那么化简||b a
的结果是______▲________.
8． 如图所示，在正方形 ABCD 中，AO ⊥BD 、OE 、FG 、HI 都垂
直于 AD ，EF 、GH 、IJ 都垂直于AO ，若已知 S ΔAJI =1， 则S 正方形ABCD = ▲
9．将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体,其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为 ▲
10．用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼
第7题 第8题
成一列图案：
（1）第4个图案中有白色纸片 ▲ 张
（2）第n 个图案中有白色纸片 ▲ 张
（3）从第1个图案到第100个图案，总共有白色纸片 ▲ 张
11.如图所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R=
▲
12．阅读下列证明过程：
已知，如图四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ≠BC ，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．
第10题
第12题 第11题
读后完成下列各小题．
(1)证明过程是否有错误？如有，错在第几步上，答：▲．
(2)作DE∥AB的目的是：▲．
(3) 判断四边形ABED为平行四边形的依据是：▲．
(4)判断四边形ABCD是等腰梯形的依据是▲．
(5)若题设中没有AD≠BC，那么四边形ABCD一定是等腰梯形吗？为什么？
答▲．
20GG年漳州一中高中自主招生考试
数学试卷
（满分：150分；考试时间：120分钟）
亲爱的同学：
欢迎你参加本次考试！请细心审题，用心思考，耐心解答．祝你成功！
答题时请注意：
请将答案或解答过程写在答题卷的相应位置上，写在试卷上不得分．
一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分．每
小题都有A、B、C、D四个选项，其中有且只有一个选项是
正确的，请将正确答案的代号填写在答题卷中相应的表格内，
答对得4分，答错、不答或答案超过一个的得零分） 1.
下
列
运
算
正
确
的
是…………………………………………………………（ ） A.22532b a ab ab =+ B.632a a a =⋅ C.
)0( 1
2
2≠=
-a a a D.y x y x +=+
2.如图，点A 在数轴上表示的实数为a ，则2-a 等
于…………………（ ）
A.2-a
B.2+a
C.2--a
D.2+-a
3.甲、乙两名运动员在10次的百米跑练习中，平均成绩分别为
x
甲
7.10＝秒，x 乙
7.10＝秒，方差分别为S 2
甲054.0=，
S 2
乙
103.0=，那么在这次百米跑练习中，甲、乙两名运动员成绩较为稳定的是……………………………（ ）
A.甲运动员
B.乙运动员
C.甲、乙两人一样稳定
D.无法确定
4.如图，A 、B 、C 、D 是直线l 上顺次四点，M 、N 分别是
AB 、CD 的中点，且6=MN cm ，1=BC cm ，则
AD 的长等于……………………（ ） ． A –1 0
1
2
3
． ． ． ．
． （第2题图）
A M
B C
N
D l ． ． ． ． ． ． （第4题图）
A.10cm
B.11cm
C.12cm
D.13cm
5.已知等腰三角形的一个外角等于︒140，则这个三角形的三个内
角
的
度
数
分
别
是……………………………………………………………………………（ ）
A.︒20、
︒20、︒140 B.︒40、︒40、︒100 C.︒70、︒70、︒40 D. ︒40、︒40、︒100或︒70、︒70、︒40
6.如图，点A 在函数=y x
6
-
)0(<x
A 作AE 垂直x 轴，垂足为E ，过点A 作AF 轴，垂足为F ，则矩形AEOF 的面积是……（A.2
B.3
C.6
D.不能确定 7.用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成 一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图 所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小 正方体木块的个数为………………（ ） A.22个 B.19个
（第6题图）
（正视图） （俯视图）
（第7题图）
C.16个
D.13个
8.用半径为cm 6、圆心角为︒120的扇形做成一个圆锥的侧面, 则
这
个
圆
锥
的
底
面
半
径
是……………………………………………………………………（ ）
A.2cm
B.3cm
C.4cm
D.6cm
9.若n 为整数，则能使1
1
-+n n 也为整数的n 的个数有 ……………………（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
10.已知a 为实数，则代数式221227a a +-的最小值
为………………（ ）
A.0
B.3
C.33
D.9
二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分．请11.函数1
2
-+=
x x y 的自变量x 12.分解因式：=+-xy y x 2733 ．13.把2007个边长为1的正方形排成如右图所示的 图形，则这个图形的周长是 ．
E
A
G F （第13题图）
…
14.如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，正方形AEFG 的边长为1cm ．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么
C 、F 两点之间的最小距离为 cm ．
15.若规定：①{} m 表示大于m 的最小整数，例如：{}4 3 =，
{}2 4.2-=-；
②[] m 表示不大于m 的最大整数，例如：[]5 5 =，
[]4 6.3-=-.
则使等式{}[]4 2=-x x 成立的整数．．=x ．
16.如图，E 、F
A B C D 的边AB 、
的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 点Q ，若S △APD 15=2cm ，S △BQC 25=2cm ，
则阴影部分的面积为 2cm ．
三、解答题（本大题共有7小题，共86分．其中第17题8分，第18、19题各10分，第20题12分，第21题14分，第22、23题各16分．请将解答过程写在答题卷的相应位置上） 17.计算：2330tan 3)2(0---- .
18.先化简，再求值：⎪⎭
⎫ ⎝⎛
--+2122x x ÷
24--x x ，其中42-=x . 19.将背面相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀
后，背面朝上放在桌面上.
（1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率；
（第16题图）
（2）先从中随机抽取一张卡片（不放回．．．
），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明.
20.为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动．若每处安排10人，则还剩15人；若每处安排14人，则有一处的人数不足14人，但不少于10人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数. 21.如图，四边形ABCD 是正方形，点N 是CD 的中点，M 是AD 边上不同于点A 、D 的点，
若10
10
sin =
∠ABM ，求证:MBC NMB ∠=∠. 22.如图，抛物线的顶点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛892
5
，－，且经过点) 14 , 8 (A .
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设该抛物线与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于C 、D
（点C 在点D 的左边），
试求点B 、C 、D 的坐标；
(3)设点P 是x 轴上的任意一点，分别连结AC 、BC ．
试判断：PB PA +与BC AC +的大小关系，并说明理由. 23.如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，点P 右半圆上移动
（点P 与点A 、B 不重合），过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ；
(第21题图) N
(第22题图)
点Q 在射线BM 上移动（点M 在点B 的右边），且在移动过程中保持OQ ∥AP .
(1)若PC 、QO 的延长线相交于点E ，判断是否存在点P ，使得点E 恰好在⊙O 上？
若存在，求出APC ∠的大小；若不存在，请说明理由； (2)连结AQ 交PC 于点F ，设PC
PF
k =，试问：k 的值是否随点P 的移动而变化？
证明你的结论．
20GG 年漳州一中高中自主招生考试
数学参考答案及评分意见
一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分） 题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C A A B
D C D A D B
二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分）
11. 2-≥x 且1≠x 12. xy 3-)3(+x )3(-x （或
)3)(3(3x x xy -+）
13. 4016 14．23 15．2 16．40
Q
A
C
E
F
P
O
（第23题图）
．
三、解答题（本大题共有7小题，共86分） 17
．
（
8
分
）
原
式
233
3
31-+⨯
-= …………………………………………6分
1-=………………………………………………………………8分
18
．（10分）原式
x
x x x x --⋅---+=
42
212)2)(2( ………………………………2分
x x --=
4162)
4()
4)(4(---+=x x x 4--=x ………………………7分 ∴当42-=x 时，原式
=4)42(---2-= ……………………10分 19
．（10分）（1）（4分）
42=
偶数p 2
1
= ………………………………………4分 （2）①（4分）树状图为：
1
3 4 2 3 2
3
4
（12） （13）（14）（21）（23）（24）（31）（32）（34）（41） （42） （ 43）
或列表法为：
（画出树状图或列出表格得4分） ……………………………………………4分
②
（2分）所以
4
1
1234==
的倍数p …………………………………………2分 20．（12分）
解法一：设参加x 处公共场所的义务劳动，则学校派出
)
1510(+x 名学生
^…………………………………………………………………………………2分 依
题
意
得
：
⎩⎨
⎧≥--+<--+)
2(10)1(14)1510()
1(14)1(14)1510( x x x x ………………………6分 由（1）得：433>x ，由（2）得：43
4≤x
∴
4
3
4433≤<x ………………………………………………………………8分 第一次 第二次 1
2
3
4
1 （21） （31） （41）
2 （12） （32） （42）
3 （13） （23） （43） 4
（14）
（24）
（34）
又
x 为整数，∴
4=x ……………………………………………………10分
∴当4=x 时，
551510=+x ………………………………………………11分
答：这所学校派出55名学生，参加4处公共场所的义务劳动 …………12分
解法二：设这所学校派出x 名学生，参加y 处公共场所的义务劳动……1分
依
题
意
得
：
⎩⎨
⎧<--≤=+)2(14)1(1410)
1(1510 y x x y ……………………………6分 解
得：
4
3
4433
≤<y …………………………………………………………8分 y 为整数，∴
4=y ………………………………………………………10分
∴当4=y 时，
5515410=+⨯=x ………………………………………11分
答：这所学校派出55名学生，参加4处公共场所的义务劳动 …………12分
21．（14分）证法一：如图，分别延长BC 、MN 相交于点
E ………………1分
设
1=AM ，∵
10
10sin =
∠ABM ， ∴
10
10
=BM AM ，得
10=BM ………3分
∴
322=-=AM BM AB …………4分
∵是正方形四边形ABCD ，
∴2=-=AM AD DM ，且2
321===DC CN DN ， 在
DMN
Rt ∆中，
2
5
22=
+=DN MD MN ………………………………6分 又∵∠=∠=∠Rt ECN MDN 、ENC MND ∠=∠， ∴
)(ASA ECN MDN ∆≅∆……………………………………………………9分
∴2==MD CE 、
2
5
==MN NE ，………………………………………11分
∴
5
=+=NE MN ME 、5=+=CE BC BE ，∴
BE ME = …………13分
∴MBC NMB ∠=∠…………………………………………………………14分
证
法
二
：
设
1
=AM ，同证法一
2
5
22=
+=DN MD MN ………………6分 如图，将ABM ∆绕点A 顺时针旋转︒90得到BCE ∆，连结ME ，
∵∠=∠=∠Rt BCD BCE ，∴NCE ∠是平角，即点E C N 、、三点共线，
………………………………………………………………………………… 7分
∴
∠8分
1
==AM CE 、
BE =9分 ∴
BEM BME ∠=∠…………………………10分
∵
MN CE CN NE ==+=
+=2
5
123 ……11分 ∴
NEM NME ∠=∠…………………………12分
∴
NEM BEM NME BME ∠+∠=∠+∠
∴
AMB BEC BMN ∠=∠=∠………………13分
又∵MBC AMB ∠=∠ ∴
MBC BMN ∠=∠…………………………14分
22．（16分） （1）（4
分）设抛物线的解析式为
89252
-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=x a y ………………………1分
∵抛物线经过)14,8(A ，∴89258142
-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-a ＝，解得：
21
=a …………3分
∴8
9
25212
-
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y （或225
212+-=x x y ） …………………………4分
（2）（4
分）令
=x 得2=y ，∴
)2,0(B ……………………………………1分
令0=y 得
022
5
212=+-x x ，解得
1
1=x 、
42=x ………………………3分 ∴
)
0 , 1(C 、
) 0, 4(D …………………………………………………………4分
（8分）结论：
1分
理由是：①当点C P 与点重合时，有
BC AC PB PA +=+ …………………………
……2分
②当时异于点点C P ，∵直线AC 经过点
)14,8(A 、)0,1(C ，∴直线AC 的解析式为22-=x y ………3分
设直线AC 与y 轴相交于点E ，令
0=x ，得2-=y ，
∴)2,0(-E ，
则)2,0()2,0(B E 与点-关于x 轴对
称………………4分
∴EC BC =，连结PE ，则PB PE =， ∴
AE EC AC BC AC =+=+， …………………5分
∵在A ∆中，有
AE PE PA >+ …………………………………………6分
∴
BC AC AE PE PA PB PA +=>+=+…………………………………7分
综上所得
BC AC BP AP +≥+………………………………………………8分
23．（16分）
（1）（6分）解法一：当点E 在⊙O 上时，设
OQ 与⊙O 交于点D ，
∵PC AB ⊥，∴
1分
∵AP ∥OQ ，∴
2分 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ B
∴
PD AP =…………………………………………3分
又BOD
AOE ∠=∠，BD AE = (4)
分
APB AE 3
1
=
即………………………………………5分
∴
︒︒=⨯⨯=∠⨯=
∠301803
1
213121AOB APE …6分 解法二：设点E 在⊙O 上时，由已知有
CP EC =， ……………………1分
∴△≅E O C
△PAC ，……………………………………………2分
∴CA OC =，
AP OE = …………………………………………3分
在
Rt △APC 中，
2
1
2s i n ====
∠AC AC OA AC AP AC APC ……5分 ∴
︒=∠30APC ……………………………………………………6分
（2）（10分）k 值不随点P 的移动而变化.理由是:
∵P 是⊙O 右半圆上的任意一点，且
AP ∥OQ ，∴
⌒
⌒
⌒ ⌒ A
C E
F
P
．
QOB PAC ∠=∠ …………………………
…1分
∵BM 是⊙O 的切线，∴
∠=∠Rt ABQ ，
又∵AB PC ⊥，∴∠=∠Rt ACP ， ∴
ABQ ACP ∠=∠ ……………………………2分
∴
ACP ∆∽
OBQ ∆ ……………………………3分
∴
QB
PC
OB AC =……………………………………4分 又
∵BAQ CAF ∠=∠、
∠=∠=∠Rt ABQ ACF ，
∴ACF ∆∽
ABQ ∆……………………………………………………………6分
∴
BQ
CF
AB AC = …………………………………………………………………7分 又∵OB AB 2=，∴BQ
CF
OB AC =2即
BQ
CF
OB AC 2= …………………………8分 ∴CF PC 2= 即
CF PF ＝ …………………………………………………9分
∴==
PC PF k 2
1
，即k 值不随点P 的移动而变化. ………………………10分
部分试题参考答案
21、（1）证明：BC ∵是O 的直径，BE 是O 的切线，
EB BC ⊥∴．
又AD BC ⊥∵，AD BE ∴∥．
易证BFC DGC △∽△，FEC GAC △∽△．
BF CF EF CF
DG CG AG CG ==∴，． BF EF DG AG =∴． G ∵是AD 的中点，
DG AG =∴． BF EF =∴．
（2）证明：连结AO AB ，．
BC ∵是O 的直径，90BAC ∠=∴°．
在Rt BAE △中，由（1），知F 是斜边BE 的中点，
AF FB EF ==∴． FBA FAB ∠=∠∴．
O
D G C
A
F
B
Ｈ
又OA OB =∵，ABO BAO ∠=∠∴．
BE ∵是O 的切线，90EBO ∠=∴°．
90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∵°， PA ∴是O 的切线．
（3）解：过点F 作FH AD ⊥于点H ．
BD AD FH AD ⊥⊥∵，，FH BC ∴∥．
由（1），知FBA BAF ∠=∠，BF AF =∴．
由已知，有BF FG =，AF FG =∴，即AFG △是等腰三角形．
FH AD ⊥∵，AH GH =∴．DG AG =∵，
2DG HG =∴，即
1
2
HG DG =． 90FH BD BF AD FBD ∠=∵∥，∥，°， ∴四边形BDHF 是矩形，BD FH =．
FH BC ∵∥，易证HFG DCG △∽△．
FH FG HG CD CG DG ==∴
，即1
2
BD FG HG CD CG DG ===．
O ∵的半径长为BC =∴
1
2BD BD CD BC BD ===-∴
． 解得BD =
BD FH ==∴
12FG HG CG DG ==∵
，1
2
FG CG =∴．3CF FG =∴． 在Rt FBC △中，3CF FG =∵，BF FG =，
由勾股定理，得
222CF BF BC =+．222(3)FG FG =+∴． 解得3FG =（负值舍去）．3FG =∴．
［或取CG 的中点H ，连结DH ，则2C G H G =．易证
A F C D H C △≌△，
FG HG =∴，故2CG FG =，3CF FG =．
由GD FB ∥，易知CDG CBF △∽△，22
33
CD CG FG CB CF FG ===∴．
2
3=
，解得BD = 又在Rt CFB △
中，由勾股定理，得222(3)FG FG =+，
3FG =∴（舍去负值）．］
24、解：对游戏A ： 画树状图
或用列表法
2
3 4
2 (22)， (23)， (24)，
3 (32)， (33)， (34)，
4 (42)，
(43)，
(44)，
所有可能出现的结果共有9种，其中两数字之和为偶数的有5种，
所以游戏A 小华获胜的概率为59，而小丽获胜的概率为4
9．即游戏
A 对小华有利，获胜的可能性大于小丽．
第 二
次 第
一 次
2
3
4
2 3
4 2 3
4 2 3 4
开始
对游戏B ： 画树状图
或用列表法
5
6 8 8
5 —•
(56)， (58)， (58)，
6
(65)， —•
(68)， (68)， 8 (85)， (86)， —•
(88)，
8
(85)，
(86)，
(88)，
—•
所有可能出现的结果共有12种，其中小华抽出的牌面上的数字比小丽大的有5种；根据游戏B 的规则，当小丽抽出的牌面上的数字与小华抽到的数字相同或比小华抽到的数字小时，则小丽获胜．所以游戏B 小华获胜的概率为
512，而小丽获胜的概率为7
12
．即游戏B 对小丽有利，获胜的可能性大于小华．
小
丽 小 华
开始
6
8 8
5
8 8 5 6 8 5 6 8
8
8
6
5 小丽 小华
校 姓名 准考证号
（ ）
22221212k x x x x =++成立，则k 的值为（ ）
A ．1-
B ．
21或 1- C ．2
1 D ．21-或 1 4、代数式9)12(422+-++x x 的最小值为
A ．12
B ．13
C ．14
D ．11
5、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有
1至6六个数。

连续掷两次，掷得面向上的点数之和是3的倍数的概率为
A ．365
B ．61
C ．31
D ．94
6、=⨯++⨯+⨯+⨯10099433221
A ．223300
B ．333300
C ．443300
D ．433300
二、填空题（每小题5分，共30分）
1、多项式411623++-x x x 可分解
为 。

2、已知点),(y x p 位于第二象限，并且62+≤x y ，x 、y 为整
数，则点p 的个数是 。

3、已知⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3，则BAC ∠的度数是 。

（ ）（ ）（
）
4、方程()012008200620072
=-⨯-x x 的较大根为a ，方程020*******=-+x x 的较小根为b ，则=-b a 。

5、已知33)15(4)15(4--+=x ，则x x 123+的算术平方根
是 。

6、如图，在ABC Rt ∆中， 90=∠BCA ， 30=∠BAC ，
6=AB 。

将ABC ∆以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转
至AB 边延长线上的点C '处，那么AC 边转过的图形（图中
阴影部分）的面积是 。

三、解答题（每题12分，共60分）
1、现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方
体分割成若干个小正方体。

在这些小正方体中，求：
⑴ 两面涂有红色的小正方体的个数；
⑵ 任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率；
⑶ 若将原正方体每条棱n 等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数。

2、已知x 、y 均为实数，且满足17=++y x xy ，6622=+xy y x ，
求：代数式432234y xy y x y x x ++++的值。

3、在直角ABC ∆中， 90=∠C ，直角边BC 与直角坐标系中
的x 轴重合，其内切圆的圆心坐标为)1,0(p ，若抛物线122++=kx kx y 的顶点为A 。

求：
⑴ 求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；
⑵ 用k 表示B 点的坐标；
⑶ 当k 取何值时， 60=∠ABC 。

4、如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OB
OA⊥。

P是OA 上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RQ
RP=。

⑴ 求证：RQ是⊙O的切线；
⑵ 求证：2
2OP
PQ
PB
OB+
⋅
=；
⑶当OA
RA≤时，试确定B
∠的取值范围。

5、平面上有n个点（3≥n，n为自然数），其中任何三点不在同一直线上。

证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角
形中至少有一个内角不大于
n
180。

蚌埠二中20GG年自主招生考试
数学素质测试题答案
二、填空题（每小题5分，共30分）
1、)1
2)(4
3)(1
(+
-
-x
x
x
2、6
3、 15或 75
4、20GG
5、22
6、π9
三、解答题（每小题12分，共60分）
1、
⑴ 96块（4分）
⑵ 512.0125
641000512===P （4分） ⑶2)2(6-=n N （4分）
2、由已知条件可知xy 和)(y x +是方程066172=+-t t 的两个实数根，
61=t ，112=t ⎩⎨⎧=+=⇒116y x xy 或⎩
⎨⎧==+611xy y x （4分） 当11=xy ，6=+y x 时，x 、y 是方程01162=+-v v 的两个
根
∵044361<-=∆
∴此方程没有实数根 （3分）
当6=xy ，11=+y x 时，x 、y 是方程06112=+-u u 的两个
根
∵0241212>-=∆ ∴此方程有实数根，这时
1092)(222=-+=+xy y x y x
∴422234y xy y x y x x ++++
)()(22222244y x xy y x xy y x y x +++++=
12499)()(2222222=++-+=y x xy y x y x
3、
⑴ ∵122++=kx kx y ∴对称轴1-=x ，易见抛物线是以
ABC Rt ∆的直角边AC 所在直线为对称轴，由题易得)1,1(k A --，又当0=x 时，1=y 即抛物线过)1,0(p ，故0<k 开口向下。

（4分）
⑵ 如图，K AC -=1 OB OB CO BC +=+=1
OB AE BD AD AB +=+=
k OB OB CE AC -=+-= 由勾股定理得222)()1()1(k OB OB k -=++- ⇒+-=⇒11k k OB OB 11+-=k k ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-⇒0,11k k B （4
⑶ ∵ 60=∠ABC ，∴3tan =∠ABC
又321tan 2
=-=∠k
k ABC ∴01322=-+k k
∴231+-=k ，232--=k
又∵0<k ∴23--=k （4分）
4、
⑴ 证明：连结OQ ， 90=∠OQR ∴RQ 是⊙O 的切线 （4
分）
⑵ 证明：延长AO ⊙O 交于点C
22))(())((OP OB OP OB OP OB OP OA OP OC PA PC PQ PB -=-+=-+=⋅=⋅ ∴22OP PQ PB OB +⋅= （4分）
⑶ 解：当OA RA =时， 30=∠R ，易得 15=∠B ，当R 与A 重合时， 45=∠B
∵R 是OA 延长线上的点 ∴R 与A 不重合 ∴ 45≠∠B
又∵OA RA ≤ ∴ 45<∠B ∴ 4515<≤B （4分）
5、如图，在这n 个点中，必存在这样的两点，使其它各点均在这两点所在直线同侧，设这两个点为1A 、2A ，其它各点按逆时针方向设为3A 、4A 、……n A 。

⑴当n A A A n
180218012⨯-≥∠时，连n A A 2 在n A A A 21∆中， n A A A A A A A A A n n n 1802180122112⨯≤∠-=∠+∠ 则n A A A 12∠、21A A A n ∠中必有一个角不大于n 180（6分） ⑵当n A A A n
180218012⨯-<∠时， n A A A A A A A A A A A A n n 180218011514413312⨯-<∠+⋯⋯+∠+∠+∠- 则在这2-n 个角中，必有一个角不大于n 180 设n A A A i i 18011≤∠-，则11-∆i i A A A 即为所求三角形。

（6分） 20GG 年浙江省温州中学保送生考试数学试题
一、 选择题（每题只有一个答案是正确的。

每题4分,共16分。

）
1、若有m 个数的平均数是x , 另有n 个数的平均数是y ,则这m n +个数的平均数是( )
（A ）2x y + （B ）x y m n ++ （C ）mx ny m n ++ （D ）mx ny x y
++ 2、如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方
A 1 A 2
A n ·A 3 ·A 4
·A n-1
形A 、B 、C 内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填在
A 、
B 、
C 内的三个数依次是（ ）
（A ）1，0，-2 （B ） 0，1，-2 （C ）0，-2，1 （D ）-2，0，1
3、函数y ax a =-+与a y x
-=
（a ≠0）在同一个坐标系中的图像可能是（ ） 4、已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于O ，△AOD 的面积为4，△BOC 的面积为9，则梯形ABCD 的面积为（ ）
（A ）21 （B ）22 （C ）25 （D ）26
二、填空题(每题4分,共16分。

)
5、在某一时刻，一个身高1.6米的同学影长2米，
同时学校旗杆的影子有一部分落在12米外的墙
上，墙上影高1米，则旗杆高为_______.
6、一个幻方中，每一行，每一列，及每一对角线上的三个数之和有相同的值，如图所示已知一个幻方中的三个数，则x 的值是 .
7、观察下列等式：
（第1条）222543=+
（第2条）222221413121110+=++
（第3条）222222227262524232221++=+++
写出（第4条）
8、老李到办公室后，他总要完成以下事情：烧开水10分钟，洗茶杯1分钟，准备茶叶和冲茶1分钟，打扫办公室9分钟，收听新闻10分钟，问老李做好以上事情至少需要 分钟时间。

三、解答题
9、如图所示，AB 为⊙O 的直径，P 为AB 延长线上一点，PD 切⊙O 于C ，BC 和AD 的延长线相交于点E ，且AB =AE 。

（1）求证：AD PD ⊥; （2）若圆的半径为 ，
这个题目）（本题10分)
10、1960年，数学家证明存在一个正整数n ，使得
555551331108427n +++=，推翻了数学家欧拉的一个猜想。

请你求出n 的值。

(简要说明理由,本题10分)
11、某一天的不同时刻老板把信交给秘书打字，每次都将信放在秘书信堆的最上面，秘书有时间就将信堆最上面的那封信取来打。