高考数学(理)一轮复习精品资料 专题53 圆锥曲线的综合问题(教学案)含解析

圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现．
高频考点一圆锥曲线中的定点、定值问题
定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．
【例1】椭圆C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的离心率为
3
2，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P是直线x＝1上的动点，直线P A与椭圆的另一交点为M，直线PB与椭圆的另一交点为N.求证：直线MN经过一定点．
联立得⎩
⎨⎧y ＝t
3
（x ＋2），x 24
＋y 2
＝1，
即(4t 2＋9)x 2＋16t 2x ＋16t 2－36＝0，(8分) 可知－2x M ＝16t 2－36
4t 2＋9，
所以x M ＝18－8t 2
4t 2＋9
，
则⎩⎪⎨⎪⎧x M ＝18－8t 24t 2＋9
，
y
M ＝
12t
4t 2＋9
.同理得到⎩
⎪⎨⎪⎧x N ＝8t 2－24t 2＋1
，
y N ＝4t 4t 2＋1
.
(10分)
由椭圆的对称性可知这样的定点在x 轴上，不妨设这个定点为Q (m ，0)， 又k MQ ＝12t 4t 2＋918－8t 24t 2＋9－m ，k NQ
＝4t
4t 2＋1
8t 2－2
4t 2＋1－m ， k MQ ＝k NQ ，所以化简得(8m －32)t 2－6m ＋24＝0，
令⎩⎪⎨⎪⎧8m －32＝0，
－6m ＋24＝0，得m ＝4，即直线MN 经过定点(4，0)．(13分)
探究提高 (1)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
(2)定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．
【变式探究】如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF
⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝3
2
相交于点N
.
(2)证明 由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x
3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0.
因为直线AF 的方程为x ＝2，
所以直线l 与AF 的交点M ⎝
⎛⎭⎫
2，2x 0－33y 0；
直线l 与直线x ＝3
2的交点为N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，
32x 0－33y 0.
则|MF |2
|NF |2＝（2x 0－3）2（3y 0）21
4＋
⎝⎛⎭⎫32x 0－32（3y 0）2＝（2x 0－3）29y 204＋94（x 0－2）2 ＝4
3·（2x 0－3）23y 20＋3（x 0－2）2
， 因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 20
3
－y 20＝1，代入上式得 |MF |2|NF |2＝43·（2x 0－3）2x 20－3＋3（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）2
4x 2
0－12x 0＋9＝43，所以所求定值为|MF ||NF |＝23
＝23
3. 高频考点二 圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．
【例2】 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3
2，直线y ＝x 被椭圆C 截得
的线段长为410
5.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点． ①设直线BD ，AM 的斜率分别为
k 1，k 2，证明存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出
λ的值； ②求△OMN 面积的最大值．
(2)①证明 设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D (x 2，y 2)， 则B (－x 1，－y 1)，
因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1
x 1，
又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜 率k ＝－x 1
y 1
.
设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ， 由题意知k ≠0，m ≠0.
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2
＝1，得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k 2，
因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝
2m
1＋4k 2
. 由题意知x 1≠－x 2，所以k 1＝
y 1＋y 2x 1＋x 2
＝－14k ＝y 1
4x 1.
所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝
y 1
4x 1
(x ＋x 1)． 令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1，0)，可得k 2＝－y 1
2x 1.
所以k 1＝－12k 2，即λ＝－1
2
.
因此存在常数λ＝－1
2使得结论成立．
②解 直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 1
4x 1(x ＋x 1)，
令x ＝0，得y ＝－3
4y 1，即N ⎝⎛⎭⎫0，－34y 1. 由①知M (3x 1，0)，
可得△OMN 的面积S ＝12×3|x 1|×34|y 1|＝9
8
|x 1||y 1|.
因为|x 1||y 1|≤x 2
14＋y 21＝1，当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时等号成立，此时S 取得最大值9
8
， 所以△OMN 面积的最大值为98
.
【感悟提升】圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值．
【变式探究】 设点P (x ，y )到直线x ＝2的距离与它到定点(1，0)的距离之比为2，并记点P 的轨迹为曲线C .
(1)求曲线C 的方程；
(2)设M (－2，0)，过点M 的直线l 与曲线C 相交于E ，F 两点，当线段EF 的中点落在由四点C 1(－1，0)，
C 2(1，0)，B 1(0，－1)，B 2(0，1)构成的四边形内(包括边界)时，求直线l 斜率的取值范围．
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－8k 2
1＋2k 2，于是
x 0＝x 1＋x 22＝－4k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0＋2)＝2k 1＋2k 2
， 因为x 0＝－4k 21＋2k 2≤0，所以点G 不可能在y 轴的右边，
又直线C 1B 2和C 1B 1的方程分别为y ＝x ＋1，y ＝－x －1， 所以点G 在正方形内(包括边界)的充要条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧y 0≤x 0＋1，y 0≥－x 0
－1，即⎩
⎪⎨⎪⎧2k 1＋2k 2≤－4k 21＋2k 2＋1，
2k 1＋2k 2≥4k 21＋2k 2
－1， 亦即⎩
⎪⎨⎪⎧2k 2
＋2k －1≤0，2k 2－2k －1≤0.解得－3－12≤k ≤3－12，②
由①②知，直线l 斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－3－12，
3－12. 高频考点三 圆锥曲线中的探索性问题
圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题．
【例3】如图，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，
|F 1F 2|
|DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为
2
2
.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
从而|DF 1|＝
2
2
.(3分) 由DF 1⊥F 1F 2，得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝32
2.
所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22， 故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.
因此，所求椭圆的标准方程为x 22
＋y 2
＝1.(4分)
探究提高 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．
【变式探究】 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2
＝1有两个不同
的交点P 和Q . (1)求k 的取值范围；
(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →
垂直？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．
1.【2016高考新课标3理数】已知抛物线C ：2
2y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．
（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR
FQ ；
（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2
1y x =-．
2.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆2221x y a
+=（a ＞1）.
（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；
（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值 范围.
【答案】（I ）22221a k a k +（II ）02
e <≤．
所以a >
因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a <≤
，
由c e a a ==得，所求离心率的取值范围为02
e <≤．
3.【2016高考新课标2理数】已知椭圆:E 22
13
x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．
（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）
144
49
；（Ⅱ）)
2.
因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()
2
323321
22022
k k k k k k k -+-+-=<--，
即32
02k k -<-.由此得3
2020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020
k k -<⎧⎨->⎩2k <<.
因此k 的取值范围是
)
2.
4.【2016年高考北京理数】（本小题14分）
已知椭圆C ：22
221+=x y a b
（0a b >>）的离心率为2 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面
积为1.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值.
【答案】（1）2
214
x y +=；（2）详见解析.
直线PB 的方程为11
0+-=
x x y y . 令0=y ，得100
--
=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N . 所以2
211200
00-+⋅-+
=⋅x y y x BM AN
2
28
844224844400000000000000002020+--+--=
+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.
当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.
5.【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）
已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线
:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T .
（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；
（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l’平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得2
PT
PA PB λ=⋅，并求λ的值.
【答案】（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）4
5
λ=.
方程②的判别式为2
=16(92)m ∆-，由>0∆，解得22
m -
<<. 由②得212124412
=,33
m m x x x x -+-=.
所以123
m PA x ==-- ，
同理223
m PB x =
--， 所以12522(2)(2)433
m m
PA PB x x ⋅=
---- 21212522(2)(2)()433
m m
x x x x =
---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+
2
109m =
.
故存在常数45
λ=
，使得2
PT PA PB λ=⋅. 6.【2016高考上海理数】（本题满分14）
有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1,0），如图
（1）求菜地内的分界线C 的方程
（2）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为
3
8。

设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S 面积的经验值
【答案】（1）2
4y x =（02y <<）．（2）五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”．
7. 【2016高考上海理数】（本题满分14分）
双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点。

（1）若l 的倾斜角为2
π
，1F AB ∆是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设b =
l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率.
【答案】（1）y =．（2）5
±
.
1.【2015高考山东，理15】平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22
122:10,0x y C a b a b
-=>>的渐近线与抛物
线()2
2:20C x py p =>交于点,,O A B ，若O A B ∆的垂心为2C 的焦点，
则1C 的离心率为 .
【答案】3 2
2.【2015高考浙江，理19】已知椭圆
2
21
2
x
y
+=上两个不同的点A，B关于直线
1
2
y mx
=+对称．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求AOB
∆面积的最大值（O为坐标原点）．
【答案】（1）m<m>；（2）
2.
3.【2015高考山东，理20】平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>左、右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆
C 上.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆22
22:144x y E a b
+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B
两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . ( i )求
OQ OP
的值；
（ii ）求ABQ ∆面积的最大值.
【答案】（I ）2
214
x y +=；（II ）( i )2；（ii ）.
（ii ）设()()1122,,,A x y B x y 将y kx m =+代入椭圆E 的方程， 可得()
2221484160k x kmx m +++-=
由0∆> ，可得2
2
416m k <+ …………………………①
则有21212228416
,1414km m x x x x k k -+=-=++
所以12x x -= 因为直线y kx m =+与轴交点的坐标为()0,m
所以OAB ∆的面积221
2S m x x =⋅-=
== 令22
14m t k
=+ ,将y kx m =+ 代入椭圆C 的方程可得()222148440k x kmx m +++-=
由0∆≥ ，可得22
14m k ≤+ …………………………………………② 由①②可知01t <≤ 因此
S ==
,故S ≤
当且仅当1t = ，即22
14m k =
+ 时取得最大值
由（i ）知，ABQ ∆ 面积为3S ,所以
ABQ ∆面积的最大值为 .
4,【2015高考安徽，理20】设椭圆E 的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为
()0a ，
，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =
，直线OM 的斜率为
10
. （I ）求E 的离心率e ；
（II ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为7
2
，求 E 的方程.
【答案】（I
（II ）22145
9x y +=. 又点T 在直线AB 上，且
1NS AB
k k ⋅=-
,
从而有117
44171
x b b b +-+=⎨+⎪=⎪
⎪⎪⎩
解得3b =
，所以a =，故椭圆E 的方程为22
1
459x y +=.
5.【2015高考天津，理19】（本小题满分14分）已知椭圆22
22+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为(,0)F c -,离
心率为3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422
+4
b x y =截得的线段的长为c
，|FM|=3.
(I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；
(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP
，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.
【答案】
(I) (II) 22132x y += ；
(III) 22,
,⎛⎛-∞ ⎝⎭⎝⎭
.
6.【2015高考四川，理20】如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b
=>>的离心率是2，过点P （0,1）的动
直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为. (1)求椭圆E 的方程；
（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得
QA PA
QB PB
=
恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）22
142
x y +=；（2）存在，Q 点的坐标为(0,2)Q .
【解析】（1）由已知，点在椭圆E 上.
因此，22222
211,,,2a b a b c c a
⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪
⎪=⎪⎩
解得2,a b ==
所以椭圆的方程为22
142
x y +=.
又121122122111
,QA QB y y k k k k k x x x x x '--=
=-==-+=--，
所以
QA QB k k '=，即,,Q A B '
三点共线.
所以12||||||||||||||||x QA QA PA QB QB x PB ===
'.
故存在与P 不同的定点(0,2)Q ，使得||||
||||QA PA QB PB =
恒成立.
7.【2015高考湖北，理21】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，
且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：OQP ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）22
1164
x y +=；
（Ⅱ）存在最小值8.
第21题图1
第21题图2
（Ⅱ）（1）当直线l的斜率不存在时，直线l为4
x=或4
x=-，都有
1
448
2
OPQ
S
∆
=⨯⨯=.
（2）当直线l的斜率存在时，设直线
1
:()
2
l y kx m k
=+≠±
，
由
22
,
416,
y kx m
x y
=+
⎧
⎨
+=
⎩消去y，可得222
(14)84160
k x kmx m
+++-=．
因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，
所以
2222
644(14)(416)0
k m k m
∆=-+-=，即22
164
m k
=+．①
又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩ 可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++．
由原点O 到直线PQ
的距离为
d =
和|||P Q PQ x x =-，可得
8.【2015高考陕西，理20】（本小题满分12分）已知椭圆:E 22
221x y a b
+=（0a b >>）的半焦距为c ，原
点O 到经过两点(),0c ，
()0,b 的直线的距离为
1
2
c ． （I ）求椭圆E 的离心率；
（II ）如图，AB 是圆:M ()()2
2
5
212
x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的 方程．
【答案】（I （II ）
221123
x y +=． 【解析】
（I ）过点(),0c ，()0,b 的直线方程为0bx cy bc +-=， 则原点O 到直线的距离
bc
d a
=
=
，
由1
2
d c =
，得2a b ==，解得离心率2c a =
.
解法二：由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=． (2)
依题意，点A ，B 关于圆心()
2,1M -
对称，且|AB |=． 设
1122(,y ),B(,y ),
A x x 则
2221144x y b +=，
222
2244x y b +=，
两式相减并结合
12124,y 2,
x x y +=-+=得
()1212-4()80
x x y y -+-=．
易知，AB 不与x 轴垂直，则
12
x x ≠，所以AB 的斜率
12121
k .2AB y y x x -=
=-
因此AB 直线方程为1
(2)12y x =++，代入(2)得22
4820.x x b ++-=
所以
124
x x +=-，
2
1282x x b =-．
于是
12|AB ||x x =-=
=
由|AB |
23b =．
故椭圆E 的方程为22
1
123x y +=．
9.【2015高考新课标1，理20】在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =24
x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N
两点，
（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由
. 【答案】0y a -
-=0y a ++=（Ⅱ）存在
当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意. ……12分
10.【2015高考湖南，理20】已知抛物线2
1:4C x y =的焦点F 也是椭圆22
222:1(0)y x C a b a b
+=>>的一
个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为. （1）求2C 的方程；
（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC 与BD 同向 （ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率
（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形
【答案】（1）
22
1
98
y x
+=；（2）（i
），（ii）详见解析
.
将④⑤带入③，得
2
2
2
2
2
2
8
9
64
4
)
8
9(
16
)1
(
16
k
k
k
k
+
⨯
+
+
=
+
，即
()
22
2
2
2
169(1)
16(1)
98
k
k
k
⨯+
+=
+
，
∴()22
98k
+=169
⨯
，解得
k=
，即直线l
的斜率为4
±
.
（ii ）由2
4x y =得'y =2x ，∴1C 在点A 处的切线方程为)
(2111x x x
y y -=-，即
42
11x x x y -=，令0=y ，得12x x =，即)0,2(1x
M ，∴1(,1)
2x FM =-，而
11(,1)FA x y =-，于是 FA ⋅22
111110
24x x FM y =-+=+>，因此AFM ∠是锐角，从而180MFD AFM ∠=-∠是钝角.，故直
线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.
11.【2015高考上海，理21】已知椭圆2
2
21x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、
D ，记得到的平行四边形CD AB 的面积为S .
（1）设()11,x y A ，()22C ,x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明11212S x y x y =-； （2）设1l 与2l 的斜率之积为1
2
-
，求面积S 的值.
【答案】（1）详见解析（2）S =
所以C 12211
2222
S S d x y x y ∆AB ==⨯
AB ⋅=-. 解：（2）设1:l y kx =，则2:l 1
2y x k
=-.设 ()11,x y A ，()22C ,x y .
由22
21y kx x y =⎧⎨+=⎩
，得2
12112x k =+.
同理2
22
2
21
2211122k x k k ==+⎛⎫
+- ⎪
⎝⎭
. 由()1，
2121221211221
222x x k S x y x y x kx x x k k
⋅+=
-=+⋅=⋅=
整理得S =
1．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B
两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求E
的离心率；
(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程．
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2
b 2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx
＋a 2
(c 2
－b 2
)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2c 2－b 2
a 2＋
b 2
.
因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝x 1＋x 2
2
－4x 1x 2]，即43a ＝4ab 2a 2＋b
2，故a 2＝2b 2
， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝2
2.
(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知 x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c
3. 由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，
得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 2
9
＝1.
2．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1.
(1)求椭圆C 1的方程；
(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．
y ＝2tx －t 2＋h .
将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0， 即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.① 因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点， 所以①式中的
Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.② 设线段MN 的中点的横坐标是x 3， 则x 3＝x 1＋x 22＝t t 2－h
＋t 2
.
设线段P A 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋1
2.
由题意，得x 3＝x 4， 即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③ 由③式中的
Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1，或h ≤－3. 当h ≤－3时，h ＋2<0,4－h 2<0， 则不等式②不成立，所以h ≥1. 当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1， 将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立． 所以，h 的最小值为1.
3．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，左顶点M 到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝45
5，O 为坐标原点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值．
把a ＝2b 代入上式，得4b 25b ＝45
5，解得b ＝1.
所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
＝1.
(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
①当直线AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2. 因为以AB 为直径的圆经过坐标原点， 故OA →·OB →＝0，
即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，
又点A 在椭圆C 上，所以x 21
4
＋y 21＝1，
解得|x 1|＝|y 1|＝
25
5
. 此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝
25
5
.
4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)的两焦点在x 轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2
的等腰直角三角形． (1)求椭圆的方程；
(2)过点S ⎝⎛⎭⎫0，－1
3的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －13，x 2＋2y 2－2＝0，
得(9＋18k 2)x 2－12kx －16＝0， Δ＝144k 2＋64(9＋18k 2)>0，
x 1＋x 2＝12k 18k 2＋9，x 1x 2＝－16
18k 2＋9，
QA →＝(x 1，y 1－1)，QB →＝(x 2，y 2－1)，
QA →·QB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)
＝(1＋k 2)x 1x 2－4k 3(x 1＋x 2)＋169
＝(1＋k 2)·－169＋18k 2－4k 3·12k 9＋18k 2＋169＝0，
∴QA →⊥QB →，即以线段AB 为直径的圆恒过点Q (0,1)．。