2023-2024学年上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期3月月考数学试卷含详解

2023-2024学年上海市华师大二附中高一年级下学期
3月月考数学试卷
2024.3
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.已知全集U =R ，集合{}
2M x x =>，则M =________________．
2.若复数z 满足
()1i 2i z +=+（其中i 为虚数单位）
，则z 的虚部为______.
3.已知函数
()1
f x x =
，则0(2)(2)lim x f x f x ∆→+∆-=∆__________．
4.已知等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，若4131a a +=则16S =________
5.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为4
3π；则圆锥母线与底面所成角的余弦值为
6.已知a 、b 为实数，函数
ln a
y x x =+
在1x =处的切线方程为40x y b -+=，则ab 的值______.
7.已知1,1,10x y xy >>=，则12lg lg x y +
的最小值为______.
8.在直角三角形ABC 中，5AB =，12AC =，13BC =，点M 是ABC 外接圆上的任意一点，则AB AM ⋅
的
最大值是___________.
9.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线22
22:1
x y N m n -=.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点
及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 与双曲线N 的离心率之积为__________．
10.已知四棱锥S ABCD -的高为1，底面是边长为2的正方形，顶点在底面的投影是底面的中心，E 是BC 的中点，动点P 在棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为______.
11.已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '，当0x ≥时，不等式()()1
xf x f x +>'．若对
x ∀∈R ，不等式
()
()e e e x x x f axf ax ax
->-恒成立，则a 的取值范围是______.
12.已知F 为抛物线2
4y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点（允许重合），满足0FA FB FC ++= ，且
FA FB FC ≤≤ ，则
FC
的取值范围是___．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有
且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（）
A.若a >b ，则
11a b
< B.若a >b ，则22ac bc >C.若a >b ，c >d ，则a +c >b +d
D.若a >b ，c >d ，则ac >bd
14.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，如图是()f x '的图像，下列说法中不正确的是（
）
A.[]1,3-为函数()f x 的单调增区间
B.
[]3,5为函数()f x 的单调减区间
C.函数()f x 在0x =处取得极大值
D.函数()f x 在5x =处取得极小值
15.已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B ⋂=∅，则a ，
b 之间的关系是
A.1
a b +> B.1
a b +< C.221
a b +< D.221
a b +>16.在数列{}n a 中，12a =，2a a =，()
1
1*2
11,N ,n n n n n n n n
n a a a a a n a a a
a +++++⎧≥⎪⎪=∈⎨⎪<⎪⎩
.对于命题：①存在[)2,a ∈+∞，对于任意的正整数n ，都有3n n a a +=.②对于任意[)2,a ∈+∞和任意的正整数n ，都有n a a ≤.下列判断正确的是（
）
A.①是真命题，②也是真命题
B.①是真命题，②是假命题
C.①是假命题，②是真命题
D.①是假命题，②也是假命题
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA AB =.
（1）求证：直线BD ⊥平面PAC ；（2）求直线PC 与平面PBD 所成的角的大小.
18.已知函数()2
2sin 3sin cos f x x x x ωωω=+的最小正周期为π，其中0ω>．
（1）求ω的值与函数()f x 的单调增区间；
（2）设ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且3,sin 2sin c B A =
=，()3f C =，求ABC 的面积．
19.为了更直观地让学生认识棱锥的几何特征，某教师计划制作一个正四棱锥教学模型．现有一个无盖的长方体硬纸盒，其底面是边长为20cm 的正方形，高为10cm ，将其侧棱剪开，得到展开图，如图所示．
1P ，2P ，3P ，4P 分别是所在边的中点，剪去阴影部分，再沿虚线折起，使得1P ，2P ，3P ，4P 四个点重合于点P ，
正好形成一个正四棱锥P ABCD -，如图所示，设AB x =（单位：cm ）．
（1）若10x =，求正四棱锥P ABCD -的表面积；（2）当x 取何值时，正四棱锥P ABCD -的体积最大．
20.已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>，依次连接椭圆E 的四个顶点构成的四边形面积为（1）若a =2，求椭圆E 的标准方程；
（2）以椭圆E 的右顶点为焦点的抛物线G ，若G 上动点M 到点(10,0)H 的最短距离为，求a 的值；（3）当2a =时，设点F 为椭圆E 的右焦点，(2,0)A -，直线l 交E 于P 、Q （均不与点A 重合）两点，直线l 、AP 、AQ 的斜率分别为k 、1k 、2k ，若1230kk kk ++=，求FPQ △的周长．21.已知函数()ln h x x x
λ
=+
，其中λ为实数.（1）若()y h x =是定义域上的单调函数，求实数λ的取值范围；（2）若函数()y h x =有两个不同的零点，求实数λ的取值范围；
（3）记()()g x h x x λ=-，若(),p q p q <为()g x 的两个驻点，当λ在区间42,175⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上变化时，求()()g p g q -的取值范围.
2023-2024学年上海市华师大二附中高一年级下学期
3月月考数学试卷
2024.3
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.已知全集U =R ，集合{}
2M x x =>，则M =________________．
【答案】[]22-,
【解析】
【分析】根据补集的定义直接进行运算即可.【详解】因为{}
2M x x =>，所以{}
{}2|22M x x x x =≤=-≤≤，故答案为：[2,2]-.
2.若复数z 满足()1i 2i z +=+（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为______.【答案】1
2
-##0.5-【解析】
【分析】利用复数的除法运算得z ，即可求解.【详解】()()()()2+i 1i 2+i 31i,1+i 1+i 1i 22z -=
==--则z 的虚部为1
2-.故答案为：12
-
.3.已知函数()1
f x x =，则0(2)(2)lim
x f x f x
∆→+∆-=∆__________．【答案】1
4
-【解析】
【分析】首先计算
()()()
221
22f x f x x +∆-=-∆+∆，当0x ∆→时，即可求值.
【详解】()()()
11222222x
f x f x x -∆+∆-=
-=+∆+∆，
()()()
221
22f x f x x +∆-=-∆+∆，
()()
()0
02211lim
lim 224x x f x f x x ∆→∆→⎛⎫+∆-=-=- ⎪ ⎪∆+∆⎝⎭
.故答案为：14
-
4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4131a a +=则16S =________【答案】8【解析】
【分析】由等差数列的性质结合等差数列的求和公式可得答案.【详解】由等差数列的性质可得：1164131a a a a +=+=，所以()116161611682
2
a a S +⨯⨯=
==，
故答案为：8.
5.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为4
3
π；则圆锥母线与底面所成角的余弦值为【答案】23
【解析】
【详解】试卷分析：设圆锥的母线长为1，底面圆的半径为r ，由题意圆锥的侧面展开图得弧长（即圆锥得底面圆周长）为
4
3
π，由
得
圆锥母线与底面所成角的余弦值为23
r l =.考点：圆锥的侧面展开图.
6.已知a 、b 为实数，函数ln a
y x x
=+在1x =处的切线方程为40x y b -+=，则ab 的值______.【答案】21【解析】
【分析】求导，点斜式得到直线方程，对应项相等得ab .【详解】由()ln a
f x x x =+
，得21()a f x x x
'=-，则()11f a '=-，又()1f a =，则切线方程为()()11y a a x -=--，即()112y a x a
=--+14,12a a b ∴-=-+=，得3,7
a b =-=-21
ab ∴=故答案为：21.
7.已知1,1,10x y xy >>=，则12lg lg x y
+的最小值为______.
【答案】3+##3+【解析】
【分析】依题意可得lg lg 1x y +=，再由基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为1,1,10x y xy >>=，
所以lg lg lg 1x y xy +==，lg 0x >，lg 0>y ，
所以
1212lg 2lg ()(lg lg )33lg lg lg lg lg lg y x x y x y x y x y +=++=++≥+3=+
当且仅当
lg 2lg lg lg y x
x y
=，即lg 2y x ==-时，等号成立，
显然此时,x y 有解，所以
12lg lg x y
+的最小值为3+.
故答案为：3+.
8.在直角三角形ABC 中，5AB =，12AC =，13BC =，点M 是ABC 外接圆上的任意一点，则AB AM ⋅
的最大值是___________.【答案】45【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，用圆的方程设点M 的坐标，计算AB AM ⋅
的最大值．【详解】建立平面直角坐标系，如图所示：
(0,0)A ，(5,0)B ，(0,12)C ，
ABC 外接圆225169
()(6)24
x y -+-=
，设M 513(cos 22θ+，13
6sin )2
θ+，
则513(cos 22AM θ=+ ，13
6sin )2
θ+，(5,0)AB =
，2565cos 4522
AB AM θ⋅=+≤ ，当且仅当cos 1θ=时取等号．所以AB AM ⋅
的最大值是45．
故答案为：45．
9.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线22
22:1x y N m n
-=.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点
及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 与双曲线N 的离心率之积为__________．
【答案】1)-【解析】
【分析】利用条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率，利用渐近线的夹角求双曲线的离心率，从而得出答案．【详解】如图
正六边形中，,OA AB c BD ===，直线OB 即双曲线的渐近线方程为y =，
由椭圆的定义可得)
21a AB BD c =+=
，所以椭圆的离心率1
c e a =
==，
双曲线的渐近线方程为n y x m =，则=n m ，双曲线的离心率2e ==，
所以椭圆M 与双曲线N 的离心率之积为1)
-【点睛】本题考查椭圆的定义和离心率，双曲线的简单性质，属于一般题．
10.已知四棱锥S ABCD -的高为1，底面是边长为2的正方形，顶点在底面的投影是底面的中心，E 是BC 的中点，动点P 在棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为______.
【答案】【解析】
【分析】先根据线面垂直确定点P 的轨迹，再解三角形得周长.
【详解】设底面的中心为O ，则SO ⊥面ABCD SO AC ∴⊥,由正方形ABCD 得,AC BD SO BD O AC ⊥=∴⊥I 面SBD
取SC ，CD 的中点为G ，F ，易得面//SBD 面GEF ，所以AC ⊥面GEF ，因此动点P 的轨迹为GEF ∆，因为
1,SO BD BO SB ====
2
GE GF ==
，EF =P
+【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理以及立体几何中轨迹问题，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.11.已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '，当0x ≥时，不等式()()1xf x f x +>'．若对x ∀∈R ，不等式()()e e
e
x
x
x
f axf ax ax ->-恒成立，则a 的取值范围是______.
【答案】[)0,e 【解析】
【分析】构造函数()()g x xf x x =-，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为e x ax >恒成立,分离参数求最值即可求解.
【详解】定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，∴函数()f x 为R 上的偶函数．令()()g x xf x x =-，则()()g x g x -=-,()g x 为奇函数．
()()()1g x xf x f x ''=+-．
当0x ≥时，不等式()()1xf x f x +>'．
()0g x '∴>，()g x 在[)0,∞+单调递增．
∴函数()g x 在R 上单调递增．
对x ∀∈R ，不等式()()e e
e
x
x
x
f axf ax ax ->-恒成立，
()
()e e e x x x f axf ax ax ⇒->-,
即()()
e
x
g g ax >e x ax ∴>．
当0x >时，e ()x
a h x x <=，
则2
(1)
()x e x h x x
'
-=，则()01,0x h x <<'<；()1,0x h x '>>；故()h x 在()0,1单调递减，在()1,∞+单调递增；可得1x =时，函数()h x 取得极小值即最小值，()1e
h =e a ∴<．
当0x <时，e x
a x
>，则()0h x <，则0
a ≥则a 的取值范围是[)0,e .故答案为：[
)0,e .
12.已知F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点（允许重合），满足0FA FB FC ++=
，且
FA FB FC ≤≤ ，则FC
的取值范围是___．【答案】5,32⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
【解析】
【分析】首先求出焦点坐标与准线方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，根据焦半径公式表示出FA ，FB
，FC
，依题意可得1233x x x ++=，即可求出3x 的取值范围，即可得解.
【详解】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0F ，准线方程为=1x -，
所以11FA x =+ ，21F x B =+ ，31FC x =+
，
0FA FB FC ++=
，又A 、B 、C 为抛物线上三点，显然三点不完全重合，
∴()()()()1122331,1,1,0,0x y x y x y -+-+-=，即1233x x x ++=，1230y y y ++=，
所以123222
123012y y y y y y ++=⎧⎨++=⎩，因为FA FB FC ≤≤
，所以123111x x x ≤≤+++，等价于123y y y ≤≤，
由对称性，不妨设312210y y y y y =--≤≤≤，
所以()222222123121212y y y y y y y ++=++--=，即22
12126y y y y ++=，所以()()222212*********y y y y y y y y +≤++=≤+，所以2233364
y y ≤≤，所以33364x x ≤≤，3322x ≤≤，351,32FC x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦
，当(
)330,0,,,22A B C ⎛⎛ ⎝⎝时，即52FC = ；
当(11,,2,22A B C ⎛⎛- ⎝⎝时，即3FC = ;所以5,32FC ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
故答案为：5
,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（
）A.若a >b ，则11a b < B.若a >b ，则22
ac bc >C.若a >b ，c >d ，则a +c >b +d
D.若a >b ，c >d ，则ac >bd 【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.
【详解】对于A:取2,1a b ==-则11a b
>，故A 错，对于B:若0c =，则22=ac bc ，故B 错误，
对于C:由同号可加性可知：a >b ，c >d ，则a +c >b +d ，故C 正确，
对于D:若2,1,2,3a b c d ===-=-，则4,3ac bd =-=-，ac bd <，故D 错误.
故选：C
14.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，如图是()f x '的图像，下列说法中不正确的是（
）
A.
[]1,3-为函数()f x 的单调增区间B.[]3,5为函数()f x 的单调减区间
C.函数()f x 在0x =处取得极大值
D.函数()f x 在5x =处取得极小值
【答案】C
【解析】
【分析】[]13,x ∈-时，()0f x '≥，()f x 单调递增，A 正确，[]3,5x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减，B 正确，[]13,x ∈-时，()f x 单调递增，C 错误，根据单调性判断D 正确，得到答案.
【详解】对选项A ：[]13,x ∈-时，()0f x '≥，()f x 单调递增，正确；
对选项B ：[]3,5x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减，正确；
对选项C ：[]13,x ∈-时，()f x 单调递增，错误；
对选项D ：[]3,5x ∈时，()f x 单调递减，当()5,x ∈+∞时，()f x 单调递增，函数()f x 在5x =处取得极小值，正确；
故选：C ．
15.已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B ⋂=∅，则a ，b 之间的关系是
A.1
a b +> B.1a b +< C.221a b +< D.221
a b +>【答案】C
【解析】
【分析】
先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．
【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0
化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点，
集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，
若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，
1d =，即a 2+b 2＜1
故选C ．
【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．16.在数列{}n a 中，12a =，2a a =，()
11*211,N ,n n n n n n n n n a a a a a n a a a a +++++⎧≥⎪⎪=∈⎨⎪<⎪⎩.对于命题：①存在[)2,a ∈+∞，对于任意的正整数n ，都有3n n a a +=.
②对于任意[)2,a ∈+∞和任意的正整数n ，都有n a a ≤.
下列判断正确的是（）
A.①是真命题，②也是真命题
B.①是真命题，②是假命题
C.①是假命题，②是真命题
D.①是假命题，②也是假命题【答案】A
【解析】
【分析】对①，直接令2a =判断即可；
对②，利用反证法，先设数列中第一项满足n a a >的项为k a ，再推导21,k k a a --的大小推出矛盾即可；
【详解】对①，当2a =时，易得12a =，22a =，31a =，42a =，52a =，61a =…故数列{}n a 为2，2，1循环.所以对于任意的正整数n ，都有3n n a a +=成立，故①正确；
对②，对于任意[)2,a ∈+∞，有12a =，2a a =，32
a a =，42a =，设数列中第一项满足n a a >的项为k a ，则4k >，此时易得21,k k a a a --≤，又()
11*211,N ,n n n n n n n n n a a a a a n a a a a +++++⎧≥⎪⎪=∈⎨⎪<⎪⎩，且由题意，0n a >恒成立，故21n a +≥，即数列{}n a 中所有项都满足1n a ≥，故211,k k a a a --≤≤，因为[]2112max ,1,k k k k k a a a a a a ----⎧⎫=∈⎨⎩⎭
，与k a a >矛盾，故对于任意[)2,a ∈+∞和任意的正整数n ，都有n a a ≤.
故选：A
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA AB =.
（1）求证：直线BD ⊥平面PAC ；
（2）求直线PC 与平面PBD 所成的角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）1arcsin
3
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；
（2）以A 为坐标原点，分别以AB AD AP ､､为x y z ､､轴，建立空间直角坐标系.分别求出直线PC 的方向向量与平面PBD 的法向量，由线面角的向量公式代入即可求解.
【小问1详解】
因为PA ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，
所以PA BD ⊥.
在正方形ABCD 中，AC BD ⊥.
而PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，
故BD ⊥平面PAC .
【小问2详解】
以A 为坐标原点，分别以AB AD AP ､､为x y z ､､轴，
建立空间直角坐标系.
设1AB =，则()()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0B D P C ，从而()()()1,0,1,0,1,1,1,1,1PB PD PC =-=-=- .
设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =r
，0000PB n x z x z y z y z PD n ⎧⎧⋅=-==⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-==⋅=⎩⎪⎩
⎩ ，令1z =，则()1,1,1n = .
设直线PC 与平面PBD 所成的角为θ，
则
1 sin|cos,
3
PC n
PC n
PC n
θ
⋅
===
⋅
∣，
故PC与夹面PBD的所成角大小为
1 arcsin
3
.
18.已知函数(
)2
2sin cos
f x x x x
ωωω
=+的最小正周期为π，其中0
ω>．
（1）求ω的值与函数()
f x的单调增区间；
（2）设ABC
的内角、、
A B C的对边分别为a b c
、、
，且2sin
c B A
==，()3
f C=，求ABC
的面积．【答案】（1）1
ω=，
ππ
π,π,
63
k k k
⎡⎤
-+∈
⎢⎥
⎣⎦
Z
（2）
3
2
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换得到()
π
2sin21
6
f x xω
⎛⎫
=-+
⎪
⎝⎭
，根据最小正周期得到ω，进而得到函数解析式，得到单调递增区间；
（2）根据()3
f C=求出
π
3
C=，由正弦定理得到2
b a
=，由余弦定理得到1
a=，求出三角形面积.
【小问1详解】
(
)π
1cos22sin21
6
f x x x x
ωωω
⎛⎫
=-+=-+
⎪
⎝⎭
，
2ππ
2
T
ω
==
，
()π
1,2sin21
6
f x x
ω⎛⎫
∴==-+
⎪
⎝⎭
，
令
πππ
22π,2π,
622
x k k k
⎡⎤
-∈-+∈
⎢⎥
⎣⎦
Z，解得ππ
π,π,
63
x k k k
⎡⎤
∈-+∈
⎢⎥
⎣⎦
Z，
故()
f x的单调增区间为
ππ
π,π,
63
k k k
⎡⎤
-+∈
⎢⎥
⎣⎦
Z．
【小问2详解】
()π2sin 2136f C C ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ ，即sin 216πC ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，又()0,πC ∈，ππ11π2,666C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭
，故ππ262
C -=，解得π3C =，sin 2sin B A =，
2b a ∴=，
2222cos c a b ab C =+- ，
222342a a a ∴=+-，
解得1a =，
1322,sin 22
ABC b a S ab C ∴====△．19.为了更直观地让学生认识棱锥的几何特征，某教师计划制作一个正四棱锥教学模型．现有一个无盖的长方体硬纸盒，其底面是边长为20cm 的正方形，高为10cm ，将其侧棱剪开，得到展开图，如图所示．
1P ，2P ，3P ，4P 分别是所在边的中点，剪去阴影部分，再沿虚线折起，使得1P ，2P ，3P ，4P 四个点重合于点P ，正好形成一个正四棱锥P ABCD -，如图所示，设AB x =（单位：cm ）．
（1）若10x =，求正四棱锥P ABCD -的表面积；
（2）当x 取何值时，正四棱锥P ABCD -的体积最大．
【答案】（1）2400cm ；（2）16x =.
【解析】
【分析】
（1）连接AC ，BD ，交于点O ，设BC 中点为E ，连接PE ，EO ，PO ，利用底面积与侧面积的和求解表面积；
（2）由AB x =，可得2x OE =，)(200202
x PE x =-<<，先利用勾股定理求出棱锥的高，然后表示出体积，再利用导数求最大值时x 的的值.
【详解】在正四棱锥P ABCD -中，连接AC ，BD ，交于点O ，设BC 中点为E ，连接PE ，EO ，PO ．（1）∵10AB =，∴5OE =，15PE =，∴正四棱锥P ABCD -的表面积为
141010410154002
ABCD PBC S S S =+=⨯+⨯⨯⨯=表△，∴正四棱锥P ABCD -的表面积为2400cm ．
（2）∵AB x =，∴2x OE =，)(200202x PE x =-<<，∴)222052002022x x PO x x ⎛⎛⎫⎫=---<<⎪⎪ ⎭⎭⎝
⎝，∴正四棱锥P ABCD -的体积为
)()()241252525202020020333
V x x x x x x x x =⨯-=⨯-=-<<．
令)()()(420020t x x x x =-<<，则)()(3
516t x x x '=-，当016x <<时，)(0t x '>，)(
t x 单调递增；当1620x <<时，)(0t x '<，)(
t x 单调递减，∴)()(max 16t x t =，∴)()(
max 16V x V =，∴当16x =时，正四棱锥P ABCD -的体积最大．
【点睛】方法点睛：解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何法，特别是平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、导数法以及均值不等式法求解.
20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>，依次连接椭圆E 的四个顶点构成的四边形面积为（1）若a =2，求椭圆E 的标准方程；
（2）以椭圆E 的右顶点为焦点的抛物线G ，若G 上动点M 到点(10,0)H 的最短距离为，求a 的值；（3）当2a =时，设点F 为椭圆E 的右焦点，(2,0)A -，直线l 交E 于P 、Q （均不与点A 重合）两点，直线l 、AP 、AQ 的斜率分别为k 、1k 、2k ，若1230kk kk ++=，求FPQ △的周长．
【答案】（1）22
143
x y +=；（2）4；
（3）8【解析】
【分析】（1）直接利用四边形面积可知=ab 2a =即可求出b 值，即可求得椭圆方程；
（2）设出点M 坐标，由两点间距离公式构造二次函数求最值即可；
（3）设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理及1230kk kk ++=可求出直线方程，得出直线恒过定点，即可求出三角形FPQ △的周长.
【小问1详解】
由已知得椭圆四个顶点构成的四边形面积为1222a b ⨯
⨯⨯=，
即=ab
∵2a =，∴b =，
∴椭圆E 的标准方程为22
143
x y +=；【小问2详解】
椭圆的右顶点为(),0a ，以椭圆E 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为24y ax =，
设动点()00,M x
y ，则()()(
)22222200000010201004102100102MH x y x x ax x a a =-+=-++=--+--⎡⎤⎣⎦当1020a ->时，即05a <<，最小值在对称轴处取得，
即(
)(2
2100102a --=，解得4a =或6a =（舍去），当1020a -≤，即05a <≤，最小值在00x =处取得，此时MH 最小值为10，不符合题意，故4a =；
【小问3详解】
设直线l 的方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，则1112y k x =+，2222y k x =+，故12121212122222
y y kx m kx m k k x x x x +++=+=+++++，则()()()()()()()
12211212122233322kx m x kx m x kk kk k k k x x +++++++=++=+++()()()12121212224324
kx x k m x x m
k x x x x ++++=++++，当2a =时椭圆的方程为22
143
x y +=，将椭圆方程与直线方程联立22
143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
可得()2223484120k x kmx m +++-=，()()
22222264434412144481920k m k m m k ∆=-+-=-+>，即22340m k -+>，122834km x x k -+=+，212241234m x x k
-=+，即()()22212222
41282243434334128243434m km k k m m k k k k k k m km k k --⨯++⨯+++++=--+⨯+++()()
222041616m k m k m km k --==-+，
故m k =或2m k =，此时均满足0∆>，
若m k =，则直线l 的方程为y kx k =+，此时直线恒过()1,0-，
若2m k =，则直线l 的方程为2y kx k =+，此时直线恒过()2,0-，与题意矛盾，
点()1,0-为椭圆的左焦点1F ，
故FPQ △的周长为1148PF FQ PQ PF FQ PF QF a ++=+++==.
21.已知函数()ln h x x x
λ=+，其中λ为实数.（1）若()y h x =是定义域上的单调函数，求实数λ的取值范围；
（2）若函数()y h x =有两个不同的零点，求实数λ的取值范围；
（3）记()()g x h x x λ=-，若(),p q p q <为()g x 的两个驻点，当λ在区间42,175⎡⎤⎢
⎥⎣⎦上变化时，求()()g p g q -的取值范围.
【答案】（1）(,0∞⎤-⎦
（2）1
0e
λ<<（3）6302ln 2,4ln 2517⎡⎤-
-⎢⎥⎣
⎦【解析】【分析】（1）直接由导数求出参数的范围即可.
（2）由导数判断单调性后转化为方程根的个数问题，再求最小值小于零得出结果.
（3）根据驻点得出导函数为零的的两根，用韦达定理将双变量换成单变量带入()()g p g q -，写出表达式再求导即可.
【小问1详解】
易得定义域为()0,∞+，()221x h x x x x
λλ-'=-=，当且仅当0λ≤时，()0h x '>恒成立，
()y h x =是定义域上的单调递增函数，符合题意；
而当0λ>时，()h x '既不恒正，也不恒负，
即()y h x =不是定义域上的单调函数，不符合题意，舍去；
所以，由题意得实数λ的取值范围为(],0-∞；
【小问2详解】
函数()y h x =有两个不同的零点，
所以()y h x =不是定义域上的单调函数，即0λ>；
∴()y h x =在()0,λ上为单调递减函数，在[),λ+∞上为单调递增函数，
且当x 趋近于0和+∞时，()y h x =趋近于+∞，
∴函数()y h x =有两个不同的零点
()()min 1ln 100e
h x h l l l ==+<Þ<<
.【小问3详解】(),p q p q < 为()()ln x x g x x x x
h λλλ=-=+
-的两个驻点，(),0p q p q ∴<<为()210g x x x l l =--=¢的两根，即一元二次方程20x x λλ-+=有两个不同的正根，即11
p q pq λ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，则1142,11751p q p p p q p λ⎧⎡⎤==∈⎪⎢⎥+⎣⎦+⎪⎪⎨⎪<=⎪⎪⎩，解得1142p ≤≤，()()()2111122ln ln 2ln p g p g q g p g p p p p p p p p p l l l 骣骣骣骣-琪琪琪琪\-=-=+----=+琪琪琪琪桫桫桫桫
221
2242ln 2ln 211⎛⎫-=+⋅=+- ⎪+⎝⎭+p p p p p p p ，令()24112ln 2,,142⎡⎤=+-∈⎢⎥+⎣⎦
m p p p p ，()()()()2
2222221280
11p p m p p p p p -=-=++¢³ ()m p \在11,42p 轾Î犏犏臌
上为单调递增函数，则()3064ln 2,2ln 2175m p 轾Î-+-+犏犏臌
，()()()6302ln 2,4ln 2517g p g q m p 轾\-=Î--犏犏臌.【点睛】关键点睛：第二问是零点问题，转化为方程根的个数问题；
第三问较难，首先将双变量转化为单变量需用驻点这一条件，再用韦达定理表示出来，注意新变量的取值范围，最后再构造函数求单调性得出结果.。