(完整版)多元函数微分法及其应用习题

第八章 多元函数微分法及其应用
一．填空题
1。

函数z =的定义域是
2、0
sin lim x y xy
x
→→= 3、2222
00
1cos()
lim x y x y x y →→-+=+
4
、设z =那么
z x ∂=∂ ,z
y
∂=∂ 5、已知22ln(1)z x y =++，则(1,2)
dz =
6、设(,)3ln(1)f x y x xy =++，则(1,2)x f = ，(1,2)xy f =
7、设f(x,y)在点（a ，b)处的偏导数存在，则0
(,)(,)
lim
x f a x b f a x b x
→+--=
8、若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2 ，则在D 上， x
y z
y x z ∂∂∂=
∂∂∂22。

9。

函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

10、函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。

11、)()(1
y x y xy f x
z +ϕ+=
，f 、ϕ具有二阶偏导数， 则=∂∂∂y
x z 2 。

12．设3
2) , ,(z
xy z y x f =，其中) ,(y x z z =是由方程032
2
2
=-++xyz z y x 所确定的隐函数，
则=)1 ,1 ,1(x f。

13．若函数),(y x f z =可微,且1),(2=x x f ，x x x f x =),(2，则当x =),(2x x f y 。

14、设2ln ,,32x
z u v u v x y y ===-，则
z x ∂=∂ ,z y
∂=∂
15、设3arcsin(),3,4z x y x t y t =-==,则
dz
dt
= 二、选择题
1．若函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处不连续，则（ )
（A ）) ,(lim y x f y y x x
→→必不存在; （B ）) ,( y x f 必不存在；
(C)) ,(y x f 在点) ,( y x 必不可微；(D ）) ,( y x f x 、) ,( y x f y 必不存在。

2．考虑二元函数) ,(y x f 的下面4 条性质： ①函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处连续；
②函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处两个偏导数连续; ③函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处可微；
④函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处两个偏导数存在。

则下面结论正确的是（ ）
（A ）②⇒③⇒①；（B ）③⇒②⇒①；(C)③⇒④⇒①； D ）③⇒①⇒④。

3．设函数⎪⎩⎪
⎨⎧=+≠++=0
, 0 0 ,),(222
2242y x y x y x y x y x f ，则在)0 ,0(点处（ ）
（A ）连续，偏导数存在； （B)连续，偏导数不存在； （C ）不连续，偏导数存在； （D)不连续，偏导数不存在。

4．设z
y x u =，则
=∂∂)2,2,3(y
u
（ ） (A ）3ln 4; （B ）3ln 8; （C ）3ln 324； （D)3ln 162。

5．若函数),(y x f 在区域D 内具有二阶偏导数：
22x f ∂∂,22y
f ∂∂,y x f ∂∂∂2，x y f
∂∂∂2， 则（ ） （A ）必有x
y f y x f ∂∂∂=
∂∂∂22； （B ）),(y x f 在D 内必连续；
（C)),(y x f 在D 内必可微; （D ）以上结论都不对。

6．函数223333y x y x z --+=的极小值点是（ )
(A ）（0，0）; (B ）(2，2）; （C ）（0，2)； （D ）（2，0）.
7。

设2
2),(y x xy
y x f +=
，则下列式中正确的是 （ ）
A.),(,y x f x y x f =⎪⎭
⎫
⎝⎛ B 。

),(),(y x f y x y x f =-+
C.),(),(y x f x y f = D 。

),(),(y x f y x f =-
8.00
x y →→ ( )
A 。

0
B 。

12 C.1
2
- D.+∞ 9。

设3z xy x =+,则11
|x y dz ==等于 （ )
A 。

4dx dy + B.dx dy + C.4dx dy + D.3dx dy + 10.函数22(,)221f x y x y x y =+--+的驻点是 （ ）
A.(0,0) B 。

(0,1) C 。

(1,0) D.(1,1)
11。

已知dy y x x by dx x y axy )3sin 1()cos (2223+++-为某一函数(,)f x y 的全微分，则a 和b 的值分别为 （ ）
A 。

-2和2 B.2和—2 C 。

2和2 D.—2和-2
12。

设(,)f xy x y -=22x y +，则(,)(,)
f x y f x y x y
∂∂+∂∂= ( ) A 。

22x y + B 。

22y + C 。

22x y - D.22y -
13。

设 v u z ln 2=，y
u x
=，3x y v e =,则dz = （ ）
A.3223y dx xy dy +
B.33y dx xdy - C 。

323y dx xy dy + D.32223xy dx x y dy +
14.设e cos x
z y =，则=∂∂∂y
x z
2 （ ）
A 。

e sin x y
B 。

e e sin x x y +
C 。

e cos x y -
D 。

e sin x y -
15．对函数xy x y x f +=2),(，原点)0,0( ( ) A.不是驻点 B 。

是驻点却不是极值点 C 。

是极大值点 D 。

是极小值点
三、是非题
1. 设y x z ln 2+=，则
y
x x z 1
2+=∂∂ （ ) 2。

若函数),(y x f z =在),(00y x P 处的两个偏导数),(00y x f x 与),(00y x f y 均存在,则该函数在P 点处一
定连续 （ ）
3。

函数),(y x f z =在),(00y x P 处一定有),(00y x f xy ),(00y x f yx = （ )
4. 函数⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222
222y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处有0)0,0(=x f 及0)0,0(=y f
( ） 5。

函数22y x z +=
在点)0,0(处连续，但该函数在点)0,0(处的两个偏导数)0,0(x z )0,0(,y z 均不存在。

（ ）
四、综合题 1．求各极限
2222220
0)()
cos(1lim y x y x y x y x ++-→→
2．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及2
3y
x z
∂∂∂
3．求下列函数的偏导数 (1)x
y arctg z =
（2)()xy z ln = (3)3
2z xy e u =
4．设u t uv z cos 2+=,t e u =，t v ln =，求全导数dt
dz。

5．二元函数()()()()()⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠+=0,0,,00,0,,,22y x y x y x xy
y x f 在点()0,0处:①连续，偏导数存在；②连续，偏
导数不存在;③不连续，偏导数存在；④不连续，偏导数不存在。

6．设()y
y x z 21+=，求
x z ∂∂,y
z ∂∂。

7．设(
)
z y x f u 2322
3++=，求x f ∂∂，22x
f
∂∂。

8．设()2222,y x y x xyf z -+=，f 可微，求dt 。

9．设()()y x y x y x f ,||,ϕ-=,其中()y x ,ϕ在点()0,0,邻域内连续，问（1)()y x ,ϕ在什么条件下，偏导数()0,0x f '，()0,0y f '存在；(2）()y x ,ϕ在什么条件下,()y x f ,在()0,0处可微。

10．设()t x f y ,=而t 为由方程()0,,=t y x ϕ所决定的函数，且()t y x ,,ϕ是可微的，试求dx
dy
. 。

11．设()y x z z ,=由0ln 2
=-+⎰-dt e z z x
y t 确定，求y
x t
∂∂∂2。

12．从方程组⎩⎨⎧=++++=++++1
1
2
2222v u z y x v u z y x 中求出x u ，x v ，2x u ,2x v 。