固体物理：晶格振动与晶体的热学性质

5. k空间中点的分布密度
k 点在 k 空间中均匀分布，其分布密度为
k
b1 N1
1
b2 N2
b3 N3
N
(2 )3
V
/ (2 )3
简约布里渊区内 k 点的总数等于原胞的数目，即
N
(2 )3
(2 )3
N
相应的简正模式的数目等于体系的自由度数，为
N[(3n 3) 3] 3nN
五、离子晶体中的长光学波
解： 原子的平均平方位移为（计及相位因子的任意性）
un2
j
1 2
a
2 j
每个格波的平均能量为
Ej
N
1 2
a2j
1 2
Nm
a2 2
jj
由于 Ej kT ，所以
a
2 j
2kT
Nm
2 j
从而
un2
j
kT
Nm
2 j
四、三维晶格的振动 1. 原子位移的表示方法
第 l 个原胞的位置 R(l) l1a1 l2a2 l3a3
l s
k
动力学方程
ms2 As
s ',
D ,
k
s,
s
'
As
'
该方程共有 3n 个解，其中 3 个为声学模式，其余 3n-3 个为光学模式。
4. K的取值与倒格矢及布里渊区
玻恩-卡门边界条件要求
u(Rl N1a1) u(Rl ) u(Rl N2a2 ) u(Rl ) u(Rl N3a3 ) u(Rl )
I m / 1 2 (M M ') / M
M ' M
当 M’> M 时，就会出现一种所谓的共振模式，这是一种准局域模 式，其频率位于原来的频带之中。这种模式虽然不是局域的，但在 杂质附近表现的特别强。
对于复试晶格，随着杂质原子质量的不同，除高频模和共振模外， 还可能出现所谓带隙模，其频率落在个频带之间的带隙中，是一种 局域振动模式。
ak
1 2
( mk Qk i
1
mk Pk )
ak
1 2
( mk Qk i
1
mk Pk )
Qk 2mk (ak ak )
Pk i
m
2
(ak
ak
)
由 P,Q 间的对易关系，可求得 a , a 间的对易关系
哈密顿量变为
[ak , ak ] kk
H
k
1 2m
Pk Pk
1 2
m
Q 2
kk
1.黄昆方程
考虑每个元胞中只含有一对正、负离子的情况。假定两个离子的电量 相等，质量分别为 M , M。引入光学位移来表征正负离子的相对位移：
W 1/ 2 (u u )
其中， M , M M M .
M M
黄昆先生建立了如下的唯象方程
W
b11W
b12E
P b12W b22E
2.介电函数及黄昆方程中各参数的物理意义
1 N
i
ei(k kv)a
v
v
1 N
i ei(k k)a i
1 N
N kk
i kk
（1）[ak , ak ] kk
[ak , ak ]
1 2
( mk Qk i
1
mk Pk ),
1 2
i
2
Pk , Qk Qk , Pk kk ' kk '
( mk 'Qk ' i
Na
Na
1 eiNas 1 eias
iNa 2 h
1
e 1
Na
eias
0
等式的证。
2.两个对易关系
（1） [Pk , Qk ] i kk
[Pk ,Qk]
1 N
[
p eika ,
v
qveikva ]
1 N
[ peika , qveikva ]
v
1 N
v
[ p , qv ]ei(kkv)a
根据量子理论，晶格振动的能量本征值是量子化的：
1
(n j
) 2
j
对频率为 j 的声子进行统计，其配分函数为和平均能量分别为：
Z
e
n
1 2
n0
j
e j 1 e
2 j
ln Z
E j
j
1 2
e
1
j
1
其对晶格比热的贡献为：
CVj
E j T
k
j
kT
2
e j kT e j kT 1 2
()
1
4
(b22
b122
b11
2
)
该介电函数有一个极点位于 2 02 b11, 0 可由实验确定，因而 b11 可由 实验确定。
当 0 时的 () 称为静态介电函数：
0
1
4 (b22
b122 ) b11
而 0 时的介电函数称为高频介电函数：
1 4 b22
静态介电函数和高频介电函数也可由实验确定。这样三个介电函数均可 由可测量表示出来：
HANARO High-flux Advanced Neutron Application Reactor（Korea）
A Bird’s View of BEPC
Storage Ring of BEPC
NSRL
NSRL
SSRF
SSRF
SSRF
NSRRC
7、局域振动
当晶体中存在杂质（或缺陷）时，可能产生一种只局限于杂质（或 缺陷）附近的振动模式，其振幅随着与杂质（或缺陷）的距离增大 而指数式地衰减。这种振动模式称为局域振动。 例如，对于由质量为M的原子组成的一维单原子链，当一个质量为 M’的杂质原子替代了一个基质原子时（假定M’< M），就会出现 一种只局限于杂质附近的局域振动模式—高频模，其频率高于原来 格波振动的最高频率（假定力常数不变）。
第 l 个原胞中第 s 个原子的位置
R
l s
l
第 l 个原胞中第 s 个原子的位移
u
s
2. 简谐近似下运动方程的一般形式
l
l,l ' l '
msu
s
l ',s ',
C ,
s,
s
'
u
s
'
C 称为力常数矩阵。
3. 运动方程解的特性
简正模式
l
u
s
A eitR s
即
k N1a1 2 h1 k N2a2 2 h2 k N2a2 2 h2
满足上述条件的 k 可利用倒格矢表示为
k x1b1 x2b2 x3b3
x1
h1 N1
,
x2
h2 N2
,
x3
h3 N3
这些值对应的点在倒格矢空间中均匀分布，因此倒格矢空间也称为k空间。 考虑到解的周期性，独立的k点通常取在第一布里渊区(简约布里渊区)内。
1
mk '
Pk ' )
3.Qk 的运动方程
iQk [Qk , H ] Qk , k
(1 2mPk P k 源自1 2m2k
Qk
Q
k
)
k
Qk
,
1 2m
Pk P k
k
Pk [Qk
,
1 2m
P k
]
k
[Qk
,
1 2m
Pk
]P k
k
1 2m
iPk k,k
k
1 2m
i
k
,k
P
k
i Pk m
即
Mm4 2 (m M )2 4 2 sin2 (ak) 0
其解为
2
mM mM
1
1
4mM (m M
)2
sin
2
(ak
)
2
mM mM
1
1
4mM (m M
)2
sin
2
(ak)
一维双原子链晶格振动的色散关系。 上面一支对应光学波，下面一支对应声学波
2.长波极限
A m2 2 B 2 cos(ak) A m2 2 B 2 cos(ak)
晶格振动与晶体的热学性质
一、一维简单晶格（单原子链）的热振动
1. 简谐近似
2. 运动方程与色散关系
一维单原子链晶格振动的色散关系
二、一维复式晶格（双原子链）的热振动 1. 运动方程与色散关系
mu2n (u2n1 2u2n u2n1) Mu2n1 (u2n2 2u2n1 u2n )
b11 02
b12
(0 4
)1/ 2 0
b22
1 4
()
0 02
2
02
3.晶格振动与电磁场的耦合
当考虑电磁场与晶格振动的耦合时，需要将黄昆方程与麦克斯韦方程联 立求解，我们不准备讨论求解过程，只介绍一些主要的结论。
（1）无外加电磁场——LST关系
LST关系关系 介电函数
L2
0
T2
()
L2 T2
代入运动方程并消去公共因子后得
m2 A (Beiak Beiak 2A) M2B ( Aeiak Aeiak 2B)
整理后得
(m2 2 ) A 2 cos(ak)B 0 2 cos(ak) A (M2 2 )B 0
有解条件为
m2 2 2 cos(ak)
0
2 cos(ak) M2 2
pn mun , qn un
将 qn 作如下展开
qn
1 N
Qk eikna
k
Qk
1 N
qneikna
n
pn 可相应地展开为
pn
1 N
Pk eikna
k
Pk
1 N
n
pneikna
由 p, q 的对易关系
[ pi , q j ] i ij
可得 P, Q 间的对易关
[Pk , Qk ] i kk
2 2
（2）有外加电磁场——极化激元
有外加电磁场时，横光学波与电磁场耦合形成新的振动模式，称为极化激 元，其色散关系为
2
1 2
L2
k 2c2
L4
k 4c4
2
2k 2c2
(L2
T2
1/
)
2
当 k 0时
2 L2,
2
k 2c2
0
当
k 2c2
L2
，即
k L
c
时，
2
k 2c2
,
2 T2
6、晶格振动谱的测量方法
考虑 E, P, W 的平面波解，当 k 0 时，需考虑这三个量随时间的变化，
E E0eit , P P0eit , W W0eit
代入黄昆方程，得到 消去 W 可得 又由于
2W b11W b12E
P b12W b22E
P
b22
b122 b11 2
E
D E 4P E
所以介电函数可写为
声表面波器件原理图
8、晶格热容量的量子理论
晶格的热容义为
CV
E T
V
按照经典统计物理中的能量均分定理，在绝对温度为 T 时体系每一个自由度的能量为 kBT ， 若晶体中共有 N 个原子，则有 3N 个自由度，总能量为 3NkBT ，热容为 3NkB ，这是一个与
温度无关的常数。
但实验表明，在温度趋于零时，晶体的比热很快趋于零。为了解决这一矛盾，必须应用量子 理论，最早做出这一尝试的是爱因斯坦。
从而系统的哈密顿量可以用 P, Q 表示为
H
N n1
1
2m
pn2
1 2
(qn1
qn
)2
k
1 2m
Pk
Pk
QkQk
(1
cos
ka)
k
1 2m
Pk Pk
1 2
m
Q 2
kk
Q
k
其中
k2
2
m
(1
coska)
4
m
sin2 (1 2
ka)
即为前面求得的色散关系。
上面求得的哈密顿量中尚存在着 Pk , Pk 及 Qk ,Qk 的耦合，去掉这种耦合后，格波量 子化的意义会看的更加清楚。为此，做如下变换
2 0, 2 2 m M
mM
A
m2 2
2m M m
mM
2
m
B 2 cos(ak)
2
M
A m2 2 1 B 2 cos(ak)
三、晶格振动的量子化（以单元子链为例）
前面求得了晶格振动的特解
un,k Aei(t nak)
晶格振动的一般解可以表述为上述特解的线性组合，为此，令
1 ina(k k ') e kk '
N n0
当 k k ' 时上式显然成立，设若 k k ' ，令 k k ' s ，则
N1
eina(k k ')
N 1
einas
N 1
(eias )n
1 eiNas
n0
n0
n0
1 eias
注意到 k 2 n ，知 s 2 h ，其中 n, h 均为整数，于是
1）光散射：拉曼散射、布里渊散射。（ k 0）
f i (k)
k f ki k Kn
2）中子散射：非弹性中子散射（整个布里渊区）
p f 2 pi2 (k)
2Mn 2Mn p f pi k Kn
The H9B spectrometer at BNL
The H3B Membrane Neutron Spectrometer
M' >M1
M' <M1
M' <M2
M' >M2
频
光学支
率
声学支
掺B和Li单晶Si 纯单晶Si
7Li
11B 10B
6Li
高频局域模：硅中掺轻杂质 Li 和 B 的红外吸收光谱 -----硅TO+TA的吸收,—杂质的吸收，—晶格吸收高频限
晶体的表面和界面由于受表面重构、力常数变化、杂质原子吸附等的影 响，则会形成局域在表面附近的振动模式-表面波，其传播方向沿着表 面，振幅随与表面的垂直距离的增加而衰减。
Q
k
k
k
(ak ak
1) 2
a , a 为声子的产生和湮灭算符。
附：几个主要的推导：
1.两个重要关系式
（1） Qk Qk*
由于 qn un 为实数，故
qn qn*
1 N
Qk*eikna
k
1 N
Q*k eikna
k
对比
qn
1 N
Qk eikna
k
即得 Qk Qk*
（2）
N 1
进一步
iQk
[Qk , H ]
1 m
[P
k
,
H
]
ik2Qk
即
Qk k2Qk 0 ，这是一个谐振子的运动方程。
例：
已知一维单原子链，其中第 j 个格波在第 n 个格点引起的位移
unj a j sin( jt nak j j )
j 为任意相位因子。如果在较高温度下每个格波的平均能量为 kT 具体计算每个原子的平均平方位移。