1986年(高考数学试题文理科)

一九八六年（理科）

一．（本题满分30分）

（1）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 （ B ）

（A ）)4sin 4(cos

2π-πi （B ）)4sin 4(cos 2π

+πi （C ）)4cos 4(sin 2π-πi （D ）)4

cos 4(sin 2π

-π-i

（2）函数1)2.0(+=-x y 的反函数是 （ C ） （A ）1log 5+=x y （B ）15log +=x y （C ）)1(log 5-=x y （D ）1log 5-=x y

（3）极坐标方程3

4

cos =θρ表示 （ B ） （A ）一条平行于x 轴的直线 （B ）一条垂直于x 轴的直线 （C ）一个圆 （D ）一条抛物线

（4）函数x x y 2cos 2sin 2=是 （ A ）

（A ）周期为2π的奇函数 （B ）周期为2π的偶函数

（C ）周期为4π的奇函数 （D ）周期为4

π

的偶函数

（5）给出20个数： （ B ） 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是

（A ）1789 （B ）1799 （C ）1879 （D ）1899 （6）设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 （ D ） （A ）充分条件 （B ）必要条件

（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要的条件

（7）如果方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F ＞0)所表示的曲线关于直线y=x 对称，那么必有 （ A ） （A ）D=E （B ）D=F （C ）E=F （D ）D=E=F

（8）在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1 、

G 2 、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S-EFG 中必有 （ A ）

（A ）SG ⊥△EFG 所在平面 （B ）SD ⊥△EFG 所在平面 （C ）GF ⊥△SEF 所在平面 （D ）GD ⊥△SEF 所在平面

（9）在下列各图中，y=ax 2+bx 与y=ax+b(ab ≠0）的图象只可能是 （ D ）

]0,1[-∈x C ） （A ）21arcsin )arccos(x x -=--π （B ）21arccos )arcsin(x x -=--π （C ）21arcsin arccos x x -=-π （D ）21arccos arcsin x x -=-π 二．（本题满分24分）

（1）求方程4)5.0(5252

=-+x x 的解。

S 3

F

G 1 G 2 E

（A ） （B ） （C ） （D ） X X

答：.2

3,2121-==x x （注：仅写出其中一个解的，给2分。） （2）已知1,2

312+ω+ω--=ω求i

的值。 答：0 .

（3）在xoy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）。求这个四边形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积。 答：

π3

25

（4）求11)

2(3)2(3lim ++∞→-+-+n n n

n n 答：3

1 （5）求5

2

3)12(x x -展开式中的常数项。 答：-40。

（6）已知θ-θ=θ-θ33cos sin ,2

1cos sin 求的值。 答：

.6

11

三．（本题满分10分）

如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任一点，求证：平面PAC 垂直于平面PBC 。 证：设圆O 所在平面为α，由已知条件，

PA ⊥平面α，又BC 在平面α内， 因此PA ⊥BC 。

因为∠BCA 是直角，因此BC ⊥AC

P

而PA 与AC 是△PAC 所在平面内的相交直线，因此BC ⊥△PAC 所在平面，从而证得，

△PBC 所在平面与△PAC 所在平面垂直。 四．（本题满分12分）

当sin2x ＞0,求不等式)13(log )152(log 5.025.0+>--x x x 的解集。 解：满足sin2x ＞0的x 取值范围是,,2

Z k k x k ∈π+π<<π （1） 而由)13(log )152(log 5.025.0+>--x x x 得

⎪⎩

⎪⎨⎧>+>--+<--)

4(013)3(0152)2(131522

2x x x x x x 解得：-4＜x ＜-3,5＜x ＜7 (5)

由（1）、（5）可知所求解集为).7,2()3,(π⋃-π- 五．（本题满分10分）

如图，在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A 、B 。试在x 轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C ，使∠ACB 取得最大值。

解：设点A 的坐标为（0，a )、点B 的坐标为（0，b ），0＜b ＜a ，又设所求点C 的坐标为（x,0)

记β+α=∠β=∠α=∠OCA OCB BCA 则,, 显然，.2

0π

<α<现在有

Y A

.

1)(1)(]

)[(2⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=+

-=+-

=β

β+α+β-β+α=β-β+α=αx ab

ab x ab b

a x a

b x b a x

ab x b x a tg tg tg tg tg tg

记x

ab

ab

x y +

=

，那么，当ab x =时，y 取得最小值2。 因此，当ab x =时，αtg 取得最大值

.2ab

b a -

因为在)2

,0(π内αtg 是增函数，所以当ab x =时，∠ACB 取最大值

.2ab

b a arctg

-故所求点C 的坐标为（,ab 0）

六．（本题满分10分）

已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A ∩B 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数：（1）B A C ⋃⊂且C 中含有3个元素，（2）φ≠⋂A C （φ表示空集）

解：因为A 、B 各含12个元素，A ∩B 含有4个元素，因此

A ∪

B 元素的个数是12+12-4=20

故满足题目条件（1）的集合的个数是3

20C ，在上面集合中，还满

足A ∩C=φ的集合C 的个数是38C

因此，所求集合C 的个数是3

20C -38C =1084

（解二略）

七．（本题满分12分）

过点M （-1，0）的直线L 1与抛物线y 2=4x 交于P 1、P 2两点。记：