15.1.1从分数到分式

例3：（1）当x_____时，分式
1 x2
的值为正；
1 x （2）当x______时，分式 x2 1 的值为负；
(3)已知，当x=5时，分式 2x k 的值等于零，则k_______。
解：
3x 2
（1）由题意，得 1 0 ，根据实数的运算法则，同号两数 x 2 相除得正，异号两数相除得负，
(1)
x
x 2
1
;
(2)
x5 x2
; (3)
x2 1; (4) x 1
2 x2
5
解解：：((31))当当xx+21+≠1≠0，0，即即x≠x2≠-1-时1时，，分分式式有有意意义义
由x∵2-1x=2为0，非得负x数=±，1不，可但能x≠等-于1时-1，分式才有意义 因此∴，对当于x任=1意时实，数分x式，的分值式为都零有.意义 (4)∵当对x=一0时切，实分数式，的x2值≥为0 零. (∴2)x当2+x52≥≠50>，0，即∴x≠当0x时为，任分意式实有数意时义，分式有意义 由 这当于 样x分的-5子x=值0为，不2即存，x在永=5.远时不，为分零式，的所值以为分零式. 的值永远不为零，
3
3x 5
2 （3）当∣x∣-1≠0,即x≠±1时，分式 x 1 有意义。
（4）因为x无论取什么实数，x2+2>0,所以x取任何实数，
分式 x 2 都有意义。 x2 2
1. 填空：
2
(1)当x______时，分式 3x 有意义；
x
(2)当x______时，分式 x 1 无意义；
(3)当b______时，分式 1 有意义；
且B≠0时，分式 A 0 B
例1：当x取什么时候值时，下列分式有意义？
(1) x 1 2x
(2) 2x 3 3x 5
(3) 2 x 1
x2 (4) x2 2
解：（1）当2x≠0,即x≠0时，分式 x 1有意义。
2x
（2）当3x-5≠0,即x≠ 5 时，分式 2x 3 有意义。
1.下列两个整数相除如何表示成分数的形式：
3÷4= 3
4
12÷11= 12
11
10÷3= 10
3
-7÷2= 7
2
2.在代数式中，整式的除法是否也能类似地表示？试用类
似分数的形式表示下列整式的除法：
(1) 90÷x 可以用式子( 90 )来表示.
x
60÷(x-6)可以用式子( 60 )来表示.
x6
(2) n公顷麦田共收小麦m吨，平均每公顷产量可以用式
子( m )吨来表示.
3.一艘轮船在静水中的最大航速是20千米/时，它沿江 以最大船速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速 逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速是多少？
我们可以直接利用“两次航行所用时间相等”这个关系分 析问题.
设江水的流速为v千米/时，则轮船顺流航行100千米所用
可知x+2与1同号， ∴x+2>0,得x>-2
（2）由题意，得
1 x x2 1

0,
∵x2+1>0, ∴1-x<0,x>1
（3）由题意，得 2 5 k 0, ∴k=-10. 35 2
2009——2013年中考题精选
1.（2009，重庆）函数 y 1 的自变量x取值范围是（ ） x3
12. （2012贵州黔南）若分式 x 1 的值为0，则x的值为
。
x+1
感悟与反思
1、这节课你有哪些收获？ 2、目前 ,你学到了哪些式子？能举几个例子吗？ 3、区分整式与分式的依据？分式成立有条件吗？
学习方法指导： 分式是表示具体情景中数量的模型，分式是分数的 代数化 ，所以其性质与运算是完全类似的。 数学(分式)与现实世界密切联系。
100的时间为___Fra bibliotek2_0__v__小时，逆流航行60千米所用时间为 ___2_06_0_v___小时，可得方程：___21_00_0_v____2_06_0_v____可以 解出v的值.
? 思考
填空：
10
(1)长方形的面积为10cm2，长为7cm，宽应为__7__
S
cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为__a___； (2)把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容
3
85
分式有：
分式是一个形式定义，因此判断一 个式子是不是分式，不能从原式的
x y
,
5
3
y化的行,简本判4aa后来断结面。果目来是判否断符，合而分只式需的看定原义式进
1、分数
5 0
，
0
有意义吗？
2、分式
a1 2a
成立有条件吗？ 有什么条件？
3、分式
a1 2a
中
，a
可取多少值？
4、计算a=1,
5.（2010，荆州）分式
的值为０，则( )
A.x＝－１ B.x＝１x 1 C.x＝±１
D.x＝０
x2
6.（2013•南宁）若分式 x 1 的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣1
B．0
C．2
D．﹣1或2
2009——2013年中考题精选
x3
7.（2011浙江杭州，15，4）已知分式，当x＝2时，分式
200
器中，水面高度为__3_3___cm；把体积为v的水倒入底面
v
积为s的圆柱形容器中，水面高度为__s__.
同5÷3可以写成 5 一样，式子A÷B可 3
以写成 A . B
? 思考
式子 S ，v ，m ，90 ，60 ，100 ， 60 ，有什么共 a s n x x 60 20 v 20 v
x
5y有3意b 义.
x y
例2：当x取何值时，下列分式的值为0？
(1) x 2 2x 3
解： （1）
x 2 (2)
x2
3 x (3)
(x 3)( x 1)
(x 1)(x 3) (4) x2 1
x+2=0 2x-3≠0
得x=2
x2 ∴当x=2时，分式 2x 3的值为0
同点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 可以发现，这些式子与分数一样都是 A (即A÷B)的
B
形式. 分数的分子A与分母B都是整数，而这些式子中 的A，B都是整式，并且B中都含有字母.
归纳
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字
母，那么式子 A 叫做分式. 整式和分式 统称有理式。 B
其中，A叫做分式的 分子 ，B叫做分式的 分母 。
5 3b
x y
(4)当x，y满足关系_______时，分式 x y 有意义.
解：(1)当分母3x≠0即x≠0时，分式 2 有意义；
x 3x
((23))当 当分分母母x5--13=b0≠即0x即=b1≠时，5 时分，式分x式1
有意义； 1 有意义；
3 (4)当分母x-y≠0即x≠y时，分式
在下列式子中，哪些是整式，哪些是分式？
3x, x , x y , 2 x2 y,7xy2 , 1 x, 3 , x y , 4a
y 3
8 5 y 5
a
分析：区分整式与分式的唯一标准就是看分母，分母
中不含有字母的是整式，分母中含有字母的是分式.
解： 整式有：
3x, x y , 2 x2 y,7xy2 , 1 x, x y
a=2时，分式
a1 2a
值分别是多少？
当a等于多少时，分式的值为零？
归纳
(1)分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的
分母不能为0，即当B≠0时，分式 A 才有意义；当B=0
时，分式 A无意义
B
B
注：分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0，而是表示分
母的式子的值不能为0
（2）因为零除以任何非零数都得零，所以当分式的分 子等于0，且分母不等于0时，分式的值为0。即当A=0
∣x∣-2=0
（2）
得x=2
x+2≠0
x 2 ∴当x=2时，分式 x 2 的值为0
（3）
3-∣x∣=0 得x=-3
（x-3)(x+1)≠0
∴当x=-3时，分式
的值为0
(x
3 x 3)(x

1)
（4）你能独立完成吗？
1.下列分式中，当x取什么值时，分式有意义？当x取什么值时，分
式的值等于零？
以前用字母表示数量关系是整式，以后表示数 量关系的式子可以是分式。
无意义，则a＝
，
x2

5x

a
8. (2013年南京)使式子 1 1 有意义的x的取值范围是
。
x 1
9. (2013•钦州）当x=
时，分式 3 无意义．
x2
10. (2013年深圳市)分式
A.x=-2
B.x=±2
的值为0，则（
）
C.x=2
D.x=0
11. （2012浙江温州）若代数式 2 1 的值为零，则x= . x 1
A． x>-3
B．x<-3
C．x≠-3
D．x≥-3
1
2. （2009，丽水）当x
时，分式 没有意义．
x
1
3.（2009，常德）要使分式 （）
x
1
有意义，则x应满足的条件是
A．x≠1 B．x≠-1 C．x≠0 D．x>1
4.（2010，河池）要使分式 2 x 有意义，则x须满足的条件为
．
3 x x2 1