旧教材适用2023高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单逻辑联结词全称量词与存在量词

第3讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“□01∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“□02∃”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：□03∀x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：□04∃x0∈M，p(x0)．
2．含有一个量词的命题的否定
命题命题的否定
∀x∈M，p(x)□05∃x
0∈M，¬p(x0)
∃x0∈M，p(x0)□06∀x∈M，¬p(x)
1．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判定
p q p∧q p∨q ¬p
真真真真假
真假假真假
假真假真真
假假假假真
2．确定p∧q，p∨q，¬p真假的记忆口诀如下：p∧q→见假即假，p∨q→见真即真，p 与¬p→真假相反．
3．“p∨q”的否定是“(¬p)∧(¬q)”；“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”．
4．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．
5．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．
6．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，否命题是“若¬p，则¬q”．
1．命题p ：“∀x ∈N *
，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
≤12”的否定为( )
A ．∀x ∈N *
，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
>12
B ．∀x ∉N *
，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
>12
C ．∃x 0∉N *
，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0
>12
D ．∃x 0∈N *
，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0
>12
答案 D
解析 全称命题的否定为特称命题，方法是改量词，否结论，故选D.
2．(2022·山西大同摸底)已知命题p ，q ，则“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 B
解析 若¬p 为假命题，则p 为真命题，由于不知道q 的真假性，所以推不出p ∧q 是真命题，所以充分性不成立．p ∧q 是真命题，则p ，q 均为真命题，则¬p 为假命题，所以必要性成立．所以“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的必要不充分条件．
3．若命题“∃x 0∈R ，x 2
0＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，3] B ．(－1，3)
C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D
解析 因为命题“∃x 0∈R ，x 2
0＋(a －1)x 0＋1<0”等价于“x 2
＋(a －1)x ＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a －1)2
－4>0，即a 2
－2a －3>0，解得a <－1或a >3.
4．(2021·云南丽江模拟)命题p ：甲的数学成绩不低于100分，命题q ：乙的数学成绩低于100分，则p ∨(¬q )表示( )
A ．甲、乙两人数学成绩都低于100分
B ．甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分
C ．甲、乙两人数学成绩都不低于100分
D ．甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分 答案 D
解析 因为命题q ：乙的数学成绩低于100分，所以命题¬q 表示乙的数学成绩不低于100分，所以命题p ∨(¬q )表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分．故选D.
5．设有下面四个命题：
p 1：∃n 0∈N ，n 2
0>2n 0；
p 2：x ∈R ，“x >1”是“x >2”的充分不必要条件；
p 3：命题“若x －31
2
是有理数，则x 是无理数”的逆否命题；
p 4：若“p ∨q ”是真命题，则p 一定是真命题．
其中为真命题的是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 2，p 4 D ．p 1，p 3 答案 D
解析 ∵n 0＝3时，32
>23
，∴∃n 0∈N ，n 2
0>2n 0，∴p 1为真命题；∵(2，＋∞)
(1，＋∞)，
∴x >2能推出x >1，x >1不能推出x >2，“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，∴p 2是假命题；根据逆否命题的定义可知p 3为真命题．根据复合命题的真假判断法则可知p 4为假命题．故选D.
6．已知命题p ：不等式ax 2
＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0，4)，命题q ：“x 2
－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )
A ．p ∧q
B ．p ∧(¬q )
C ．(¬p )∧(¬q )
D ．(¬p )∧q
答案 D
解析 命题p ：a ＝0时，可得1>0恒成立；a ≠0时，可得⎩
⎪⎨⎪⎧a >0，
Δ＝a 2
－4a <0，解得0<a <4.综上，可得实数a ∈[0，4)，因此p 是假命题，则¬p 是真命题；命题q ：由x 2
－2x －8>0解得x >4或x <－2.因此“x 2
－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，是真命题，故(¬p )∧q 是真命题．故选D.
考向一 含有逻辑联结词命题真假的判断 例1 (2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：
p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .
则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①p 1∧p 4，②p 1∧p 2，③¬p 2∨p 3，④¬p 3∨¬p 4. 答案 ①③④
解析 对于命题p 1，可设l 1与l 2相交，这两条直线确定的平面为α，设l 3与l 1，l 2的交点分别为A ，B (如图)，则A ∈α，B ∈α，所以AB ⊂α，即l 3⊂α，命题p 1为真命题；
对于命题p 2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p 2为假命题； 对于命题p 3，空间中两条直线的位置关系有相交、平行或异面，命题p 3为假命题； 对于命题p 4，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，因为l ⊂平面α，所以m ⊥l ，命题p 4为真命题.
综上可知，p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，¬p 2∨p 3为真命题，¬p 3∨¬p 4为真命题．
判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤
(1)定结构：先判断复合命题的结构形式．
(2)辨真假：判断构成这个命题的每一个简单命题的真假性．
(3)下结论：依据“有真或为真，有假且为假，p 和¬p 真假相反”，作出判断．
1.设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π
2
；命题q ：函数y ＝cos x
的图象关于直线x ＝π
2
对称，则下列判断正确的是 ．
①p 为真；②¬q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真；⑤(¬p )∧(¬q )为真；⑥¬(p ∨q )为真． 答案 ③⑤⑥
解析 p ，q 均为假，故p ∧q 为假，p ∨q 为假，(¬p )∧(¬q )为真，¬(p ∨q )为真．
精准设计考向，多角度探究突破 考向二 全称命题、特称命题 角度
全称命题、特称命题的否定
例2 (1)(2021·安徽合肥质检)设命题p ：∀x ∈R ，x 2
－x ＋1>0，则¬p 为( )
A.∃x0∈R，x2
－x0＋1>0
B．∀x∈R，x2－x＋1≤0
C．∃x0∈R，x2
－x0＋1≤0
D．∀x∈R，x2－x＋1<0
答案 C
解析全称命题的否定是特称命题，同时否定结论．故选C.
(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
答案 B
解析根据特称命题的否定为全称命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．
一般地，写含有一个量词的命题的否定，先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论．如果所给命题中省去了量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定．
2.(2022·西安模拟)命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则¬p为( )
A．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解
B．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解
C．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解
D．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解
答案 C
解析根据全称命题的否定可知，¬p为∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解．故选C.
3．命题“奇数的立方是奇数”的否定是．
答案存在一个奇数，它的立方不是奇数
解析此命题隐含了全称量词“所有”，故否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”．
角度全称命题、特称命题真假的判断
例3 以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A ．锐角三角形有一个内角是钝角
B ．至少有一个实数x 0，使x 2
0≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x 0，使1
x 0
>2
答案 B
解析 选项A 中，锐角三角形的所有内角都是锐角，所以A 是假命题；选项B 中，当x 0
＝0时，x 2
0＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；选项C 中，因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；选项D 中，对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1
x
>2，所以D 是假
命题．故选B.
全称命题与特称命题真假性的两种判断方法
不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．
命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题
真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题
真 存在一个对象使命题真 否定为假 假
所有对象使命题假
否定为真
4.(2021·江西师大附中模拟)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则
下列命题一定为真命题的是( )
A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )
B ．∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x )
C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)
D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0) 答案 C
解析 设命题p ：∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )，∵f (x )不是偶函数，∴p 是假命题，则¬p 是真命题，又¬p ：∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)，故选C.
考向三 利用复合命题的真假求参数范围
例4 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x
”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 2
0＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )
A ．[1，4]
B ．[1，e]
C ．[e ，4]
D ．[4，＋∞) 答案 C
解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0，1]，a ≥e x
，得a ≥e ；由∃x 0∈R ，使x 2
0＋4x 0＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数
a 的取值范围为[e ，4].故选C.
(2)命题p ：实数a 满足a 2
＋a －6≥0；命题q ：函数y ＝ax 2
－ax ＋1的定义域为R .若命题p ∧q 为假，p ∨q 为真，则实数a 的取值范围为 ．
答案 (－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞)
解析 当命题p 为真时，即a 2
＋a －6≥0，解得a ≥2或a ≤－3；当命题q 为真时，可得
ax
2
－ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，若a ＝0，则满足题意；若a ≠0，则有⎩
⎪⎨⎪⎧a >0，
Δ＝a 2
－4a ≤0，解得0<a ≤4，∴0≤a ≤4.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴“p 真q 假”或“p 假q 真”，①当p 真q
假时，则⎩
⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－3，
a >4或a <0，∴a >4或a ≤－3；②当
p 假q
真时，则⎩
⎪⎨⎪⎧－3<a <2，
0≤a ≤4，∴0≤a <2.
综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞).
根据命题真假求参数的方法步骤
(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况，本例(2)中有两种情况).
(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围． (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.
5.设命题p ：函数f (x )＝x 3
－ax －1在区间[－1，1]上单调递减；命题q ：
函数y ＝ln (x 2
＋ax ＋1)的值域是R .如果命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，3]
B ．(－∞，－2]∪[2，3)
C ．(2，3]
D ．[3，＋∞)
答案 B
解析 由函数f (x )＝x 3
－ax －1在区间[－1，1]上单调递减，得f ′(x )＝3x 2
－a ≤0在[－1，1]上恒成立，故a ≥(3x 2
)max ＝3，即a ≥3；由函数y ＝ln (x 2
＋ax ＋1)的值域是R ，得x
2
＋ax ＋1能取到全体正数，故Δ＝a 2
－4≥0，解得a ≤－2或a ≥2.因为命题p ∨q 为真命题，
p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假．当p 真q 假时，可得{a |a ≥3}∩{a |－2<a <2}＝∅；当p 假q 真时，可得{a |a <3}∩{a |a ≤－2或a ≥2}＝{a |a ≤－2或2≤a <3}．因此实数a 的取值
范围是(－∞，－2]∪[2，3).故选B.
1．(2021·山西阳泉高三阶段考试)设A 是奇数集，B 是偶数集，则命题“∀x ∈A ，2x ∉B ”
的否定是( )
A．∃x0∈A，2x0∈B B．∃x0∉A，2x0∈B
C．∀x∉A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B
答案 A
解析“∀x∈A，2x∉B”即“所有x∈A，都有2x∉B”，它的否定应该是“存在x0∈A，使2x0∈B”，所以正确选项为A.
2．下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R，e x－1>0
B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x0∈R，ln x0<1
D．∃x0∈R，tan x0＝2
答案 B
解析因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题，故选B.
3．命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是( )
A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0
B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0
C．∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0
D．∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0
答案 D
解析根据全称命题与特称命题互为否定的关系可得，命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”．故选D.
4．(2022·江西南昌摸底)下列命题的否定是真命题的是( )
A．有些实数的绝对值是正数
B．所有平行四边形都不是菱形
C．任意两个等边三角形都是相似的
D．3是方程x2－9＝0的一个根
答案 B
解析若命题的否定是真命题，则原命题是假命题，显然A，C，D是真命题，B是假命题．故选B.
5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )
A．∀x∈Q，有x∈P
B．∀x∉Q，有x∉P
C．∃x0∉Q，使得x0∈P
D．∃x0∈P，使得x0∉Q
答案 B
解析因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以∀x∉Q，有x∉P，故选B.
6．(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．¬p∧q
C．p∧¬q D．¬(p∨q)
答案 A
解析因为命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧q为真命题．故选A.
7．关于命题“当m∈[1，2]时，方程x2－2x＋m＝0没有实数解”，下列说法正确的是( ) A．是全称命题，假命题
B．是全称命题，真命题
C．是特称命题，假命题
D．是特称命题，真命题
答案 A
解析原命题的含义是“对于任意m∈[1，2]，方程x2－2x＋m＝0都没有实数解”，但当m＝1时，方程有实数解x＝1，故命题是全称命题，假命题，所以A正确．8．(2022·四川南充月考)下列命题中，是真命题的全称命题的是( )
A．对于实数a，b∈R，有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．梯形两条对角线相等
C．有小于1的自然数
D．函数y＝kx＋1的图象过定点(0，1)
答案 D
解析选项A是全称命题，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是特称命题；D项，对于所有k∈R，函数y＝kx ＋1的图象过定点(0，1)，所以正确选项为D.
9．(2021·河南济源、平顶山、许昌第二次质检)已知直线m，n和平面α，β.
命题p：若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与直线n平行或异面；
命题q：若m∥α，α∥β，则m∥β；
命题s：若α⊥β，α∩β＝m，在平面α内作直线m的垂线n，则n⊥β.
则下列为真命题的是( )
A．p∨(¬q) B．(¬p)∧s
C．q∧(¬s) D．(¬p)∧(¬q)
答案 A
解析若α∥β，m⊂α，n⊂β，由于平面α与平面β没有交点，所以直线m与直线
n 平行或异面，即命题p 是真命题；若m ∥α，α∥β，则m ∥β或m ⊂β，即命题q 是假命
题；若α⊥β，α∩β＝m ，在平面α内作直线m 的垂线n ，由面面垂直的性质定理，得n ⊥β，命题s 是真命题．对于A ，p ∨(¬q )是真命题；对于B ，p 是真命题，则¬p 是假命题，s 是真命题，则(¬p )∧s 是假命题；对于C ，s 是真命题，则¬s 是假命题，q 是假命题，则q ∧(¬s )是假命题；对于D ，p 是真命题，则¬p 是假命题，q 是假命题，则¬q 是真命题，则(¬p )∧(¬q )是假命题．故选A.
10．命题p ：若向量a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角；命题q ：若cos αcos β＝1，则sin (α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( )
A ．p
B ．¬q
C ．p ∧q
D ．p ∨q
答案 D
解析 若a ，b 共线且方向相反时，a ·b <0，但a 与b 夹角为π，故p 是假命题．若cos
α·cos β＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝1，cos β＝1或⎩
⎪⎨⎪⎧cos α＝－1，cos β＝－1，∴sin α＝sin β＝0，∴sin (α＋β)
＝sin αcos β＋cos αsin β＝0，故q 是真命题，∴p ，¬q ，p ∧q 均为假命题，p ∨q 为真命题，故选D.
11．短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一～六名)，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，(¬q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( )
A ．甲第一、乙第二、丙第三
B ．甲第二、乙第一、丙第三
C ．甲第一、乙第三、丙第二
D ．甲第一、乙没得第二名、丙第三 答案 D
解析 (¬q )∧r 是真命题意味着¬q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；
p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于
还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名．故选D.
12．(2022·甘肃兰州模拟)已知f (x )＝ln (x 2
＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
－m ，若∀x 1∈[0，3]，
∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )
A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞
B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14
C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞
D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 答案 A
解析 当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝1
4
－m ，由
f (x )min ≥
g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14
.故选A.
13．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x
，命题q ：∃x 0∈R ，x 2
0＝2－x 0，则下述命题中所有真命题的序号是 ．
①p ∧q ；②(¬p )∧q ；③p ∨(¬q )；④(¬p )∨(¬q ). 答案 ②④
解析 当x <0时，2x
>3x
，所以命题p 为假命题．解x 2
＝2－x ，得x ＝－2或1，所以命题
q 为真命题．所以p ∧q ，p ∨(¬q )为假命题，(¬p )∧q ，(¬p )∨(¬q )为真命题．
14．若命题：“∃x 0∈R ，使得3x 2
0＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是 ．
答案 [－3，3]
解析 命题“∃x 0∈R ，使得3x 2
0＋2ax 0＋1<0”是假命题，即“∀x ∈R ，3x 2
＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2
－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.即实数a 的取值范围为[－3，3].
15．(2022·四川绵阳中学模拟)已知命题p ：∃x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，cos 2x ＋cos x －m ＝0为真
命题，则实数m 的取值范围是 ．
答案 [－1，2]
解析 cos 2x ＋cos x －m ＝0可变形为cos 2x ＋cos x ＝m .令f (x )＝cos 2x ＋cos x ，则f (x )＝2cos 2x ＋cos x －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋142
－98.由于x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1].于是f (x )∈[－1，2].故实数m 的取值范围是[－1，2].
16．(2021·南昌一中模拟)已知命题p ：关于x 的方程x 2
－mx －2＝0在[0，1]上有解；命题q ：f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2
－2mx ＋12在[1，＋∞)上单调递增．若“¬p ”为真命题，“p ∨q ”为真
命题，则实数m 的取值范围为 ．
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，34
解析 对于命题p ：令g (x )＝x 2
－mx －2，则g (0)＝－2，∴g (1)＝－m －1≥0，解得m ≤
－1，故命题p 为真命题时，m ≤－1.∴¬p 为真命题时，m >－1.对于命题q ：⎩
⎪⎨⎪
⎧m ≤1，1－2m ＋1
2＞0， 解得m <34.又由题意可得p 假q 真，∴－1<m <34，即实数m 的取值范围为⎝
⎛⎭⎪⎫－1，34.
17．(2022·江西上饶高三摸底)已知m ∈R ，设p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2
＋8m －2≥0成立；q ：∃x 0∈[1，2]，log 12(x 2
0－mx 0＋1)<－1成立．如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，
求实数m 的取值范围．
解 若p 为真，则∀x ∈[－1，1]，4m 2
－8m ≤x 2
－2x －2恒成立． 设f (x )＝x 2
－2x －2，配方得
f (x )＝(x －1)2－3，
∴f (x )在[－1，1]上的最小值为－3， ∴4m 2
－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，
∴p 为真时，12≤m ≤3
2
.
若q 为真，则∃x 0∈[1，2]，x 2
0－mx 0＋1>2成立，即m <x 2
0－1
x 0
成立．
设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x ，则g (x )在[1，2]上是增函数，∴g (x )的最大值为g (2)＝3
2
，
∴m <32，∴q 为真时，m <3
2
.
∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假. 当p 真q 假时，⎩
⎪⎨⎪⎧12≤m ≤3
2，m ≥3
2
，∴m ＝3
2；
当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <12或m >32，m <3
2，
∴m <1
2.
综上所述，实数m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫
m ⎪⎪⎪m <12
或m ＝32.
18．已知函数f (x )＝－(x －2m )(x ＋m ＋3)(其中m <－1)，g (x )＝2x
－2.设命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，f (x )<0或g (x )<0；命题q ：∃x 0∈(－1，0)，f (x 0)·g (x 0)<0.若p ∧q 是真命题，求m 的取值范围．
解 ∵p ∧q 是真命题，∴p 与q 都是真命题． 当x >1时，g (x )＝2x
－2>0， 又p 是真命题，则f (x )<0. ∵m <－1，∴2m <－m －3，
∴f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}，
∴－m－3≤1，解得m≥－4；
当－1<x<0时，g(x)＝2x－2<0.
∵q是真命题，则∃x0∈(－1，0)，使得f(x0)>0，由f(x0)>0得2m<x0<－m－3，
则(2m，－m－3)∩(－1，0)≠∅，
又m<－1，∴2m<－2，∴－m－3>－1，解得m<－2. ∴若p∧q是真命题，m的取值范围是－4≤m<－2.。