2.1 合理推理与演绎推理

f (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx) = − x 2 + 2 x 在 [1，+∞)上是减函数。 ∴ 函数
【点评与感悟】演绎推理是证明数学问题的基本推 点评与感悟】 理形式，因此在高考中经常出现，三段论推理是演绎 推理的一种重要的推理形式，是由一般到特殊的推理， 在前提真实并且推理形式正确的前提下，其结论就必 然真实。
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类比推理
(2009清远市模拟文 清远市模拟文)在 ∆ABC中，若 清远市模拟文 BC ⊥ AC, AC = b, BC = a ，则 ∆ABC 的外接圆半径
a +b r= 2
2
2
。将此结论拓展到空间，可得出的正确
结论是：在四面体
S − ABC
中，若
SA、SB、SC
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观察下列两式：
①
tan 10 0 ⋅ tan 20 0 + tan 20 0 ⋅ tan 60 0 + tan 60 0 ⋅ tan 10 0 = 1
② tan 5 0 ⋅ tan 10 0 + tan 10 0 ⋅ tan 75 0 + tan 75 0 ⋅ tan 5 0 = 1
两两垂直， SA = a , SB = b, SC = c ，则四面体 S 1 2 a + b2 + c2 的外接球半径 R = ____________． 3
− ABC
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【点评与感悟 点评与感悟】关于空间问题与平面问题的类比，通常 点评与感悟 可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 体积 面积 多边形； 线 面积； 二面角 线段长 ； … … 点 面 平面角 边
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归纳推理
平面内的１条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平 面分成4部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，则 n条彼此相交而无三条共点的直线，可把平面分成多少部分？
【思路分析 思路分析】可通过画当直线条数n为3，4，5时，分别计算出 思路分析 它们将平面分成的区域数 S n ，从中发现规律，再归纳出结论。
分析上面的两式的共同特点，写出反映一般规律的 等式，并证明你的结论。
.
【剖 析】由题设中的两式中的角度可以看出，这两个 剖 三角式中三个角的和均为900，且为轮换等式，从而可 以作出猜想。
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【解析 解析】推广结论：若 α + β + γ = 90 0 ，则 解析
tan α ⋅ tan β + tan β ⋅ tan γ + tan γ ⋅ tan α = 1
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(2). 类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这 些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的 推理，类比推理简称类比。
三. 演绎推理
⑴从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结 论。简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。 ⑵三段论是演绎推理的一般模式，它包括： ①大前提---已知的一般原理； ②小前提---所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。
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证明：任取 x1 , x2 ∈ [1，+∞)，且 x1 < x2 ，则 证明
f ( x1 ) − f ( x2 ) = ( x2 − x1 )( x1 + x2 − 2)
, ,
∵ x1 ≥ 1, x2 > 1,∴ x1 + x2 > 2 ,
∴ f ( x1 ) − f ( x2 ) = ( x2 − x1 )( x1 + x2 − 2) > 0
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2.1 合情推理与演绎推理
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推理的概念：根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判 一. 推理的概念 断，这种思维方式叫做推理。从结构上说，推理一般由两部分 组成，一部分是已知的事实（或假设）叫做前提，一部分是由 已知推出的判断，叫做结论。 二. 合情推理 合情推理:根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想， 在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理称为合情推理。 合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类。 (1).归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类 事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一 般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、个别到一般 的推理，归纳推理简称归纳。
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演绎推理
证明：函数 f ( x) = − x 2 + 2 x 在 [1，+∞)上是减函数。 【思路分析 思路分析】证明本题的大前提是减函数的定义， 思路分析 即函数 f ( x) = − x 2 + 2 x 满足:在给定的区间内任取 自变量的两个值 x1 , x2 ( x1 < x2 ) 恒有 f ( x1 ) > f ( x2 ) ， 小前提是函数 f ( x) = − x 2 + 2 x ， x∈ [1，+∞)满足 减函数的定义。
tan(α + β ) = tan(90 0 − γ ) 证明如下：由α + β = 90 − γ ，得
0
即
tan α + tan β 1 0 =. tan(90 − γ ) = 1 − tan α tan β tan γ
，所以
tan β tan γ + tan γ tan α = 1 − tan α tan β
【解析 解析】设平面被n条直线分成 S n 部分，则 当n=1时， 解析 S 1 =1＋1=2； 当n=2时， S 2 =1＋1＋2=4； 当n=3时，
S3 =1＋1＋2＋3=7；当n=4时，
S 4 =1＋1＋2＋3＋4=11．据此猜想，得
．
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【点评与感悟 点评与感悟】本题是由部分到整体的推理， 点评与感悟 先把部分的情况都写出来，然后寻找规律， 概括出整体的情况．
即 tan α ⋅ tan β + tan β ⋅ tan γ + tan γ ⋅ tan α = 1
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【点评与感悟 点评与感悟】要推广出结论，需要对已知等式①与② 点评与感悟 的特征进行归纳。归纳是指通过对特例的分析来引出普 遍结论的一种推理形式，它由推理的前提和结论两部分 组成；前提是若干个已知事实，是个别或特殊的判断、 陈述，结论是从前提中通过推理而获得的猜想，是普遍 性的陈述、判断。归纳分为完全归纳与不完全归纳，不 完全归纳是指没有办法穷尽全部被研究的对象，得出的 结论只能算猜想结论的正确与否有待于进一步证明或举 出反例。