【小初高学习]2018年高中数学 黄金100题系列 第67题 立体几何中的最值问题 理

第67题 立体几何中的最值问题

I ．题源探究·黄金母题

【例1】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3

）的最大值为

_______.

【答案】【解析】如下图，设正三角形的边长为x ，

则13OG =

=.

∴5FG SG ==，

SO h ==

= ∴三棱锥的体积

21133ABC V S h ∆=⋅=

=

令(

)45

5n x x =-， 则(

)34

'20n x x =-

，令()'0n x =

，4

340x =

，x =

max 48V =

=

【名师点睛】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性

质进行解决，当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.

II ．考场精彩·真题回放

【例2】【2015新课标2理9】已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ）

A.36π

B. 64π

C.144π

D. 256π 【答案】C

【解析】分析：设球的半径为R ,则△AOB 面积为

2

12

R ,三棱锥O ABC - 体积最大时,C 到平面AOB 距

离最大且为R ,此时

3

13666

V R R =

=⇒=

,所以球O 的表面积24π144πS R ==.故选C.

【方法点睛】由于三棱锥O ABC -底面AOB 面积为定值,故高最大时体积最大,本题就是利用此结论求球的半径,然后再求出球O 的表面积,由于球与几何体的切接问题能很好的考查空间想象能力,使得这类问题一直是高考中的热点及难点,提醒考生要加强此方面的训练.

【例3】【2016高考浙江】如图，已知平面四边形ABCD ，

AB =BC =3，CD =1

，AD ∠ADC =90°．沿直线AC 将△ACD

翻折成△CD 'A ，直线AC 与D '

B 所成角的余弦的最大值是______．

【解析】分析：设直线AC 与'BD 所成角为θ． 设O 是

AC 中点，由已知得AC =，如图，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z

轴，

建立空间直角坐标系，由A

，

B ，(0,

C ，作

D H AC ⊥于H ，翻折过程中，'D H 始终与AC 垂直，

2

6CD CH CA =

==

，

则OH =

DH ==

因此可设,)D αα，

则')BD αα=uuu r ， 与CA uu r

平行的单位向量为(0,1,0)n =r ，

所以cos cos ',BD n θ=<>uuu r r ''BD n

BD n ⋅=uuu r r

uuu r

r ＝

cos 1α=时， cos θ

C

【点睛】先建立空间直角坐标系，再计算与C A 平行的单位向量n 和D 'B ，进而可得直线C A 与D 'B 所成角的余弦值，最后利用三角函数的

性质可得直线C A 与D 'B 所成角的余弦值的最大值． 【例4】【2014课标Ⅰ理12】如图，网格纸上小

正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长

度为（ ）

（A

）（B ）6 （C

） （D ）4

【答案】Ｂ

【解析】由正视图、侧视图、俯视图形状，可判断该几何体为四面体，且四面体的长、宽、高均为4个单位，故可考虑置于棱长为4个单位的正方体中研究，如图所示，该四面体为D ABC -，且4AB BC ==

,AC =

, DB DC ==

6DA ==，故最长的

棱长为6，选B ．

【名师点睛】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值

问题，考查了考生的识图能力以及由三视图还原物体的空间想象能力。

【例5】【 2014湖南理7】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图

,侧视图,俯视图的内切圆半径最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则

862r r r -+-⇒=,故选B.

【例6】【2016高考新课标Ⅲ理数】在封闭的直三

棱柱

111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若 AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ） （A ）4π （B ）92π （C ）6π （D ）323

π

【答案】B

【解析】分析：要使球的体积V 最大，必须球的

半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底 面都相切时，球的半径取得最大值

3

2

，此时球的 体积为334439

()3322

R πππ=

=，故选B ． 【名师点睛】立体几何是的最值问题通常有三种 思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态 为静态，直观判 断在什么情况下取得最值； （2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几 何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的 最值来求解．

【例7】【2016高考浙江理数】如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .