【小初高学习]2018年高中数学 黄金100题系列 第67题 立体几何中的最值问题 理

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第67题 立体几何中的最值问题

I .题源探究·黄金母题

【例1】如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5 cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D 、E 、F 为圆O 上的点,△DBC ,△ECA ,△FAB 分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA ,△FAB ,使得D 、E 、F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3

)的最大值为

_______.

【答案】【解析】如下图,设正三角形的边长为x ,

则13OG =

=.

∴5FG SG ==,

SO h ==

= ∴三棱锥的体积

21133ABC V S h ∆=⋅=

=

令(

)45

5n x x =-, 则(

)34

'20n x x =-

,令()'0n x =

,4

340x =

,x =

max 48V =

=

【名师点睛】对于三棱锥最值问题,肯定需要用到函数的思想进行解决,本题解决的关键是设好未知量,利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性

质进行解决,当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.

II .考场精彩·真题回放

【例2】【2015新课标2理9】已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为( )

A.36π

B. 64π

C.144π

D. 256π 【答案】C

【解析】分析:设球的半径为R ,则△AOB 面积为

2

12

R ,三棱锥O ABC - 体积最大时,C 到平面AOB 距

离最大且为R ,此时

3

13666

V R R =

=⇒=

,所以球O 的表面积24π144πS R ==.故选C.

【方法点睛】由于三棱锥O ABC -底面AOB 面积为定值,故高最大时体积最大,本题就是利用此结论求球的半径,然后再求出球O 的表面积,由于球与几何体的切接问题能很好的考查空间想象能力,使得这类问题一直是高考中的热点及难点,提醒考生要加强此方面的训练.

【例3】【2016高考浙江】如图,已知平面四边形ABCD ,

AB =BC =3,CD =1

,AD ∠ADC =90°.沿直线AC 将△ACD

翻折成△CD 'A ,直线AC 与D '

B 所成角的余弦的最大值是______.

【解析】分析:设直线AC 与'BD 所成角为θ. 设O 是

AC 中点,由已知得AC =,如图,以OB 为x 轴,OA 为y 轴,过O 与平面ABC 垂直的直线为z

轴,

建立空间直角坐标系,由A

B ,(0,

C ,作

D H AC ⊥于H ,翻折过程中,'D H 始终与AC 垂直,

2

6CD CH CA =

==

则OH =

DH ==

因此可设,)D αα,

则')BD αα=uuu r , 与CA uu r

平行的单位向量为(0,1,0)n =r ,

所以cos cos ',BD n θ=<>uuu r r ''BD n

BD n ⋅=uuu r r

uuu r

r =

cos 1α=时, cos θ

C

【点睛】先建立空间直角坐标系,再计算与C A 平行的单位向量n 和D 'B ,进而可得直线C A 与D 'B 所成角的余弦值,最后利用三角函数的

性质可得直线C A 与D 'B 所成角的余弦值的最大值. 【例4】【2014课标Ⅰ理12】如图,网格纸上小

正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长

度为( )

(A

)(B )6 (C

) (D )4

【答案】B

【解析】由正视图、侧视图、俯视图形状,可判断该几何体为四面体,且四面体的长、宽、高均为4个单位,故可考虑置于棱长为4个单位的正方体中研究,如图所示,该四面体为D ABC -,且4AB BC ==

,AC =

, DB DC ==

6DA ==,故最长的

棱长为6,选B .

【名师点睛】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值

问题,考查了考生的识图能力以及由三视图还原物体的空间想象能力。

【例5】【 2014湖南理7】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示,将石材切削、打磨、加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图

,侧视图,俯视图的内切圆半径最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则

862r r r -+-⇒=,故选B.

【例6】【2016高考新课标Ⅲ理数】在封闭的直三

棱柱

111ABC A B C -内有一个体积为V 的球,若 AB BC ⊥,6AB =,8BC =,13AA =,则V 的最大值是( ) (A )4π (B )92π (C )6π (D )323

π

【答案】B

【解析】分析:要使球的体积V 最大,必须球的

半径R 最大.由题意知球的与直三棱柱的上下底 面都相切时,球的半径取得最大值

3

2

,此时球的 体积为334439

()3322

R πππ=

=,故选B . 【名师点睛】立体几何是的最值问题通常有三种 思考方向:(1)根据几何体的结构特征,变动态 为静态,直观判 断在什么情况下取得最值; (2)将几何体平面化,如利用展开图,在平面几 何图中直观求解;(3)建立函数,通过求函数的 最值来求解.

【例7】【2016高考浙江理数】如图,在△ABC 中,AB =BC =2,∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ,满足PD =DA ,PB =BA ,则四面体PBCD 的体积的最大值是 .

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