【小初高学习]2018年高中数学 黄金100题系列 第67题 立体几何中的最值问题 理

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第67题 立体几何中的最值问题
I．题源探究·黄金母题
【例1】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸
片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，
△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰
三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起
△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.
当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的
最大值为_______.

【答案】415
【解析】如下图，设正三角形的边长为x，
则1332OGx36x.356FGSGx，
22
22
33

566SOhSGGOxx






3
553







三棱锥的体积

2
1133
553343ABCVShxx






45
153
5123xx
.令45353nxxx，

则3453'203nxxx，令'0nx，43403xx ，
43x
，max75485441512V.

【名师点睛】对于三棱锥最值问题，肯定需要用
到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好
未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积
中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性
质进行解决，当变量是高次时需要用到求导得方
式进行解决.

II．考场精彩·真题回放
【例2】【2015新课标2理9】已知BA,是球
O

的球面上两点,90AOB,C为该球面上的
动点.若三棱锥ABCO体积的最大值为36,则
球O的表面积为（ ）

A.36π B. 64π C.144π D. 256π
【答案】C
【解析】分析：设球的半径为R,则△AOB面积为
2
1
2
R
,三棱锥OABC 体积最大时,C到平面

AOB距离最大且为R
,此时

3
1
3666VRR
,所以球O的表面积

2
4π144πSR
.故选C.
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B
O
A

C

【方法点睛】由于三棱锥OABC底面AOB面积为定值,
故高最大时体积最大,本题就是利用此结论求球的半径,然
后再求出球O的表面积,由于球与几何体的切接问题能很
好的考查空间想象能力,使得这类问题一直是高考中的热
点及难点,提醒考生要加强此方面的训练.
【例3】【2016高考浙江】如图，已知平面四边形ABCD，

AB=BC=3，CD=1，AD=5，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD
翻折成△CD，直线AC与D所成角的余弦的最大值
是______．

【答案】69
【解析】分析：设直线AC与'BD所成角为．
设O是AC中点，由已知得6AC，如图，以OB为
x
轴，OA为y轴，过O与平面ABC垂直的直线为z轴，

建立空间直角坐标系，由6(0,,0)2A，30(,0,0)2B，
6
(0,,0)2C
，作DHAC于H，翻折过程中，
'DH

始终与AC垂直， 21666CDCHCA，

则63OH，153066DH，
因此可设30630'(cos,,sin)636D，
则3030630'(cos,,sin)6236BDuuur，
与CAuur平行的单位向量为(0,1,0)nr，
所以coscos',BDnuuurr''BDnBDnuuurruuurr＝
6
3
95cos
，所以cos1时，

cos

取最大值69．

H
D'
D

C

B
Azy

x
O

【点睛】先建立空间直角坐标系，再计算与
C
平行的单位向量n和D，进而可得直线
C
与D所成角的余弦值，最后利用三角函数的
性质可得直线C与D所成角的余弦值的最
大值．
【例4】【2014课标Ⅰ理12】如图，网格纸上小
正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的
三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长
度为（ ）
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（A）62 （B）6 （C）62 （D）4

【答案】Ｂ
【解析】由正视图、侧视图、俯视图形状，可判断该几何
体为四面体，且四面体的长、宽、高均为4个单位，故可
考虑置于棱长为4个单位的正方体中研究，如图所示，该

四面体为DABC，且4ABBC,42AC
, 25DBDC, 2(42)46DA，故最长的
棱长为6，选B．
4

C
A

B

D
【名师点睛】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了考生的识图能力以及由三视图还原物体的空间想象能力。 【例5】【 2014湖南理7】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图,侧视图,俯视图的内切圆半径最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r,则2286862rrr,故选B. 【例6】【2016高考新课标Ⅲ理数】在封闭的直三棱柱 111ABCABC内有一个体积为V的球，若 ABBC，6AB，8BC，13AA，则V 的最大值是（ ） （A）4π （B）92 （C）6π （D）323 【答案】B 【解析】分析：要使球的体积V最大，必须球的 半径R最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底 面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的 体积为334439()3322R，故选B． 【名师点睛】立体几何是的最值问题通常有三种
思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态
为静态，直观判 断在什么情况下取得最值；
（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几
何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的
最值来求解．

【例7】【2016高考浙江理数】如图，在△
ABC
中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点
P
和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面
体PBCD的体积的最大值是 .
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【答案】12
【解析】ABC中，因为2,120ABBCABC，
所以30BADBCA.由余弦定理可得
222
2cosACABBCABBCB

22
22222cos12012
，所以23AC.

设ADx，则023t，23DCx.
在ABD中，由余弦定理可得
222
2cosBDADABADABA

22
222cos30xx
2

234xx
.

故2234BDxx.在PBD中，PDADx，
2PBBA
.由余弦定理可得

222222
2(234)3cos2222PDPBBDxxxBPDPDPBx





，所以30BPD.

E
D
C

B
A

P

过P作直线BD的垂线，垂足为O.设POd
则11sin22PBDSBDdPDPBBPD，
即2112342sin3022xxdx，

解得2234xdxx.而BCD的面积
111
sin(23)2sin30(23222SCDBCBCDx

.设PO与平面ABC所成角为，则点P到平面
ABC的距离sinhd.故四面体PBCD
的体

积
11111
sin(2333332BcDBcDBcDVShSdSd

2
1(23)6234xxxx



.

设22234(3)1txxx，
因为023x，所以12t.
则2|3|1xt.
（1）当03x时，
有2|3|31xxt，
故231xt.此时，
22
1(31)[23(31)]6ttVt



2
1414()66tttt


.

2
14
()(1)6Vtt
，因为12t，

所以()0Vt，函数()Vt在[1,2]上单调递减，
故141()(1)(1)612VtV.
（2）当323x时，
有2|3|31xxt，
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故231xt.此时，
22
1(31)[23(31)]6ttVt



2
1414()66tttt


.

由（1）可知，函数()Vt在(1,2]单调递减，故
141
()(1)(1)612VtV
.

综上，四面体PBCD的体积的最大值为12.
【例8】【2015高考福建理18】如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,AB的点，垂直于圆所在的平面，且1． （Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证C平面D； （Ⅱ）求三棱锥PABC体积的最大值； （Ⅲ）若2BC，点E在线段PB上，求CEOE的最小值． DOAPBCE 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13；（Ⅲ）262． 【解析】解法一：（I）在C中，因为C，D 为C的中点，所以CD．又垂直于圆所在的平面，所以C． 因为D，所以C平面D． （II）因为点C在圆上， 所以当C时，C到的距离最大，且最大值为1．又2，所以C面积的最大值为12112．又因为三棱锥C的高1，故三棱锥C体积的最大值为111133． （III）在中，1，90，所以22112． 同理C2，所以CC． 在三棱锥C中，将侧面C绕旋转
至平面C，使之与平面共面，如图所示．
当，，C共线时，C取得最小值．
又因为，CC，所以C垂直
平分，即为中点．

从而2626CC222，

亦即C的最小值为262．

O
A
B

P

解法二：（I）、（II）同解法一．
（III）在中，1，
90，所以45
，

22
112

．同理C2．所以

CC
，所以C60．在三棱锥

C中，将侧面C
绕旋转至平面