初探中国古代数学中的微积分思想

有着 光辉灿 烂的数 学 史， 事 实上 中国古代 教 学中也 同样蕴含 着初步 的微 积分 思想．
微积 分的 产 生一般 分 为三 个阶段 ： 极 限概 念 ． 求积 的 无限 小方 法 ， 积 分 与 微 分 的 互
逆 关 系． 最 后一 阶段 是 由牛 顿 、 莱布 尼兹 各 自独 立 完成 的． 对 于前 两个 阶段 的 工作 ， 欧 洲的 大批数 学家甚 至 可一 直追 溯 到 古 希 腊 的 阿基 米德 都 做 出过 不 同的 贡 献． 在这 方
足 下． ” 比喻 事情 的 成功是 由小到 大逐 渐积 累的． 如 果我 们单从 比喻 的 本 身来说 明定 积
分 的 微 元 法 是 再 合 适 不 过 的 了． 这里 面蕴 涵 着深刻 的微 积分 思 想． 立足传 统 文化 ， 将 会 使 我 们 收 获 人 类 文 明 成 果 的 行 程 变得 更 有 意 义 ．
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爷 ， 刊 首 。 ● 一 － Ａ Ⅳ － ● ｓ ， ■ ■ ， ● ●
初 探 中 国 古 代 数 学 中 的 微 积 分 思 想
刻 画静 态现 象的数 与 刻 画动 态现 象的 函数都 是数 学 中非 常重要 的概 念． 随 着对 函 数 研 究 的不 断深 化 ． 产 生了微积 分 ， 它是 数 学 发展 史上 继 欧 氏 几何 后 的 叉一 具 有 划 时
于不 可割 ． 则 与 圆周合体 而无所 失 矣． ” 这 其 中正体 现 了“ 以直 代 曲 、 无 限逼 近 ” 的 微 积
分 的 核 心 思 想．
学． － ｊ 立体 几何 时 ， 我 们 都 知 道球 的 体 积 公 式 、 ／ 球一 ÷ Ｒ。 ． 中 国古代 将 球 称 为 立
３ ． １ ４ １ ５ ９ ２ ６ ＜７ 【 ＜３ ． １ ４ １ ５ ９ ２ ７的 结 果 。 成 为在世 界 上 领 先 １ ０ ０ ０ 多年 的 光 辉 成 就 ． 这
里 所 用 的 方 法 就 是 举 世 闻 名 的 割 圆 术． 刘徽 说 ： “ 割之 弥细 ， 所 失 弥 少； 割之 又割 ， 以 至
面． 古代 中 国并不逊 色于 西方．
如 圆周率 方 面的研 究 成就是 举世 公认 的． 刘 徽 利 用 国 内接 正 多 边 形 的 边 数 趋 于 无 穷 大时 ， 正 多边 形 的 面 积 将 无 限 接 近 于 圆 面 积 的 原 理 ． 创 立 了一 个 符 合“ 极 限 存 在 准
）
圆． 祖 啦所 用的 开 立 圆术是 与求球 体 积有 关 的 一种 方法． 在这一方法中， 祖 啦 指 出“ 夫
迭 幂 成立 积 ． 缘 幂 势既 同 ， 则积 不容 异． ” 用现 在 的 话讲 ， 就是 “ 夹在 两 个平 行 平 面 问 的
两个 几何体 ， 被 平行 于这 两个平 面的任 意 平 面所 截 ， 如 果 截 得 的 两 个 截 面 的 面 积 总 相
０９７
则” 的 不等 式． 他 计 算 了 圆 内接 正 ３ ０ ７ ２边形 面积 ， 得到 丁 ｃ ≈
１ Ｊ
． 化 成 小数 是 ３ ． １ ４ １ ６
１
７ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（ ｆ ＃ － ： 有 学音认 为 刘徽 只算 出 丌 ≈
）
一３ ． １ ４ ） ． 祖 冲之 在此 基 础上进 一 步 精 密地推 算到
弓 月
出来． 庄 子 在 天 下 篇 》 中讲 ： “ 一 尺之棰 ， 日取 其 半 ， 万世 不 竭 ． ” 如 果把 这 句话 和“ 求 数 列ｃ “一 当 ， 一 时的极 限” 联 系起 来 的 话 ， 无不 为古人 深邃 的极 限思想 而折服 ．
老 子在《 道 德经 》 中说 ： “ 合抱 之 木 ， 生于 毫末 ； 九层之 台， 起 于 累土 ； 千 里之行 ， 始 于
代 意 义的伟 大成就 ， 被 誉 为数 学 史上 的里程 啤．
翻 阅微 积 分 教 材 与 介 绍 微 积 分 发 展 史的 著 述 ， 容 易发现 ． 大 多数 定理的 前 面都冠 以 某 某 外 国人 的 名 字 ， 鲜 有 反 映 中华 民 族 对 于 微 积 分 的 形 成 与发 展 作 出 贡 献 的 内容 ． 我国
等． 那 么这 两 个 几 何 体 的 体 积 相 等 ． ” 这里 的“ 幂势 既 同 ， 则积 不 容 异 ” 与 积 分 概 念 的 核
心 思 想是 一致 的． 它比卡 瓦列里 原理要 早 大约 ｌ ２ ０ ０年 ．
数 学是文 化的 一部 分 ． 我 国古代数 学的 微 积 分思 想 同样也 在 哲 学 、 文 学 等 中折 射