2.3一元二次方程及其应用+基础巩固讲练+课件+2024年江西省中考数学总复习

解析 解：(4)x2－6x＝－5， x2－6x＋9＝4， (x－3)2＝4， x－3＝±2， ∴x1＝5，x2＝1.
知识点二 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
根的情况
(1)b2－4ac＞0⇔方程有③ 两个不相等 的实数根； (2)b2－4ac＝0⇔方程有④ 两个相等 的实数根； (3)b2－4ac＜0⇔方程⑤ 没有 实数根
形式，则 a＋b 的值为( B )
A．130
B．73
C．2
D．43
解析 ∵3x2＋6x－1＝0，
∴3x2＋6x＝1，x2＋2x＝13， 则 x2＋2x＋1＝13＋1，即(x＋1)2＝43， ∴a＝1，b＝43，∴a＋b＝73.
4．若关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0没有实数根，则k的值可以是
4．(2021·江西9题3分)已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋3＝0的两根， 则x1＋x2－x1x2＝ 1 ．
解析
∵x1，x2是一元二次方程 x2－4x＋3＝0的两根，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝3， 则x1＋x2－x1x2＝4－3＝1.
5．(2020·江西8题3分)若关于x的一元二次方程x2－kx－2＝0的一个根为x ＝1，则这个一元二次方程的另一个根为 x＝－2 ．
．
解析
∵一元二次方程 x2－4x＋2＝0 的两根为 x1，x2，
∴x21－4x1＝－2，x1x2＝2，
∴x21－4x1＋2x1x2＝－2＋2×2＝2.
一元二次方程的实际应用 7．某商场以每件210元的价格购进一批商品，当每件商品售价为270元 时，每天可售出30件，为迎接“双十一购物节”，商场决定采取适当降 价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就 可以多售出3件． (1)降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
解析 解：(2)移项，得x(x＋4)＋3(x＋4)＝0. 因式分解，得(x＋4)(x＋3)＝0. 于是得x＋4＝0或x＋3＝0， 即x1＝－4，x2＝－3.
(3)3x2－7x＋4＝0.(公式法) 解析 解：(3)a＝3，b＝－7，c＝4.
Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×3×4＝49－48＝1＞0.
考点讲练
一元二次方程的解法 1．用指定的方法解下列方程： (1)x2＋2x－2＝0；(配方法)
解析 解：(1)移项，得 x2＋2x＝2. 配方，得 x2＋2x＋1＝2＋1， (x＋1)2＝3. 由此可得 x＋1＝± 3， 即 x1＝－1＋ 3，x2＝－1－ 3.
(2)x(x＋4)＝－3(x＋4)；(因式分解法)
6．(2023·江西模拟)已知 x1，x2 是方程 x2＋3x－2＝0 的两根，则 x21＋2x1 －x2 的值为 5 ．
解析 ∵x1，x2 是方程 x2＋3x－2＝0 的两根， ∴x21＝2－3x1，x1＋x2＝－3， ∴x21＋2x1－x2＝2－3x1＋2x1－x2 ＝2－x1－x2＝2－(x1＋x2) ＝2－(－3)＝5.
第二章 方程(组)与不等式(组) 第三节 一元二次方程及其应用
知识梳理 知识点一 一元二次方程及解法 1．定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为① 2 的整式方 程． 2．一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0，ax2，bx，c分别叫 做二次项、一次项和常数项，a，b分别为二次项系数、一次项系数).
常见类型
等量关系
设参加游戏的人数为 x，则
循环问题 (1)单循环问题：游戏次数＝12x(x－1)； (2)双循环问题：游戏次数＝x(x－1)
巩固练习
6．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加
酒会的人数为( C )
A．9
B．10
C．11
D．12
7．如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道 路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1 260 m2，道路的宽应为多 少 ？ 设 道 路 的 宽 应 为 x 米 ， 根(5据0－题2x)·意(38－列2x方)＝程1_2，60 得 ______________________．
2
5．方程 3x2－1＝2x＋5 的两根为 x1，x2，则 x1＋x2＝ 3 ，x1x2＝ －2 ，
x11＋x12＝
－13 40
．
76
x21＋x22＝ 9 ，(x1－x2)2＝ 9 ．
知识点三 一元二次方程的实际应用
常见类型
等量关系
设 a 为原来的量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为
变化率问题 增长后的量，则 a(1＋m)n＝b；
当 m 为平均下降率时，有 a(1－m)n＝b
销售利
利润
润问题 (1)利润＝售价－成本；(2)利润率＝成本×100%
常见类型
等量关系
面积问题
AB＋BC＋CD＝a
S 阴影＝
பைடு நூலகம்
S 阴影＝
a－x
⑧(_a_－__2_x_)_(b_－___2_x)_ ⑨_(_a_－__x_)(_b_－__x_)__ S 阴影＝⑩_____2__·_x__
解析 解：(1)(270－210)×30＝1 800(元). ∴降价前商场每天销售该商品的利润是1 800元．
(2)要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且 更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
解析 解：(2)设每件商品应降价x元， 由题意，得(270－x－210)(30＋3x)＝1 800×2，
温馨提示 (2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；
(3)x11＋x12＝x1x＋1x2x2； (4)(x1＋a)(x2＋a)＝x1x2＋a(x1＋x2)＋a2.
巩固练习 4．一元二次方程x2＋2x＋4＝0的根的情况是( D ) A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
开方得 x－1＝± 2，
则 x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2.
(2)2x2＋5x＝－2； 解析 解：(2)整理得 2x2＋5x＋2＝0，
分解因式得(2x＋1)(x＋2)＝0，
可得 2x＋1＝0 或 x＋2＝0，
解得 x1＝－12，x2＝－2.
(3)x(x＋4)＝2x＋8.
解析 解：(3)x(x＋4)＝2x＋8， x(x＋4)－2(x＋4)＝0， (x＋4)(x－2)＝0， x＋4＝0或x－2＝0， 解得x1＝－4，x2＝2.
7．将一个容积为360 cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积 列出图中x(cm)满足的一元二次方程： 15x(10－x)＝360 ．(不必化简)
解析 由题意可得：长方体的高为15 cm，宽为(20－2x)÷2(cm)， 则根据题意，列出关于x的方程为：15x(10－x)＝360.
8．(2023·抚州一模)用适当的方法解下列一元二次方程： (1)(x－1)2＝2； 解析 解：(1)(x－1)2＝2，
D．x1，x2 都是正数
解析 根据题意得 x1＋x2＝52＞0，x1x2＝12＞0， 所以 x1＞0，x2＞0，所以 A，B 选项错误，D 选项正确．
因为 x＝5±4 17，故 C 选项错误．
3．(2022·江西9题3分)关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根， 则k的值为 1 ．
解析 ∵关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝22－4×1×k＝0， 解得k＝1.
方程有两个不等的实数根
－b± x＝
2ba2－4ac＝7±61，
即 x1＝43，x2＝1.
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
2．(2017·江西 5 题 3 分)已知一元二次方程 2x2－5x＋1＝0 的两个根为 x1，
x2，下列结论正确的是( D )
A．x1＋x2＝－52
B．x1·x2＝1
C．x1，x2 都是有理数
解得 x1＝20，x2＝30.
∵要更有利于减少库存， ∴x＝30. 答：每件商品应降价30元．
课堂提升
1．(2023·南昌模拟)下列方程属于一元二次方程的是( D )
A．x3＋x2＋2＝0
B．y＝5－x
C．x＋1x＝5
D．x2＋2x＝3
解析 A.未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B．方程中未知数个数为2，不是一元二次方程，故该选项不符合题 意； C．是分式方程，故该选项不符合题意； D．该方程是一元二次方程，故该选项符合题意．
解法 相乘法分解因式，化为两个 不能在方程两边同时除以可能为
一次式的乘积等于0的形式 0的因式
方法
适用类型
注意事项
适合所有一元二次方 1.先化一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；
公式 程，求根公式为
2.确定a，b，c，并求出b2－4ac的值；
法
－b± b2－4ac 3.代入求根公式，计算得出方程的根；
( A)
A．－2
B．－1
C．0
D．1
解析 ∵一元二次方程x2－2x－k＝0没有实数根， ∴Δ＝(－2)2－4×1×(－k)＝4＋4k＜0， ∴k＜－1.
5．(2023·南昌一模)若关于x的方程x2－kx－12＝0的一个根为3，则k的值 为 －1 ．
解析 把x＝3代入方程x2－kx－12＝0得：9－3k－12＝0， 解得：k＝－1.
解析 ∵a＝1，b＝－k，c＝－2，
∴x1·x2＝ac＝－2. ∵关于 x 的一元二次方程 x2－kx－2＝0 的一个根为 x＝1， ∴另一个根为 x＝－2÷1＝－2.
6．(2018·江西 11 题 3 分)一元二次方程 x2－4x＋2＝0 的两根为 x1，x2，
则 x21－4x1＋2x1x2 的值为 2
2x－3＝0 或 x－1＝0，
∴x1＝32，x2＝1.
(3)x(x－4)＝2－8x；(公式法) 解析 解：(3)x(x－4)＝2－8x，
x2－4x＝2－8x，x2＋4x－2＝0，
Δ＝b2－4ac＝42－4×1×(－2)＝24＞0，
－4±2 6 ∴x＝ 2 ，∴x1＝－2＋ 6，x2＝－2－ 6.
(4)x2－6x＋5＝0.(配方法)
② x_＝_______2_a_______ 4.当b2－4ac＜0时，无解
方法
适用类型
注意事项
1. 先 把 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) 二 次
适合所有一元二次方
项系数化为1，再把常数项移右边；
程，先对原方程整理
配方法
2.配方：方程两边同加一次项系数一
变形化成一般式：
半的平方，化成(x＋h)2＝k的形式；
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
3.直接开方求解
解法选择 灵活选用适当的方法解方程，一般情况下： 1.看能否运用“直接开平方法”或“因式分解法”； 2.用公式法(通用解法)； 3.有特殊要求的，按指定方法解方程
巩固练习
1．(人教九上P4第1(3)题改编)将方程3x2＋1＝6x化成一元二次方程的一 般形式为 3x2－6x＋1＝0 ，其中一次项系数为 －6 ，二次项系数为 3 ， 常数项为 1 ． 2．(m－2)x|m|＋mx－1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ －2 ．
3．按要求解下列一元二次方程： (1)9x2＝49；(直接开平方法) 解析 解：(1)9x2＝49，
x2＝499，x＝± 499， ∴x1＝73，x2＝－73.
(2)2x(x－1)＝3(x－1)；(因式分解法) 解析 解：(2)2x(x－1)＝3(x－1)，
2x(x－1)－3(x－1)＝0，
(2x－3)(x－1)＝0，
若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别
根与系数的
关系
为 x1＋x1，x2＝x2，⑥则－ba
c ，x1x2＝⑦ __a___
温馨提示 1．应用公式法的前提条件：方程为一般式，且判别式 Δ≥0. 2．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有实数根，即 Δ≥0 且 a≠0. 3．根与系数的关系的几种常见变形： (1)x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2；
3．解法
方法
适用类型
注意事项
直接开方后取值是互为相反数的两 直接开 形如 x2＝a(a≥0)或(x＋h)2
平方法 ＝k(k≥0)的方程
个根，切记勿丢根．如 x2＝6→x＝
±6
方法
适用类型
注意事项
将方程右边化为0后，可用 容易产生丢根问题，如x2＝3x，
因式分 提公因式法、公式法、十字 学生会两边约去x，得x＝3.所以，
2．方程x2－2x－24＝0的根是( B ) A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝－4 C．x1＝－6，x2＝4 D．x1＝－6，x2＝－4
解析 x2－2x－24＝0， (x－6)(x＋4)＝0， x－6＝0或x＋4＝0， 解得x1＝6，x2＝－4.
3．用配方法解一元二次方程 3x2＋6x－1＝0 时，将它化为(x＋a)2＝b 的