26两个重要的极限64501

当x 0时，2x 0,则 lim sin 2x lim sin 2x
x0 2x
2x0 2x
例3、求lim sin x x 1 ( x )2
0型 0
1

解: 令 x u,则当x 时，u 0。
原式
sin( u)
lim
u0
1
(

u )2

lim u0
(1)三个*处是相同的； *0 *
(2)* 表示的变量必须是趋于0的。
例2、求lim sin 2x
0型
x0 sin 3x
0
解: lim sin 2x lim(sin 2x 3x 2x) lim 2x 2 x0 sin 3 x x0 2 x sin 3 x 3 x x0 3 x 3
x0
说明:
1、在lim(1 1 )x中，若x是一个其他的变量，
x
x
(例如是x的函数)，记作* 那么如果满足下列两点，
则lim(1 1)* e仍成立。
*
*
(1)三个* 处是相同的；
(2)* 表示的变量必须是趋于的。
例5
1 型
解:
令
例6 解: 原式=
1 型
2
例7
lim
两个重要极限：
1. lim sin x 1
0型 0
x0 x
证:
当
x

(
0
,
2
)
时，
BD
1
x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积 ＜△AOD的面积
即 亦故即有 显然有
1 2
sin
x


1 2
tan
x
s1in
x xsin
xxctoa1snxx
(0

x

2
)
cos x sin x 1 x
((00 xx2 )2 )
说明:
1、使用公式lim sin x 1时，必须在x 0的过程中才成立。
x0 x
例如：lim sin x ? 0 x x
lim sin x ? 2
x x

2
2、在
lim
x0
s
in x
x
中，若x是一个
其他的变量
，(例如是x的函数)，
记作* 那么如果满足下列两点，则lim sin* 1仍成立。
2.6 两个重要的极限
第二章
定理2.11 (两边夹准则)
例1. 证明 limsin x 0
x0
证明：当 0 x , 有0 sin x x , lim x 0,
2
x0
利用准则1， limsin x 0 x 0
下面给出一个判别数列极限收敛的准则
对于数列 {an } 若an an1 , n 1,2,...,
x0

2
2
x

x
解：原式=
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ型
令
作业：P93 23（1）（3）（5）（7）， 24（1）（3）（5）（7）
称 {an }为单调增加数列。
对于数列 {an }
若an an1 ,
n 1,2,...,
称 {an }为单调减少数列。
若存在两个常数m, M(m M ),使得对于任何正整数n， 有m an M ,则称{an }为有界数列.
定理2.12（准则II）： 若 数 列{an }单 调 有 界 ， 则 其 极 限 一定 存 在.

2 sin u 2u u2
lim(sin u 2 ) u0 u 2 u
2
例4、
0型
0
解:
2.
lim
n
1

1 n
n

e
(1 )
扩展：对于变量x，也有
lim
x
1

1 x
x


e
(1 )
也可以写为
1
lim1 xx e (1 )