二元关系与函数

第四章二元关系与函数

一、选择：

1．设集合A={a, b, c}，R={,,,,}，则R是。①自反的②反自反的③对称的④反对称的⑤传递的⑥不可传递的

2．集合A={a, b, c, d, e, f, g}，A上的一个划分π={{a, b}, {c, d, e}, {f, g}}，则π所对应的等价关系R应有个有序对。

①15 ②16 ③17 ④18 ⑤14 ⑥49 ⑦27

3．A={2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 24}，R是A上的整除关系，则A的极大元是；极小元是。

①2和3 ②2, 3和5 ③10和24 ④10, 12, 24

⑤24和6 ⑥只有24 ⑦1 ⑧1, 2, 3, 4, 5

4．A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}，R是A上的整除关系。子集B={2, 4, 6, 8}，则B的最小元是；B的最大元是。

①8 ②1 ③2 ④12 ⑤不存在

5．A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 24, 36}，R是A上的整除关系，子集B={1, 2, 3, 4}，则B 的上界是；B的下界是。

①1 ②6和8 ③1和2 ④24和36

⑤只有24 ⑥只有36 ⑦10, 24, 36 ⑧8, 24, 36

6．A={1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 24, 36}，R是A上的整除关系。子集{4, 6, 12}的上确界是；下确界是。

①1 ②2 ③4 ④3 ⑤24 ⑥12 ⑦18 ⑧36

7．设A={a, b, c}，B={1, 2, 3}，R1, R2, R3是A到B的二元关系，且R1={, , }，R2={, }，R3={, , }，则在这三个二元关系中，可定义为A到B的函数。

①R1和R2②R1③R2④R3⑤R1和R3⑥R2和R3⑦R1, R2和R3

8．设A={1, 2, 3}，R1, R2, R3是A上的二元关系，且R1={<1, 2>, <1, 3>, <1, 1>}, R2={<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>}，R3={<1, 1>, <2, 3>, <3, 2>}，则这三个二元关系中的逆关系

可定义为A到A的函数。

①R1-1, R2-1, R3-1②R1-1③R2-1④R3-1

⑤R1-1和R2-1⑥R1-1和R3-1⑦R2-1和R3-1

9．设A={1, 2, 3}，f, g, h是A到A的函数，其中f(1)=f(2)=f(3)=1；g(1)=1，g(2)=3，g(3)=2；h(1)=3，h(2)=h(3)=1，则是单射函数；是满射函数；

是双射函数。

①f②g③h④f和g⑤f和h⑥g和h

10．设N是自然数集合，f和g是N到N的函数，且f(n)=2n+1，g(n)=n2，则复合函数f◦f(n)= ，g◦g(n)= ，f◦g(n) ，g◦f(n) 。

①n3②n4 ③4n+3 ④4n+2 ⑤2n2+1 ⑥(2n+1)2⑦4n+1

二、综合练习题：

1． 设A ={a , b }, B ={x , y }，求A ⨯B , A ⨯A , B ⨯B , B ⨯A 。 2． 设A ={1, 2}，求P(A ⨯A )和A ⨯P(A )。

3．

设A ={1, 2, 3, 4, 5}，R 是A 上的二元关系，当x , y ∈A 且x 和y 都是素数时，

∈R ，求R 。 4．

设A ={1, 2, 3, 4, 6, 8}，R 是A 上的整除关系，S 是A 上的小于等于关系，求R

∪S 和R ∩S 的表格表示、关系矩阵和关系图。 5．

设A ={a , b , c }，R 是A 上的二元关系，R ={, , , , }，

问：R 是自反的吗？是反自反的吗？是对称的吗？是反对称的吗？是可传递的吗？ 6．

设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，R 是A 上的模4同余关系，证明R 是等价关

系，写出R 的表格表示和图形表示。 7．

设A ={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}， R 是A 上的模3同余关系，写出R 的所有不

同的等价类。 8．

设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 16, 24}，R 是A 上的整除关系，试画出R 的哈

斯图。 9．

设是偏序集，A ={a , b , c , d , e }，下图是R 的关系图，试将其改画成哈斯

图。

10． 设是偏序集，A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 24}，≤是整除关系，试写出

A

的极大元、极小元、最大元、最小元。

11． 下图a , b , c 分别是三个偏序关系的哈斯图，试写出各图中的极大元和极小元，并指出哪个图中有最大元或最小元。

(a) (b) (c)

12． 设是偏序集，A ={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 60}，R 是A 上的整除关系，子集B ={2, 4, 6, 12}，试写出B 的极大元、极小元、最大元、最小元。

13． 设是偏序集，A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 28}，R 是A 上的整除关系，求子集{1, 2, 7}和子集{3, 4, 5, 7, 14}的上界、下界、上确界和下确界。 14． 偏序集的哈斯图如下，求B ={e , f , g }的上界、上确界、下界和下确界。

15． 设A ={1, 2, 3, 4, 5}，R 是A 上的二元关系，R ={<1, 2>, <2, 3>, <3, 3>, <3, 4>, <5, 1>, <5, 4>}，求t (R )。 16．

e

f

k