二元关系与函数
第四章—二元关系和函数
例4.3：设A， C， B， D为任意集合，判断以下 命题是否为真，并说明理由。
(1) A×B= A×C =>B= C (2) A-(B×C)=( A-B)×(A-C) (3) 存在集合A,使得A A × A.
解： (1) 不一定为真。反例A= φ, B、C为任意不相
等的非空集合。 (2) 不一定为真。反例A= {1}, B={2}, C={3}. (3) 为真。当 A= φ时成立。
A×B＝{<x,y>xA,yB} 由于有序对<x,y>中x,y的位置是确定的，因此A×B的 记法也是确定的，不能写成B×A。
笛卡儿积也可以多个集合合成 A1×A2×…×An。
笛卡儿积的运算性质。
§4.1 集合的笛卡尔积与二元关系
笛卡儿积的性质： 1、对任意集合A，根据定义有
A × φ = φ × A= φ 2、一般来说，笛卡儿积不满足交换律，即
由前面的定义可知：有序对就是有顺序的数组，如 <x,y>，x,y 的位置是确定的，不能随意放置。
注意：有序对<a，b><b,a>，以a,b为元素的集合 {a,b}={b,a}；有序对(a,a)有意义，而集合{a,a}不成 立，因为它只是单元素集合，应记作{a}。
笛卡儿积是一种集合合成的方法，把集合A，B合 成集合A×B，规定
术语“关系”皆指二元关系？
又例：若A={a,b}，B={2,5,8}，则 B×A= {<2,a>,<2,b>,<5,a>,<5,b>, <8,a> <8,b>}
令 R4={<2,a> ,<2,b>}, R5={<5,a>, <8,a> <8,b>},
4-2 二元关系与函数
F(A(a) B(a) C(a) , D(b) E(b))
P53. 5(1)
试给出解释I，便得： x (F(x) G(x)) 与 x (F(x) G(x)) 有不同的真值。
如：对于实数域，F(x): x >5，G(x): x >0
x F(x) G(x) F(x) G(x) F(x) G(x) 0 1 0 1 0 0 1 1
关系的表示
用列举法表示二元关系
例:设A={a,b}，B={1,2} A到B的全域关系E为
E = A×B={a,1,a,2,b,1,b,2}
A上的恒等关系： IA={a,a, b,b}
用描述法表示二元关系
例: 设R是实数集，
LR= {x,y | xR∧yR∧x≤y}，
F(x): x是人，G(y): y是花, H(x,y): x喜欢y
x(F(x) y(G(y) H(x,y)))
(5) 任何金属都可以溶解在某种液体中
F(x): x是金属，G(y): y是液体,
H(x,y): x溶解于y中
x (F(x) y(G(y) H(x,y)))
这只大红书柜摆满了那些古书。
MR称为二元关系R的关系矩阵。
用矩阵表示从A到B的二元关系
补充题
以甲为例，
“√”：全对 PQ “&”：对一半 ( P Q) ( P Q) “×”：全错 PQ
例:甲全对，乙对一半，丙全错
甲： P Q 乙： P R 丙： P R
设P: 矿样是铁,Q : 矿样是铜, R : 矿样是锡
“√”：全对，“&”：对一半，“×”：全错
x(F(x)(G(x) H(x))) x(F(x)(( G(x) H(x)) (G(x) H(x)) x(F(x)(G(x) H(x)))
《二元关系和函数》课件
VS
详细描述
函数具有多种性质，这些性质描述了函数 的变化规律和特征。有界性表示函数在一 定范围内变化；单调性表示函数值随自变 量的变化趋势；周期性表示函数按照一定 的周期重复变化；奇偶性则描述函数关于 原点对称或关于y轴对称的特性。
函数的表示方法
总结词
函数的表示方法有多种，包括解析法、表格法和图象法等。
3
几何学
二元关系和函数可以描述几何形状的属性和变化 ，例如极坐标函数用于描述圆的形状和大小。
在计算机科学中的应用
数据结构和算法
二元关系和函数在数据结构和算法中用于实现各种数据结构，例 如哈希表、二叉搜索树等。
数据库查询
在数据库查询语言中，二元关系和函数用于过滤、排序和聚合数据 ，提高数据检索的效率和准确性。
速度、加速度、力等物理量的变化规律。
工程学
03
在工程学中，二元关系和函数用于描述机械运动、热传导、流
体动力学等现象，例如牛顿第二定律、热传导方程等。
05 总结
二元关系和函数的重要性和意义
二元关系和函数是数学中基 本的概念，它们在数学、物 理、工程等领域有着广泛的
应用。
二元关系用于描述两个对象 之间的关系，而函数则是一 种特殊的二元关系，用于描 述一个对象与另一个对象之
个子集。
数学符号表示
通常用R表示二元关系，其中 R⊆A×B。
二元关系的性质
自反性
传递性
如果对于集合A中的任意元素x，都有 (x,x)∈R，则称二元关系R是自反的。
如果对于任意元素x,y,z∈A，当 (x,y)∈R且(y,z)∈R时，则有(x,z)∈R ，则称二元关系R是传递的。
对称性
如果对于任意元素x,y∈A，当 (x,y)∈R时，则有(y,x)∈R，则称二元 关系R是对称的。
离散数学第四章二元关系和函数知识点总结
离散数学第四章二元关系和函数知识点总结集合论部分第四章、二元关系和函数集合的笛卡儿积与二元关系有序对定义由两个客体x 和y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作实例：点的直角坐标(3,4)有序对性质有序性（当x y时）与相等的充分必要条件是= x=u y=v例1 = ，求x, y.解 3y 4 = 2, x+5 = y y = 2, x = 3定义一具有序n (n3) 元组是一具有序对，其中第一具元素是一具有序n-1元组，即= , x n>当n=1时, 形式上能够看成有序 1 元组.实例 n 维向量是有序 n元组.笛卡儿积及其性质定义设A,B为集合，A与B 的笛卡儿积记作A B，即A B ={ | x A y B } 例2 A={1,2,3}, B={a,b,c}A B ={,,,,,,,,}B A ={,,,,,,, ,}A={}, P(A)A={, }性质：别适合交换律A B B A (A B, A, B)别适合结合律 (A B)C A(B C) (A, B)关于并或交运算满脚分配律A(B C)=(A B)(A C)(B C)A=(B A)(C A)A(B C)=(A B)(A C)(B C)A=(B A)(C A)若A或B中有一具为空集，则A B算是空集.A=B=若|A|=m, |B|=n, 则 |A B|=mn证明A(B C)=(A B)(A C)证任取∈A×(B∪C)x∈A∧y∈B∪Cx∈A∧(y∈B∨y∈C)(x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)∈A×B∨∈A×C∈(A×B)∪(A×C)因此有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).例3 (1) 证明A=B C=D A C=B D(2) A C=B D是否推出A=B C=D 为啥解 (1) 任取A C x A y Cx B y D B D(2) 别一定. 反例如下：A={1}，B={2}, C=D=, 则A C=B D 然而A B.二元关系的定义定义设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.例4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={}, R2=A×B, R3=, R4={}. 这么R1, R2, R3,R4是从A 到B的二元关系, R3和R4并且也是A上的二元关系.计数|A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有个. 因此A上有个别同的二元关系.例如 |A|=3, 则A上有=512个别同的二元关系.设A 为任意集合，是A 上的关系，称为空关系E, I A 分不称为全域关系与恒等关系，定义如下：AE={|x∈A∧y∈A}=A×AAI={|x∈A}A例如, A={1,2}, 则E={,,,}AI={,}A小于等于关系L A, 整除关系D A, 包含关系R定义： L={| x,y∈A∧x≤y}, A R，R为实数集合AD={| x,y∈B∧x整除y},BB Z*, Z*为非0整数集R={| x,y∈A∧x y}, A是集合族.类似的还能够定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等等.例如A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则L={,,,,,}AD={,,,,}AA=P(B)={,{a},{b},{a,b}}, 则A上的包含关系是R={,,,,, ,,,}二元关系的表示表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图关系矩阵：若A={a1, a2, …, a m}，B={b1, b2, …, b n}，R是从A到B 的关系，R 的关系矩阵是布尔矩阵M R = [ r ij ] m n, 其中r ij= 1 R.关系图：若A= {x1, x2, …, x m}，R是从A上的关系，R的关系图是G R=, 其中A为结点集，R为边集.假如属于关系R，在图中就有一条从x i到x j 的有向边.注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系A={1,2,3,4},R={,,,,},R的关系矩阵M和关系图G R如下：R关系的运算基本运算定义：定义域、值域和域dom R = { x | y (R) }ran R = { y | x (R) }fld R = dom R ran R例1 R={,,,}, 则dom R={1, 2, 4}ran R={2, 3, 4}fld R={1, 2, 3, 4}逆与合成R1 = { | R}R°S = | | y (RS) } 例2 R={, , , } S={, , , , }R1={, , , }R°S ={, , }S°R ={, , , }定义 F 在A上的限制F?A = { | xFy x A}A 在F下的像F[A] = ran(F?A)实例R={, , , }R?{1}={,}R[{1}]={2,4}R?=R[{1,2}]={2,3,4}注意：F?A F, F[A] ran F基本运算的性质定理1 设F是任意的关系, 则(1) (F1)1=F(2) dom F1=ran F, ran F1=dom F证 (1) 任取, 由逆的定义有∈(F 1) 1 ∈F 1 ∈F因此有 (F1)1=F(2) 任取x,x∈dom F 1 y(∈F1)y(∈F) x∈ran F因此有dom F1= ran F. 同理可证 ran F1 = dom F.定理2 设F, G, H是任意的关系, 则(1) (F°G)°H=F°(G°H)(2) (F°G)1= G1°F 1证 (1) 任取,(F°G)°H t(∈F°G∧∈H) t (s(∈F∧∈G)∧∈H)t s (∈F∧∈G∧∈H)s (∈F∧t (∈G∧∈H))s (∈F∧∈G°H)∈F°(G°H)因此(F°G)°H = F°(G°H)(2) 任取,∈(F°G)1∈F°Gt (∈F∧(t,x)∈G)t (∈G1∧(t,y)∈F1)∈G1°F1因此(F°G)1 = G1°F1幂运算设R为A上的关系, n为自然数, 则R 的n次幂定义为：(1) R0={ | x∈A }=I A(2) R n+1 = R n°R注意：关于A上的任何关系R1和R2都有R 10 = R20 = IA关于A上的任何关系R 都有R1 = R性质：定理3 设A为n元集, R是A上的关系, 则存在自然数s 和t, 使得R s = R t.证R为A上的关系, 由于|A|=n, A上的别同关系惟独个.当列出R 的各次幂R0, R1, R2, …, , …,必存在自然数s 和t 使得R s=R t.定理4 设R 是A 上的关系, m, n∈N, 则(1) R m°R n=R m+n(2) (R m)n=R mn证用归纳法(1) 关于任意给定的m∈N, 施归纳于n.若n=0, 则有R m°R0=R m°I=R m=R m+0A假设R m°R n=R m+n, 则有R m°R n+1=R m°(R n°R)=(R m°R n)°R=R m+n+1 ,因此对一切m, n∈N有R m°R n=R m+n.(2) 关于任意给定的m∈N, 施归纳于n.若n=0, 则有(R m)0=I A=R0=R m×0假设 (R m)n=R mn, 则有(R m)n+1=(R m)n°R m=(R mn)°R m=R mn+m=R m(n+1) 因此对一切m,n∈N有 (R m)n=R mn.关系的性质自反性反自反性定义设R为A上的关系,(1) 若x(x∈A→R), 则称R在A上是自反的.(2) 若x(x∈A→R), 则称R在A上是反自反的.实例：反关系：A上的全域关系E A, 恒等关系I A小于等于关系L A, 整除关系D A反自反关系：实数集上的小于关系幂集上的真包含关系例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R＝{,}1R＝{,,,}2R＝{}3R自反,2R反自反,3R既别是自反也别是反自反的1对称性反对称性定义设R为A上的关系,(1) 若x y(x,y∈A∧∈R→∈R), 则称R为A上对称的关系.(2) 若x y(x,y∈A∧∈R∧∈R→x=y), 则称R为A上的反对称关系.实例：对称关系：A上的全域关系E A, 恒等关系I A和空关系反对称关系：恒等关系I A，空关系是A上的反对称关系.例2 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4基本上A上的关系,其中R＝{,}，R2＝{,,}1R＝{,}，R4＝{,,}3R对称、反对称.1R对称，别反对称.2R反对称，别对称.3R别对称、也别反对称.4传递性定义设R为A上的关系, 若x y z(x,y,z∈A∧∈R∧∈R→∈R), 则称R是A上的传递关系.实例：A上的全域关系E,恒等关系I A和空关系A小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系，真包含关系例3 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R＝{,}1R＝{,}2R＝{}3R和R3 是A上的传递关系1R别是A上的传递关系2关系性质的充要条件设R为A上的关系, 则(1) R在A上自反当且仅当I A R(2) R在A上反自反当且仅当R∩I A=(3) R在A上对称当且仅当R=R 1(4) R在A上反对称当且仅当R∩R1I A(5) R在A上传递当且仅当R R R证明模式证明R在A上自反任取x,第11页/共11页。
二元函数的概念与性质
二元函数的概念与性质二元函数是数学中的重要概念，它在多个学科领域中具有广泛的应用。
本文将介绍二元函数的基本概念、性质以及相关应用。
一、二元函数的定义二元函数，也称为二元映射，是指定义在两个变量上的函数。
一般表示为f(x, y)，其中x和y为自变量，f(x, y)为因变量。
与一元函数不同，二元函数的自变量是由两个变量组成的，它描述了两个变量之间的关系。
二、二元函数的性质1. 定义域和值域对于二元函数f(x, y)，它的定义域是所有使函数有意义的(x, y)的取值组合。
值域则是函数在定义域内所能取得的所有可能值的集合。
通过研究定义域和值域，可以得到函数的范围和特殊取值情况。
2. 连续性和可微性二元函数的连续性和可微性是研究其平滑性和变化趋势的重要性质。
若函数在定义域内的任意一点都满足极限值与函数值相等，则称该函数在该点连续；若函数在某一点的偏导数存在且连续，则称该函数在该点可微。
3. 偏导数和方向导数对于二元函数f(x, y)，可以求出在某一点的偏导数，即函数关于其中一个自变量的导数，用∂f/∂x表示；也可以计算函数在某一点沿着某一方向的方向导数，表示函数在该方向上的变化率。
4. 极值点和最值二元函数的极值点是指在某一区域内使函数取得极大值或极小值的点。
通过求解偏导数，可以找到二元函数的驻点，然后再结合二阶偏导数的符号来判断极值点的性质。
5. 函数的图像和曲面对于二元函数，可以绘制其图像或曲面来直观地表示函数的变化规律和特征。
通过观察函数的图像，可以对函数的性质有更多的认识和理解。
三、二元函数的应用1. 经济学在经济学中，二元函数常用于描述供需关系、边际效用和最优化模型等问题。
通过研究二元函数的曲线和极值点，可以对资源配置和经济决策进行分析和优化。
2. 物理学在物理学中，二元函数的概念被广泛应用于描述多个变量之间的相互关系。
例如，在力学中，可以利用二元函数来分析物体的运动；在电磁学中，可以用二元函数来表示电场和磁场的分布情况。
离散数学复习资料
离散数学复习资料第1章命题逻辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.一、重点内容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句。
命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2. 六个联结词及真值表h“”否定联结词，P是命题，P是P的否命题，是由联结词和命题P组成的复合命题.P取真值1，P取真值0，P取真值0，P取真值1. 它是一元联结词.h “”合取联结词，P Q是命题P，Q的合取式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P Q取值为0，只有P，Q之一取0.h “”析取联结词，“”不可兼析取(异或)联结词， P Q是命题P，Q的析取式，是“”和P，Q组成的复合命题. P Q是联结词“”和P，Q组成的复合命题. 联结词“”或“”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或. 即“P Q”“(P Q)(P Q)”. P Q取值1，只要P，Q之一取值1，P Q取值0，只有P，Q都取值0.h “”蕴含联结词， P Q是“”和P，Q组成的复合命题，只有P取值为1，Q取值为0时，P Q取值为0；其余各种情况，均有P Q的真值为1，亦即10的真值为0，01，11，00的真值均为1. 在语句中，“如果P则Q”或“只有Q，才P，”表示为“P Q”.h “” 等价联结词，P Q是P，Q的等价式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“…当且仅当…”，P Q取值1当且仅当P，Q真值相同.3. 命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别h命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,P n，给P1，P2,…,P n各指定一个真值，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1，则这组值为P的真指派；若使P的真值为0，则称这组值称为P的假指派.h命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材的十六个等值式或演算律)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式.既非永真，也非用假，成为非永真的可满足式.其三主析取(合取)范式法，该公式的主析取范式有2n个极小项(即无极大项)，则该公式是永真式；该公式的主合取范式有2n个极大项(即无极小项)，则该公式是永假式；该公式的主析取(或合取)范式的极小项(或极大项)个数大于0小于2n,，则该公式是可满足式.h等值式A B，命题公式A，B在任何赋值下，它们的真值均相同，称A，B等值。
《离散数学》题库大全及答案
为离散数学领域的经典教材,全世界几乎所有知名的院校都曾经使用本书作为教材.以我个人观点看来,这本书可以称之为离散数学百科.书中不但介绍了离散数学的理论和方法,还有丰富的历史资料和相关学习网站资源.更为令人激动的便是这本书少有的将离散数学理论与应用结合得如此的好.你可以看到离散数学理论在逻辑电路,程序设计,商业和互联网等诸多领域的应用实例.本书的英文版(第六版)当中更增添了相当多的数学和计算机科学家的传记,是计算机科学历史不可多得的参考资料.作为教材这本书配有相当数量的练习.每一章后面还有一组课题,把学生已经学到的计算和离散数学的内容结合在一起进行训练.这本书也是我个人在学习离散数学时读的唯一的英文教材,实为一本值得推荐的好书。
《离散数学》题库答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
三峡大学期末运算机专业离散数学考试期末离散温习
《离散数学》期末温习提要课程的要紧内容1、集合论部份（集合的大体概念和运算、二元关系和函数）；2、数理逻辑部份（命题逻辑、谓词逻辑）；3、图论部份（图的大体概念、特殊的图，树及其性质）。
一、各章温习要求与重点第一章命题逻辑[温习知识点]１、命题与联结词（否定、析取、合取、蕴涵、等价），复合命题２、命题公式与说明，真值表，公式分类（永真、矛盾、可知足），公式的等价３、析取范式、合取范式，极小（大）项，主析取范式、主合取范式４、公式类别的判别方式（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）５、全功能集６、推理理论本章重点内容：命题与联结词、公式与说明、析取范式与合取范式、公式恒真性的判定、推理理论[温习要求]１、明白得命题的概念；了解命题联结词的概念；明白得用联结词产生复合命题的方式。
２、明白得公式与说明的概念；把握求给定公式真值表的方式，用大体等价式化简其他公式，公式在说明下的真值。
３、了解析取（合取）范式的概念；明白得极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；把握用大体等价式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方式。
４、把握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价的方式。
把握24个重要等值式。
５、把握推理理论，会写出推理的证明，把握附加前提证明法和归谬发。
[本章重点习题]习题P31-36: 1.1,1.7-1.9,1.12,1.18,1.19，1.15 [疑难解析]一、公式恒真性的判定判定公式的恒真性，包括判定公式是恒真的或是恒假的。
具体方式有两种，一是真值表法，关于任给一个公式，要紧列出该公式的真值表，观看真值表的最后一列是不是全为1（或全为0），就能够够判定该公式是不是恒真（或恒假），假设不全为0，那么为可知足的。
二是推导法，即利用大体等价式推导出结果为1，或利用恒真（恒假）判定定理：公式G 是恒真的（恒假的）当且仅当等价于它的合取范式（析取范式）中，每一个子句（短语）均至少包括一个原子及其否定。
CH4 二元关系和函数 1 二元关系的基本概念
设A，B为集合，A✕B的任何子集所定义的二元
例：集合A＝{0,1}，B＝{2,3} A×B＝{<0，2>， <0，3>， <1，2>， <1，3>}
A×B的子集：R1= {<0，2>， <0，3>} R2={<0，2>， <1，2>， <1，3>} 都是A到B上的二元关系 A×A＝{<0，0>， <0，1>， <1，0>， <1，1>} A×A的子集： R3={<0，0>， <0，1>} R4={<0，0>， <1，0>， <1，1>} 都是A上的二 <0，1>， <1，0>， <1，1>} 为A上的全域关系 IA ＝ {<0，0>， <1，1>}为A上的恒等关系
其它一些常见关系: 设A为实数集R的某个子集，则A上小于等 于关系定义为: LA={〈x，y〉| x，y ∊ A∧x≤y} 例如： A={-1 ，3， 4}，则 A上小于等于关系 LA= {〈-1，-1〉,〈-1，3〉,〈-1，4〉, 〈3，3〉,〈3，4〉，〈4，4〉}
再例如，有甲，乙，丙三个人和四项工作a， b ，c ，d 。 已知甲可以从事工作a和b，乙可以从事工作c， 丙可以从事工作a和d。
那么人和工作之间的对应关系可以记作
R={<甲,a>,<甲,b>,<乙,c>,<丙,a>,<丙,d>}
这是人的集合{甲，乙，丙}到工作的集合{a， b，c，d}之间的关系。
两个关系笛卡尔积
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质(略) 4.7 函数的复合和反函数(略)
1
4.1 集合的笛卡儿积和二元关系
有序对
笛卡儿积及其性质 二元关系的定义 二元关系的表示
10
从A到B的关系与A上的关系
定义 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元 关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做 A上 的二元关系. 例4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=, R4={<0,1>}. 那么 R1, R2, R3, R4是从 A 到 B 的二元关系, R3和R4同时也是 A上的二元关系. 计数 |A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有2 个 n2 . 所以 A上有 2n2个不同的二元关系. 例如 |A|=3, 则 A上有=512个不同的二元关系.
3). 真.可由等量代入的原理证得. 4). 真.当A = 时, 有: A A A成立.
二元关系的定义
定义 如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空, 且它的元素都是有序对 （2）集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如<x,y>∈R, 可记作 xRy；如果<x,y>R, 则记作x y 实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写 1R2, aRb, a c 等.
所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
7.2二元关系_关系运算
R1＝R0 R＝IA R＝R
给定A上的关系R和自然数n，怎样计算Rn呢？
若n是0或1，结果是很简单的。下面考虑n≥2的情况。
◦ 如果R是用集合表达式给出的，可以通过n-1次右复合计算得 到Rn。
◦ 如果R是用关系矩阵M给出的，则Rn的关系矩阵是Mn，即n个 矩阵M之积。与普通矩阵乘法不同的是，其中的相加是逻辑 加，即
解答
0 1 0 0
M 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0
M0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
0 1 0 00 1 0 0 1 0 1 0
M2 1 0 1 01 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0
(2)任取<x,y>，
证明
<x,y>∈(FG)-1
<y,x>∈FG
t(<y,t>∈F∧<t,x>∈G)
t(<t,y>∈F-1∧<x,t>∈G-1)
<x,y>∈G-1 F-1
定理7.3 设R为A上的关系，则 R IA＝IA R＝R
证明 (1)任取<x,y>， <x,y>∈ R IA
<x,y>∈R
1+1＝1，1+0＝0+1＝1，0+0＝0
◦ 如果R是用关系图G给出的，可以直接由图G得到Rn的关系图 G从到‘。xxij出的G’发边的经。顶过当点n把集步所与长有G的相这路同样径。的到考边达察都顶G找的点到每x以j，个后则顶，在点就Gx得‘i，中到如加图果一G在条'。G从中xi
离散数学第四章二元关系和函数
例题
• 例题4.8:下列关系都是整数集Z上的关系,分别求出它们的 定义域和值域.
– R1={<x,y>|x,yZxy}; – R2={<x,y>|x,yZx2+y2=1};
• domR1=ranR1=Z. R={<0,1>,<0,-1>,<1,0>,<-1,0>} domR2=ramR2={0,1,-1}
IA={<0,0>,<1,1>,<2,2>}
关系实例
• 设A为实数集R的某个子集,则A上的小于等于关系定义为 LA={<x,y>|x,yA,xy}.
• 例4.4 设A={a,b},R是P(A)上的包含关系, R={<x,y>|x,yP(A),xy}, 则有 P(A)={,{a},{b},A}. R={<, >,<,{a}>,<,{b}>,<,A>, <{a},{a}>,<{a},A>,<{b},{b}>,<{b},A>,<A,A>}.
– 例如:A={a,b},B={0,1,2},则 AxB={<a,0>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>}; BxA={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}.
– 如果A中的元素为m个元素，B中的元素为n个元素， 则AxB和BxA中有mn个元素．
0100 1010 . 0001 0000
4二元关系和函数详解
a与1间存在关系R记aR1 b与1间存在关系R记bR1 c与2间存在关系R记cR2 d与2间存在关系R记dR2 e与3间存在关系R记eR3 e与3间存在关系R记eR3
10/11/2018 10:28 PM
liu qun, northeastern Univ.
10
4.2关系及运算——关系
定理 若 C≠Ø，则 A B （A C B C） （C A C B） 定理 设 A，B，C，D 为四个非空集合， 则 A B C D 的充要条件为 A C，B D。
10/11/2018 10:28 PM liu qun, northeastern Univ. 9
其中、
A 0,1
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liu qun, northeastern Univ.
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4.1笛卡儿积与二元关系——笛卡尔积
Sets
集合
定理 设A，B，C为任意三个集合，则有 a) A×（B∪C）=（A×B）∪（A×C）； b) A×（B∩C）=（A×B）∩（A×C）； c)（A∪B）×C=（A×C）∪（B×C）； d)（A∩B）×C=（A×C）∩（B×C）。
例设有六个程序，它们之间有一定的调用关系
R : PRP 1 2, P 3 RP 4, P 4 RP 5, P 5 RP 2, P 2 RP 6, P 3 RP 1
这个关系是集合 p P1 P2 ...P6 上的关系， 有 R P , P , P , P , P , P , P , P , P , P , P , P
A B C 1, a, , 1, a, , 1, b, , 1, b, , 2, a, , 2, a, , 2, b, , 2, b,
函数
f7={<a，1>，<b，1>，<c，1>}
二、几种特殊的函数
定义 设f:AB是函数，对任意的a，bA，且 ab，都有f(a)f(b)，或形式表为 xy(x,yAxyf(x)f(y)) 则称f:AB是单射函数，或称函数f:AB 是单射的。 定义揭示了，A中不同的元素，其在B中像 也是不同的。于是，若A、B是有穷集合，存 在单射函数f:AB，则|A|≤|B|。
从函数定义可以看出，从A到B的函数f和一般从A 到B的二元关系有以下两点不同： ① A的每一元素都必须是f的有序对之第一元素。 ② 若f(x)=y，则函数f在x处的值是唯一的。
定义 设f:AB，g:CD，若A=C，且对每一 xA 都有f(x)=g(x)，则称函数f和g相等，记为 f=g。 下面讨论由集合A和B构成的函数f:AB会有多少 呢？或者说，在AB的所有子集中，是全部还是部分 子集可以定义函数呢？ 令BA表示这些函数的集合，即BA={f|f:AB} 设|A|=m，|B|=n，那么|BA|=？ |BA|=nm 。这是因为对每个自变元，它的函数值都 有n种取法，故总共有nm种从A到B的函数。
(2)
f2 : R R
f3 : N N
f 2 r 2r 15
f 3 (n) 2n
（ 双 ）
(3)
（ 单 ）
3. 下列函数中，确定哪些是单射，哪些是满射，
哪些是双射?
(1)
f1 : R R, f1 (r ) r 2 2r 15
解：因为r 2 2r 15 (r 5)(r 3), 所以 f1 (5) f1 (3) 0 因此 f1不是单射。
例 对于给定的集合A和B构造双射函数f：A→B A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3} ({1,2,3} →{0,1}的函数） 解A={Φ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} B={f0,f1,…,f7}, 其中： f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>},f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>}, f2={<1,0>,<2,1>,<3,0>},f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>}, f4={<1,1>,<2,0>,<3,0>},f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>}, f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>}, f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>} 令f：A→B, 使得f (Φ)=f0, f({1})=f4, f({2})=f2, f({3})=f1, f({1,2})=f6, f({1,3})=f5, f({2,3})=f3, f({1,2,3})=f7
集合论
从关系矩阵上看，若MR是对称矩阵，则R具有 对称性，若MR转置后除主对角线上的元素外，原来 为1的元素都变为了0，则R具有反对称性。 从关系图上看，若不同结点间的有向弧成对出 现，则R具有对称性。若任意两个不同结点间都没有 成对的有向弧，则R具有反对称性。 R −1 , R ∪ S , R ∩ S 若R、S都是A上的对称关系，则 也是A上的对称关系， 若R、S都是A上的反对称关系，则 R −1 , R ∩ S 也 是A上的反对称关系，但 R ∪ S 不一定是A上的反对 称关系。例如，R={<1,2>}，S={<2,1>}
−1
[2000年1月证明题18] 设R是集合A上的二元关系，试证明R是自反的当 且仅当 I A ⊆ R 证明：先证明必要性 Q R 具有自反性 ,∴ ∀ a ∈ A, < a , a >∈ R 于是 , {< a , a >| a ∈ A} ⊆ R , 即 I A ⊆ R 再证明充分性 Q ∀ a ∈ A, < a , a >∈ I A , 又 Q I A ⊆ R
例7
设：A={a,b,c,d}，B={x,y,z}， R={<a,x>,<a,z>,<b,y>,<c,z>,<d,y>}，求关系矩阵MR 解：
1 0 MR = 0 0 x
函数,映射与二元关系
函数,映射与二元关系
函数是由一组被映射的变量组成的关系。
它是一种把一个输入集映
射到另一个输出集的函数表达式。
函数的计算一般由它的一系列参数
决定，也可以通过不同的设置来控制它的行为。
二元关系是一个表示特定对象间联系的二元图形。
它是一种在两个变
量之间创建关系的数学表示法。
二元关系通常使用一个矩阵来表示，
其中给定的每行表示一个变量值的组合，每列表示另一个变量的取值。
二元关系的计算可以通过求解矩阵来实现，也可以通过指定变量之间
的逻辑关系或模型来实现。
函数和二元关系的关系十分密切，函数可以看作是二元关系的一种特
殊情况，而在更一般的情形下，可以使用二元关系来表达函数。
它们
之间的关系可以从概念上、数学上以及用代码实现上进行分析。
在概念上，函数是一个映射，它将特定的输入组合映射到特定的输出，而二元关系则可以有不同的结果，可以更容易地控制复杂的解空间。
而基于数学上的观点，函数可以看作是二元关系的特殊情况，可以使
用求解矩阵的方法来求解。
而代码实现上也有例如if语句可以用来表
达二元关系，但也可以映射到函数式编程思想。
因此，函数与二元关系的关系是复杂的，有多种不同的方式可以将它
们表述出来，从概念表达、数学表达到实际代码实现。
它们都可以帮
助我们描述不同的关系，同时可以让程序能够有更加复杂多样的行为，从而为我们解决一些复杂的问题。
函数的概念
恒等函数与特征函数
• X上的相等关系也是X到自身的函数关系, 称为X上的恒等函数,记为1X,即 x(xX1X(x)=x) • 1X是双射函数. • 令U为全集合,AU.集A的特征函数 A:U{0,1}定义为:
1 A ( x ) 0
若 x A 若 x A
特征函数的性质
集合X上等价关系R商集上的规范映射
• 定义:对X上等价关系R,函数 g:XX/R,g(x)=[x]R (即x的象是它关于的R等价类)称X为到商集X/R 的规范映射. • 性质:①规范映射g恒为满射; ②规范映射g为单射x(xX|[x]R|=1); ③规范映射g为双射g为单射.
• 定义: f0 = 1X; f1 = f; f2 = f(f); … fk+1 = f(fk); … • 性质: ① f 有任意次幂; ② 取论述域为X上所有函数的集合:XX,则 f(f为满(单,双)射k(kNfk为满 (单,双)射)).
4.2#1 下列函数是否满,单,双射?
(d) f:NNN,f(m,n)=mn 解: 0N,f(0,0)=00 没有意义,故f不是函数. (e) f:RR+ =(0,+),f(x)=3x 解: 因3x 是由x决定的唯一正数,故f是函数(指 数函数).可证f是双射.它为单射的理由是: xx’(f(x)=f(x’)x=x’)(∵3x=3x’=y x=x’=log3 y); f是满射的理由是: y(yR+x(xR∧f(x)=y)) (∵x=log3 y满足f(x)=y)
X
x f f~ y
Y
双射函数f:XY的逆关系f~所唯一确定的 双射函数称为f的逆函数,记为:f-1:YX.
• 由关系求逆的对合性推出函数求逆的对 合性: (f-1)-1 = f. • f为可逆函数 f-1为可逆函数. • f-1(f)=1X; f(f-1)=1Y; 特别地,对X上任 意可逆函数都有 f-1(f)=f(f-1)=1X 证: xX,f(x)=yY, f-1(y)=x, f-1(f(x))= f-1(y)=x=1X(x) f-1(f)=1X
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第四章二元关系与函数
一、选择：
1．设集合A={a, b, c}，R={<a, a>,<b, b>,<a, b>,<a, c>,<c, a>}，则R是。
①自反的②反自反的③对称的④反对称的⑤传递的⑥不可传递的
2．集合A={a, b, c, d, e, f, g}，A上的一个划分π={{a, b}, {c, d, e}, {f, g}}，则π所对应的等价关系R应有个有序对。
①15 ②16 ③17 ④18 ⑤14 ⑥49 ⑦27
3．A={2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 24}，R是A上的整除关系，则A的极大元是；极小元是。
①2和3 ②2, 3和5 ③10和24 ④10, 12, 24
⑤24和6 ⑥只有24 ⑦1 ⑧1, 2, 3, 4, 5
4．A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}，R是A上的整除关系。
子集B={2, 4, 6, 8}，则B的最小元是；B的最大元是。
①8 ②1 ③2 ④12 ⑤不存在
5．A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 24, 36}，R是A上的整除关系，子集B={1, 2, 3, 4}，则B 的上界是；B的下界是。
①1 ②6和8 ③1和2 ④24和36
⑤只有24 ⑥只有36 ⑦10, 24, 36 ⑧8, 24, 36
6．A={1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 24, 36}，R是A上的整除关系。
子集{4, 6, 12}的上确界是；下确界是。
①1 ②2 ③4 ④3 ⑤24 ⑥12 ⑦18 ⑧36
7．设A={a, b, c}，B={1, 2, 3}，R1, R2, R3是A到B的二元关系，且R1={<a, 1>, <b, 2>, <c, 2>}，R2={<a, 1>, <a, 2>}，R3={<a, 1>, <b, 1>, <c, 1>}，则在这三个二元关系中，可定义为A到B的函数。
①R1和R2②R1③R2④R3⑤R1和R3⑥R2和R3⑦R1, R2和R3
8．设A={1, 2, 3}，R1, R2, R3是A上的二元关系，且R1={<1, 2>, <1, 3>, <1, 1>}, R2={<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>}，R3={<1, 1>, <2, 3>, <3, 2>}，则这三个二元关系中的逆关系
可定义为A到A的函数。
①R1-1, R2-1, R3-1②R1-1③R2-1④R3-1
⑤R1-1和R2-1⑥R1-1和R3-1⑦R2-1和R3-1
9．设A={1, 2, 3}，f, g, h是A到A的函数，其中f(1)=f(2)=f(3)=1；g(1)=1，g(2)=3，g(3)=2；h(1)=3，h(2)=h(3)=1，则是单射函数；是满射函数；
是双射函数。
①f②g③h④f和g⑤f和h⑥g和h
10．设N是自然数集合，f和g是N到N的函数，且f(n)=2n+1，g(n)=n2，则复合函数f◦f(n)= ，g◦g(n)= ，f◦g(n) ，g◦f(n) 。
①n3②n4 ③4n+3 ④4n+2 ⑤2n2+1 ⑥(2n+1)2⑦4n+1
二、综合练习题：
1． 设A ={a , b }, B ={x , y }，求A ⨯B , A ⨯A , B ⨯B , B ⨯A 。
2． 设A ={1, 2}，求P(A ⨯A )和A ⨯P(A )。
3．
设A ={1, 2, 3, 4, 5}，R 是A 上的二元关系，当x , y ∈A 且x 和y 都是素数时，
<x , y >∈R ，求R 。
4．
设A ={1, 2, 3, 4, 6, 8}，R 是A 上的整除关系，S 是A 上的小于等于关系，求R
∪S 和R ∩S 的表格表示、关系矩阵和关系图。
5．
设A ={a , b , c }，R 是A 上的二元关系，R ={<a , a >, <b , b >, <a , b >, <a , c >, <c , a >}，
问：R 是自反的吗？是反自反的吗？是对称的吗？是反对称的吗？是可传递的吗？ 6．
设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，R 是A 上的模4同余关系，证明R 是等价关
系，写出R 的表格表示和图形表示。
7．
设A ={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}， R 是A 上的模3同余关系，写出R 的所有不
同的等价类。
8．
设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 16, 24}，R 是A 上的整除关系，试画出R 的哈
斯图。
9．
设<A , R >是偏序集，A ={a , b , c , d , e }，下图是R 的关系图，试将其改画成哈斯
图。
10． 设<A , ≤>是偏序集，A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 24}，≤是整除关系，试写出
A
的极大元、极小元、最大元、最小元。
11． 下图a , b , c 分别是三个偏序关系的哈斯图，试写出各图中的极大元和极小元，并指出哪个图中有最大元或最小元。
(a) (b) (c)
12． 设<A , R >是偏序集，A ={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 60}，R 是A 上的整除关系，子集B ={2, 4, 6, 12}，试写出B 的极大元、极小元、最大元、最小元。
13． 设<A , R >是偏序集，A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 28}，R 是A 上的整除关系，求子集{1, 2, 7}和子集{3, 4, 5, 7, 14}的上界、下界、上确界和下确界。
14． 偏序集<A , R >的哈斯图如下，求B ={e , f , g }的上界、上确界、下界和下确界。
15． 设A ={1, 2, 3, 4, 5}，R 是A 上的二元关系，R ={<1, 2>, <2, 3>, <3, 3>, <3, 4>, <5, 1>, <5, 4>}，求t (R )。
16．
e
f
k。