浙江省联考部分市学校2020届高三上学期数学试题Word版含解析

浙江省联考部分市学校2020届高三上学期
数学试题
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，那么（）
A. B. C. D.
2. 设为虚数单位，表示复数的共轭复数，若，则（）
A. B. C. D.
3. “”是“直线与直线平行”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 已知，满足约束条件若恒成立，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
5. 已知函数（），下列选项中不可能是函数图象的是（）
A. B. C. D.
6. 已知实数，，，则的最小值是（）
A. B. C. D.
7. 已知等差数列、的前项和分别为、，若，则的值是（）
A. B. C. D.
8. 设点是双曲线（，）上异于实轴端点上的任意一点，，分别是其左右焦点，为中心，
，则此双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
9. 已知是正四面体（所有棱长都相等的四面体），是中点，是
上靠近点的三等分点，设与、、所成角分别为、、，则（）
A. B. C. D.
10. 如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线
作垂线，垂足为，则的最大值是（）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共
36分，将答案填在答题纸上）
11. 16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数
与指数的关系，即.
现在已知，，则__________.
12. 设，，则__________；__________.
13. 在的展开式中，各项系数之和为64，则__________；展开式中的常数项为__________.
14. 4支足球队两两比赛，一定有胜负，每队赢的概率都为0.5，并且每队赢的场数各不相同，则共有
__________种结果；其概率为__________.
15. 某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为__________；此几何体的体积__________.
16. 已知圆：（），点，若在圆上存在点，使得，的取值范围是
__________.
17. 当时，不等式恒成立，则的最大值是__________.
三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18. 设函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）若角满足，，的面积为，求的值.
19. 如图，在三棱锥中，是正三角形，面面，，，和的重心分别为，.
（1）证明：面；
（2）求与面所成角的正弦值.
20. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，存在实数，使.
21. 如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆：上一点，从原点向圆：
作两条切线分别与椭圆交于点，，直线，的斜率分别记为，.
（1）求证：为定值；
（2）求四边形面积的最大值.
22. 已知数列满足：，，.
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）证明：.
浙江省联考部分市学校2020届高三上学期
数学试题参考答案
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，那么（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵集合
∴
∵集合
∴
故选C
2. 设为虚数单位，表示复数的共轭复数，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵
∴
∴
故选B
3. “”是“直线与直线平行”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件【答案】A
【解析】当时，两直线不平行
当时，由两直线平行可得，且，解得或
∴“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件
故选A
4. 已知，满足约束条件若恒成立，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】作出满足约束条件的可行域如图所示：
平移直线到点时，有最小值为
∵恒成立
∴，即
故选D
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.
5. 已知函数（），下列选项中不可能是函数图象的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵（）
∴
当时，，易得在上为减函数，在上为增函数，故可能；
当时，，，为增函数，故可能；
当时，，有两个不相等且互为异号的实数根，先递减再递增然后再递减，故可能；
当时，，有两个不相等的负实数根，先递增再递减然后再递增，故错误.
故选D
6. 已知实数，，，则的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴
当且仅当，即，时取等号.
故选B
点睛：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。

解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造，然后乘“1”变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.
7. 已知等差数列、的前项和分别为、，若，则的值是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设等差数列、的公差分别为和
∵
∴，即
∴，即①
∴，即②
由①②解得，
∴
故选A
8. 设点是双曲线（，）上异于实轴端点上的任意一点，，分别是其左右焦点，为中心，
，则此双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】不妨设是双曲线右支上的一点，，其中，则，，则
∴
∴
∴
故选C
...........................
9. 已知是正四面体（所有棱长都相等的四面体），是中点，是上靠近点的三等分点，设与
、、所成角分别为、、，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分别取中点，中点，连结，，，，，如图所示，则，，，
，，
由是正四面体（所有棱长都相等的四面体），设正面体的棱长为
∴根据余弦定理可得，
∴，，
∴，且为锐角
∴
故选D
10. 如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连结，则
∵
∴
依题意可证∽，则，即
∵
∴，即，当且仅当时取等号
∴
∴
∴的最大值为1
故选B
点睛：（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，将答案填在答题纸上）
11. 16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数
与指数的关系，即.
现在已知，，则__________.
【答案】2
【解析】∵，
∴，
∴
故答案为2
12. 设，，则__________；__________.
【答案】 (1). (2).
【解析】∵，
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：，
13. 在的展开式中，各项系数之和为64，则__________；展开式中的常数项为__________. 【答案】 (1). 6 (2). 15
【解析】∵在的展开式中，各项系数之和为64
∴将代入，得
∴
∵
∴令，即，则其系数为
故答案为：6，15
14. 4支足球队两两比赛，一定有胜负，每队赢的概率都为0.5，并且每队赢的场数各不相同，则共有__________种结果；其概率为__________.
【答案】 (1). 24 (2).
【解析】∵ 4支足球队两两比赛，一定有胜负，每队赢的概率都为0.5，并且每队赢的场数各不相同
∴4队比6场
只考虑胜场，且各不相同，胜场分布为0，1，2，3
∴共有种结果
∴概率为
故答案为24，
15. 某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为__________；此几何体的体积__________.
【答案】 (1). (2).
【解析】根据几何体的三视图可得为圆柱的一半与一个四棱锥的联合体，圆柱的底面半径为1，高为2，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，高为2
∴俯视图的面积为
∴几何体的体积为
点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．
16. 已知圆：（），点，若在圆上存在点，使得，的取值范围是
__________.
【答案】
【解析】过点作圆的切线，切点为
∵圆：（），且在圆上存在点，使得
∴只需
∵
∴
∴
故答案为
17. 当时，不等式恒成立，则的最大值是__________.
【答案】6
【解析】∵时，不等式恒成立
∴，即
设，
∵
∴
∴
∴
∴的最大值为
故答案为6
三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18. 设函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）若角满足，，的面积为，求的值.
【答案】(1) ，；(2) .
【解析】试题分析：（1）函数解析式利用三角恒等变换化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性即可求出的单调递增区间；（2）由及的解析式求出的值，再利用三角形面积公式及，求出，然后根据余弦定理即可求出的值.
试题解析：（1），
令，，
得，.
所以，的单调递增区间为，.
（2）由条件，
∵，∴，∴，解得.
∵，∴.
又，化简得，则
∴.
19. 如图，在三棱锥中，是正三角形，面面，，，和
的重心分别为，.
（1）证明：面；
（2）求与面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
试题解析：（1）证明：取中点，连结，由重心性质可知，分别在，上且，，所以在中有，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）解：以中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
∵，
∴
∴，
又由条件，，，
∴，，.
设面的法向量为，则
取，则∴，
∴，即所求角的正弦值为.
20. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，存在实数，使.
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）对求导，再分别讨论时和时的情况，从而求出的单调性；（2）依题
意得，再分别讨论，和三种情况下的单调性，从而可以证明.
试题解析：（1）∵，∴.
①当时，，所以在上单调递减；
②当时，令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）因为，所以
①若，则在上递减，所以当时能使；
②若，则，而在上单调递减，
所以取时能使；
③若，则，而在上单调递增，
所以取时能使，
综上，当时，存在实数，使.
21. 如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆：上一点，从原点向圆：
作两条切线分别与椭圆交于点，，直线，的斜率分别记为，.
（1）求证：为定值；
（2）求四边形面积的最大值.
【答案】(1)证明见解析；(2)1.
【解析】试题分析：（1）因为直线：，：，与圆相切，推出，是方程
的两个不相等的实数根，利用韦达定理得，结合点点在椭圆上，得出；（2）当直线，不落在坐标轴上时，设，，通过，推出，结合，在椭圆上，可得，再讨论直线落在坐标轴上时，显然有，然后表示出，结合基本不等式即可求出四边形面积的最大值. 试题解析：（1）因为直线：，：，与圆相切，
由，可得，是方程的两个不相等的实数根
∴，因为点在椭圆上，所以，
∴.
（2）（i）当直线，不落在坐标轴上时，设，，
因为，所以，即，
因为，在椭圆上，
所以，
整理得，所以，
所以.
（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有，
综上：.
因为，
因为，
所以的最大值为1.
点睛：本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.
22. 已知数列满足：，，.
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）证明：.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）先用数学归纳法证明，再设，，求出的单调性，即可
得证；（2）要证，只需证，令，，求出的单调性，推出，再令，，求出的单调性，推出，即可得证；（3）由（2）可得，由迭代可得，再根据，推出
，然后由，推出，即可得证. 试题解析：（1）先用数学归纳法证明.
①当时，∵，∴；
②假设当时，，则当时，.
由①②可知.
再证.
，
令，，则，
所以在上单调递减，所以，
所以，即.
（2）要证，只需证，
只需证其中，
先证，
令，，只需证.
因为，
所以在上单调递减，所以.
再证，
令，，只需证，
，
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
从而，所以在上单调递增，所以，
综上可得.
（3）由（2）知，一方面，，由迭代可得，
因为，所以，所以
；
另一方面，即，
由迭代可得.
因为，所以，所以
；
综上，.
点睛：本题主要考查利用数学归纳法、分析法证明不等式，考查利用导数求函数的单调区间及最值问题.第一问是利用分析法证明不等式，分析法证明不等式是从结论出发，通过变形转化之后，变为一个显然成立的结论，那么原不等式即是成立的.证明不等式，也可以考虑通过放缩后，利用导数求最值来证明.。