江苏省泰州市泰兴中学2015-2016学年高一下学期5月段考数学试卷 含解析

2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高一(下)5月段考数学试卷
一、填空题（共14小题，每小题5分，满70分）
1．不等式x2＜1的解集为．
2．在△ABC中，已知b=4,c=2，A=120°,则a等于．
3．等差数列｛a n｝中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为．
4．若a,b 是异面直线,直线c与a相交，则c与b的位置关系是．
5．若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1)y+（a2﹣1）=0平行则实数a=．
6．已知数列｛a n}的前n项和为S n=5n2+kn，且a2=18,则k=．
7．设z=x+y,其中x,y满足，若z的最大值为12,则z的最小值为．
8．以直线3x﹣4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为．
9．设关于x的不等式：x2﹣x＜2nx（n∈N＊）的解集中整数的个数为a n,数列｛a n}的前n项的和为S n，则S100=．
10．在△ABC中，已知acosA=bcosB,则△ABC的形状是．
11．已知圆O：x2+y2=1，由直线l：x+y+k=0上一点P作圆O的两条切线，切点为A，B，若在直线l上至少存在一点P，使∠APB=60°,则k的取值范围是．
12．已知tan（α+β)=﹣3，tan（α﹣β）=2，则的值为．
13．已知数列{a n｝为正项等差数列，满足+≤1(其中k∈N*，且k≥2），则a k
的最小值为．
14．在平面直角坐标系xOy中，若与点A（2，2)的距离为1且与点B（m，0）的距离为3的直线恰有两条，则实数m的取值范围为．
二、解答题:（共70分）
15．如图，A﹣BCD是一个不透明的三棱锥木块，点E，F，G分别在AB，BC，CD上,且F，G是BC，CD的中点,BE:EA=1：2，
（1）求证：FG∥平面BAD；
（2）设过点E，F，G的平面交平面ABD于直线l．请作出直线l,写出作法，并说明理由．
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,已知acos2+ccos2=b．
（1）求证：a,b，c成等差数列；
(2）若b=2，B=，求△ABC的面积．
17．已知f(x）=ax2+x﹣a,a∈R．
（1)若a=1，解不等式f（x）≥1;
（2）若不等式f（x）＞﹣2x2﹣3x+1﹣2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围; (3）若a＜0,解不等式f（x）＞1．
18．扬州某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°（如图）,考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x（米）,外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y （米）．
(1）求y关于x的函数关系式,并指出其定义域;
(2）要使防洪堤横断面的外周长不超过10。

5米，则其腰长x应在什么范围内?
（3）当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值．
19．已知圆O的方程为x2+y2=13，直线l：x0x+y0y=13，设点A（x0,y0）．
(1）若点A在圆O外，试判断直线l与圆O的位置关系;
（2)若点A在圆O上，且x0=2,y0＞0，过点A作直线AM，AN分别交圆O于M，N两点，且直线AM和AN的斜率互为相反数．
①若直线AM过点O，求tan∠MAN的值；
②试问:不论直线AM的斜率怎么变化,直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
20．已知a n=2n+3n,b n=a n
+ka n,
+1
(1）若{b n}是等比数列,求k的值；
（2）若C n=log3（a n﹣2n）,且数列{C n｝的前和为S n，证明：＜2；
（=+++…+)
（3）若k=﹣2，集合A={n∈N＊｜＞｝，求集合A中所有元素之和．
2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高一(下）5月段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(共14小题，每小题5分，满70分）
1．不等式x2＜1的解集为{x｜﹣1＜x＜1｝．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】由不等式x2＜1，通过因式分解可得（x+1）（x﹣1）＜0，即可求得解集．
【解答】解：由不等式x2＜1,化为(x+1）（x﹣1)＜0，解得﹣1＜x＜1．
∴不等式x2＜1的解集为{x|﹣1＜x＜1｝．
故答案为：{x｜﹣1＜x＜1｝．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
2．在△ABC中，已知b=4，c=2,A=120°，则a等于2．
【考点】余弦定理．
【分析】由b，c以及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值．
【解答】解：∵在△ABC中,b=4,c=2，A=120°，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=16+4+8=28，
则a=2．
故答案为:2
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
3．等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7,则数列{a n｝的公差为2．
【考点】等差数列的性质．
【分析】由等差数列的性质,结合a1+a5=10求出a3,由等差数列的定义求得公差．
【解答】解：在等差数列{a n｝中,由a1+a5=10，得2a3=10，∴a3=5．
又a4=7,∴数列｛a n}的公差d为a4﹣a3=7﹣5=2．
故答案为:2．
【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项的概念，是基础题．
4．若a，b 是异面直线，直线c与a相交，则c与b的位置关系是平行、相交、异面．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】若a，b是异面直线，直线c与a相交，所以c与b可能平行、相交、异面．
【解答】解：由a、b是异面直线，直线c与a相交，知c与b的位置关系是平行、相交、异面,
故答案为:平行、相交、异面．
【点评】此题考查学生的空间想象能力，考查对异面直线的理解和掌握．
5．若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2:x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行则实数a=﹣1．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】由直线的平行关系可得a的方程，解方程验证可得．
【解答】解：∵直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行，
∴a（a﹣1）﹣2×1=0,解得a=﹣1或a=2，
经验证当a=2时,直线重合,a=﹣1符合题意，
故答案为:﹣1
【点评】本题考查直线的一般式方程和直线的平行关系，属基础题．
6．已知数列｛a n｝的前n项和为S n=5n2+kn，且a2=18,则k=3．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由数列｛a n｝的前n项和求出a1和S2，然后利用a2=S2﹣a1列式计算k的值．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为，
∴a1=S1=5+k,．
由a2=S2﹣a1，得18=20+2k﹣（5+k）=15+k,
∴k=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了等差数列的前n项和,考查了数列的前n项和与项之间的关系，是基础的计算题．
7．设z=x+y,其中x，y满足，若z的最大值为12,则z的最小值为﹣6．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先求出最优解,利用数形结合即可得到结论．
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=x+y得y=﹣x+z，则直线截距最大时，z也最大．
平移直线y=﹣x+z由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，
直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大为12,
即x+y=12，
由，得，即B（6，6)，此时B也在直线y=k上,
∴k=6,
当直线y=﹣x+z经过点A时,
直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小,
由,即，即A（﹣12，6），
此时z=x+y=﹣12+6=﹣6，
故答案为：﹣6
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．
8．以直线3x﹣4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为（x+2)2+（y﹣）2=．
【考点】圆的标准方程．
【分析】根据直线3x﹣4y+12=0方程求出它与x轴、y轴交点A、B的坐标，从而得到AB 中点为C（﹣2,)，即为所求圆的圆心．再用两点的距离公式，算出半径r=|AB｜=,最后根据圆的标准方程列式即可得到所求圆的方程．
【解答】解：∵对直线3x﹣4y+12=0令x=0，得y=3;令y=0，得x=﹣4
∴直线3x﹣4y+12=0交x轴于A（﹣4，0），交y轴于B（0，3）
∵所求的圆以AB为直径
∴该圆以AB中点C为圆心,半径长为|AB｜
∵AB中点C坐标为（，）,即C（﹣2，）
|AB|==
∴圆C的方程为（x+2）2+（y﹣）2=,即（x+2）2+（y﹣）2=
故答案为:（x+2)2+（y﹣）2=
【点评】本题给出已知直线，求以直线被两坐标轴截得线段为直径的圆方程，着重考查了中点坐标公式、圆的标准方程和两点间的距离公式等知识,属于基础题．
9．设关于x的不等式:x2﹣x＜2nx(n∈N＊）的解集中整数的个数为a n，数列{a n｝的前n项的和为S n，则S100=10100．
【考点】数列的求和;一元二次不等式的解法．
【分析】先整理条件中的不等式，表示出x的解集，进而得出数列｛a n｝通项公式和求和公式．代入100即可求得S100．
【解答】解：∵x2﹣x＜2nx整理得x（x﹣2n﹣1）＜0，解得0＜x＜2n+1
则a n=2n
∴S n=n(n+1)
∴S100=10100
故答案为10100
【点评】本题主要考查了数列的求和问题．属基础题．
10．在△ABC中,已知acosA=bcosB，则△ABC的形状是△ABC为等腰或直角三角形．【考点】正弦定理的应用；两角和与差的余弦函数．
【分析】根据正弦定理把等式acosA=bcosB的边换成角的正弦,再利用倍角公式化简整理得sin2A=sin2B，进而推断A=B，或A+B=90°答案可得．
【解答】解:根据正弦定理可知∵acosA=bcosB，
∴sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B
∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，
所以△ABC为等腰或直角三角形
故答案为△ABC为等腰或直角三角形．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用,属基础题．
11．已知圆O:x2+y2=1，由直线l:x+y+k=0上一点P作圆O的两条切线,切点为A，B，若在直线l上至少存在一点P，使∠APB=60°,则k的取值范围是[﹣2，2] ．
【考点】圆的切线方程．
【分析】由题意，∠APB=60°，OP=2，可得P的轨迹方程为x2+y2=4，在直线l上至少存在一点P，使∠APB=60°，可以转化为直线l:x+y+k=0与x2+y2=4至少存在一个交点，利用圆心到直线的距离d=≤2，即可确定k的取值范围．
【解答】解:由题意，∠APB=60°，OP=2,
∴P的轨迹方程为x2+y2=4，
∵在直线l上至少存在一点P,使∠APB=60°，
∴直线l:x+y+k=0与x2+y2=4至少存在一个交点，
∴圆心到直线的距离d=≤2，
∴﹣2≤k≤2,
∴k的取值范围是[﹣2，2]．
故答案为:［﹣2，2]．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程，在直线l上至少存在一点P，使∠APB=60°,可以转化为直线l:x+y+k=0与x2+y2=4至少存在一个交点，是解题的关键．
12．已知tan（α+β）=﹣3，tan（α﹣β）=2，则的值为．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】利用同角三角函数的基本关系,两角差的三角公式，求得要求式子的值．
【解答】解:tan(α+β）=﹣3,tan（α﹣β)=2，
则
==
===,
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用,属于基础题．13．已知数列｛a n}为正项等差数列,满足+≤1（其中k∈N＊，且k≥2），则a k
的最小值为．
【考点】数列递推式．
【分析】由等差数列的性质得，结合+≤1利用基本不等式求得a k的最小值．
【解答】解:∵数列｛a n｝为正项等差数列，且+≤1,
∴≥（+）=≥
=．
=6时上式等号成立．
当且仅当+=1，且，即a1=3，a2k
﹣1
∴a k的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查数列递推式，考查了等差数列的性质,训练了利用基本不等式求最值,是中档题．
14．在平面直角坐标系xOy中，若与点A(2,2）的距离为1且与点B（m，0）的距离为3
的直线恰有两条，则实数m的取值范围为．
【考点】点到直线的距离公式．
【分析】根据题意可把点到线的距离转化为圆,进而利用两个圆的位置关系解决问题．
【解答】解：由题意可得：与点A（2，2)的距离为1的点确定了一个圆O1，与点B（m，0）的距离为3的点确定了一个圆O2，
所以根据题意可得:题中所要求的直线也就是两个圆的公切线，并且这样的公切线只有两条，所以根据两圆位置关系可得：这两个圆必然相交，即有｜r1﹣r2|＜|O1O2|＜r1+r2,即：2＜＜4,
解得：．
故答案为．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握两个圆的位置关系，以及进行正确的计算．
二、解答题：（共70分）
15．如图，A﹣BCD是一个不透明的三棱锥木块，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且F，G是BC，CD的中点,BE：EA=1:2,
（1）求证：FG∥平面BAD；
（2)设过点E，F，G的平面交平面ABD于直线l．请作出直线l，写出作法，并说明理由．
【考点】直线与平面平行的判定．
【分析】(1）由中位线定理可知FG∥BD,故而FG∥平面BAD；
（2）取线段AD靠近D的三等分点P,则PE为所求直线l．
【解答】解：（1）∵F，G是BC,CD的中点，
∴FG∥BD，又FG⊄平面BAD，BD⊂平面BAD，
∴FG∥平面BAD．
(2）在AD上取一点P,使得DP：PA=1：2，连接EP，则直线PE为平面EFG与平面ABD 的交线l．
理由如下：
∵,
∴EP∥BD，又FG∥BD，
∴PE∥FG．
∴P∈平面EFG，又P∈平面ABD，
∴P为平面EFG和平面ABD的公共点，
又E为平面EFG和平面ABD的公共点，
∴平面EFG∩平面ABD=PE，
即PE为所求的交线l．
【点评】本题考查了线面平行的判定，平面的基本性质，属于基础题．
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos2+ccos2=b．（1)求证：a，b,c成等差数列；
（2)若b=2，B=，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理．
【分析】（1)已知等式利用正弦定理化简，再利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式变形，整理后再利用正弦定理化简，利用等差数列的性质判断即可得证；(2）利用三角形面积公式进行解答．
【解答】（1）证明：∵，∴
由正弦定理得，…
化简得，sinA+sinC+sinAcosC+sinCcosA=3sinB，
∴sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，
∵sin（A+C）=sinB，
∴sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理化简得：a+c=2b，
∴a,b，c成等差数列；
（2）由（1)得：a+c=2b，
∵b=2，B=，a+c=2b，
∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（2b）2﹣3ac，
∴ac=b2=8，
∴S=acsinB=×8×sin=4×=2．即△ABC的面积是2．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，等差数列的性质,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
17．已知f（x)=ax2+x﹣a，a∈R．
(1）若a=1，解不等式f（x）≥1；
（2)若不等式f(x）＞﹣2x2﹣3x+1﹣2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围;
(3）若a＜0，解不等式f（x)＞1．
【考点】其他不等式的解法；函数恒成立问题;一元二次不等式的解法．
【分析】（1)当a=1，不等式即（x+2）（x﹣1)≥0,解此一元二次不等式求得它的解集．（2）由题意可得(a+2）x2+4x+a﹣1＞0恒成立，当a=﹣2 时，显然不满足条件，故有
，由此求得a的范围．
（3）若a＜0，不等式为ax2+x﹣a﹣1＞0,即(x﹣1）（x+）＜0．再根据1和﹣的大小关系,求得此不等式的解集．
【解答】解：（1）当a=1，不等式f（x)≥1即x2+x﹣1≥1，即（x+2）（x﹣1）≥0,解得x ≤﹣2，或x≥1,
故不等式的解集为{x｜x≤﹣2，或x≥1｝．
（2）由题意可得(a+2）x2+4x+a﹣1＞0恒成立，
当a=﹣2 时,显然不满足条件，∴．
解得a＞2，故a的范围为(2，+∞）．
（3）若a＜0,不等式为ax2+x﹣a﹣1＞0,即（x﹣1）（x+)＜0．
∵1﹣（﹣）=，
∴当﹣＜a＜0时，1＜﹣，不等式的解集为{x|1＜x＜﹣}；
当a=﹣时，1=﹣，不等式即（x﹣1）2＜0，它的解集为∅;
当a＜﹣时，1＞﹣，不等式的解集为{x｜﹣＜x＜1｝．
【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法,函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
18．扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为60°（如图）,考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x（米），外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y （米）．
（1）求y关于x的函数关系式，并指出其定义域;
（2)要使防洪堤横断面的外周长不超过10。

5米，则其腰长x应在什么范围内?
（3）当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)?求此时外周长的值．
【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（1）先由横断面积用x表示BC,从建立y关于x的函数关系式，定义域由线段必须大于零和高度不低于米求解；
（2）解y≤10.5分式不等式;
（3)求函数y的最小值，根据函数特点及条件可选用不等式解决．
【解答】解：（1），其中，，
∴，得，
由，得2≤x＜6
∴；
（2)得3≤x≤4∵［3，4］⊂[2，6）
∴腰长x的范围是［3，4]
（3），
当并且仅当，即时等号成立．
∴外周长的最小值为米，此时腰长为米．
【点评】本题主要考查利用平面图形建立函数模型以及解模的能力，属于中档题．
19．已知圆O的方程为x2+y2=13，直线l：x0x+y0y=13，设点A(x0，y0）．
(1）若点A在圆O外,试判断直线l与圆O的位置关系；
（2）若点A在圆O上，且x0=2，y0＞0,过点A作直线AM,AN分别交圆O于M，N两点，且直线AM和AN的斜率互为相反数．
①若直线AM过点O，求tan∠MAN的值；
②试问：不论直线AM的斜率怎么变化，直线MN的斜率是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率．
【分析】(1）由点A在圆O外，可得x02+y02 ＞13，求得圆心到直线的距离d小于半径，可得直线和圆相交．
（2）由条件求得点A（2，3）．①若直线AM过点O，求得AM的斜率,可得AN的斜率K AN=﹣，再利用两条直线的夹角公式求得tan∠MAN=｜｜的值．
②记直线AM的斜率为k，把直线AM的方程为:y=kx+3﹣2k代入圆O的方程化简，由2是方程的一个根，利用韦达定理求得M的横坐标x M的值，同理可得，x N的值，再根据MN的斜率为，计算结果为，可得结论．
【解答】解：（1）∵点A在圆O外，∴x02+y02 ＞13，
由于圆心（0,0）到直线l：x0x+y0y=13的距离d=＜=r，
故直线和圆相交．
（2）∵点A在圆O上，且x0=2，y0＞0，可得y0=3,∴点A(2，3）．
①若直线AM过点O，则AM的斜率为K AM=,∴K AN=﹣，
tan∠MAN=｜｜=||=．
②记直线AM的斜率为k，则直线AM的方程为：y=kx+3﹣2k．
将y=kx+3﹣2k代入圆O的方程得：x2+（kx+3﹣2k）2=13，
化简得：（k2+1)x2+2k（3﹣2k)x+（3﹣2k）2﹣13=0，
∵2是方程的一个根，∴2x M=，∴x M=，
由题意知：k AN=﹣k,同理可得,x N=，
∴kMN==k=k=,
∴不论直线AM的斜率怎样变化,直线MN的斜率总为定值．
【点评】本题主要考查点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，直线的倾斜角和斜率，两条直线的夹角公式的应用,属于中档题．
20．已知a n=2n+3n，b n=a n
+ka n,
+1
（1）若{b n｝是等比数列，求k的值；
（2）若C n=log3(a n﹣2n），且数列{C n}的前和为S n，证明：＜2；
（=+++…+）
（3）若k=﹣2，集合A=｛n∈N*｜＞｝,求集合A中所有元素之和．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【分析】（1）运用等比数列的性质，可得b22=b1b3，解k的方程可得k的值;
（2）求得C n=n，S n=，可得==2（﹣），运用裂项相消求和，即可得证；
（3）求得b n=3n，令d n=，作差,判断单调性，可得集合A中的元素,求和可得．【解答】解：(1）由a1=5，a2=13,a3=35，a4=97，
又｛b n｝是等比数列，可得b22=b1b3，
则（35+13k）2=（13+5k）（97+35k），
解得k=﹣2或k=﹣3，经检验均符合；
（2）证明：由题可得C n=log3（a n﹣2n）=n,
则S n=，
可得==2（﹣），
则=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2(1﹣）＜2;
（3)由题可得b n=3n，
令d n=，
﹣d n=﹣=，
则d n
+1
＜d n，
当n=1时,d1=d2=,当n≥2时，d n
+1
又d3=，d4=，
则A={1,2,3｝,所以A中所有元素之和为6．
【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及数列的单调性和运用，属于中档题．。