(北师大版)数学必修二课时作业：2.1.3两条直线的位置关系(含答案)

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课时提升作业(十八)
两条直线的位置关系
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.(2018·铜川高一检测)直线l1的倾斜角为30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为( )
A. B.- C. D.-
【解析】选B.设直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2.
则k1=tan 30°=.因为l1⊥l2，所以×k2=-1，即k2=-.
2.已知点A(1，2)，B(m，1)，直线AB与直线y=0垂直，则m的值为( )
A.2
B.1
C.0
D.-1
【解析】选B.由题意知直线AB垂直x轴，斜率不存在，所以m=1.
3.下列直线中与直线x-y-1=0平行的是( )
A.x+y-1=0
B.x-y+1=0
C.ax-ay-a=0
D.x-y+1=0或ax-ay-a=0
【解析】选B.根据两条直线平行判定的条件知：A不正确，B正确，对于C，D：当a≠0时，与直线x-y-1=0重合，当a=0时，ax-ay-a=0不是直线方程.
4.(2018·济源高一检测)直线(m+1)x+my+1=0与直线(m-1)x+(m+1)y-10=0垂直，则m的值为( )
A.-1
B.
C.-
D.-1或
【解析】选D.由两直线垂直可得(m+1)(m-1)+m(m+1)=0，解得m=-1或.
5.下列结论中不正确的是( )
A.直线y=x+2和5x-3y+2=0互相平行
B.直线x-6=0和y-9=0互相垂直
C.直线3x+4y-12=0和+=1互相平行
D.直线y=x和y=-x互相垂直
【解析】选C.因为C中两直线重合.
6.(2018·九江高二检测)已知点A(1，2)，B(3，1)，则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A.4x+2y-5=0
B.4x-2y-5=0
C.x+2y-5=0
D.x-2y-5=0
【解析】选B.k AB==-，
设AB的垂直平分线的斜率为k，由k·k AB=-1，
得k=2.
又AB的中点为，
故满足题意的方程为y-=2(x-2).
即为4x-2y-5=0.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.若直线l1：2x+my+1=0与直线l2：y=3x-1平行，则m=________.
【解析】由题意，得y=-x-，
因为l1∥l2，所以3=-，-≠-1，所以m=-.
答案：-
8.(2018·蚌埠高一检测)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a-2，-3)，直线l2经过点C(2，3)，D(-1，a-2).如果l1⊥l2，则a=________.
【解题指南】
【解析】直线l2的斜率为k2==，
所以当a=5时，k2=0，k1无意义，即斜率不存在，两直线垂直；
当a≠5时，k1=，因为两直线垂直，则有
·=-1，解得a=-6.
答案：-6或5
9.与直线2x+3y+5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为的直线的方程为________________.
【解析】所求直线与直线2x+3y+5=0平行，则其斜率为-，可设直线方程为y=-x+b，令y=0，得x=b，由题
意可得b+b=，解得b=，所以所求直线的方程为y=-x+，即2x+3y-4=0.
答案：2x+3y-4=0
【一题多解】由题意设所求直线方程为2x+3y+c=0(c≠0)，化为截距式是+=1，因为直线在两坐标轴上截距之和为，所以--=，解得c=-4.故所求直线方程为2x+3y-4=0.
【变式训练】(2018·铜川高一检测)垂直于直线3x-4y-7=0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l在x轴上的截距是________.
【解析】由题意设直线l的方程为4x+3y+d=0.
分别令x=0和y=0，得直线在两坐标轴上的截距分别是-，-.
所以6=×|-|×|-|=，
所以d=±12，所以-=±3.
答案：3或-3
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my-1=0.试确定m，n的值，使
(1)l1∥l2.
(2)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为-1.
【解析】(1)因为l1∥l2，所以=≠，
得：m=4，n≠-2，或m=-4，n≠2.
(2)因为l1⊥l2，所以m×2+8×m=0，
所以m=0，则l1：8y+n=0.
又l1在y轴上的截距为-1，则n=8.
综上知m=0，n=8.
【拓展延伸】讨论l1∥l2时要排除两直线重合的情况.处理l1⊥l2时，利用l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0可避免对斜率是否存在的讨论.
11.已知三点A(5，-1)，B(1，1)，C(2，m)，分别求满足下列条件的m值.
(1)三点构成直角三角形ABC.
(2)A，B，C三点共线.
【解析】(1)若角A为直角，则AC⊥AB，
所以k AC·k AB=-1，
即·=-1，得m=-7；
若角B为直角，则AB⊥BC，
所以k AB·k BC=-1，
即-·=-1，得m=3；
若角C为直角，则AC⊥BC，
所以k AC·k BC=-1，
即·=-1，得m=±2，
综上可知，m=-7，或m=3，或m=±2.
(2)因为A(5，-1)，B(1，1)，C(2，m)，
所以k AB==-，
k AC==-，
由k AB=k AC，得-=-，
即m=.
所以当m=时，A，B，C三点共线.
【一题多解】点A(5，-1)与B(1，1)确定的直线方程为x+2y-3=0，将C(2，m)的坐标代入得m=，
故m=时，A，B，C三点共线.
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2018·赣州高一检测)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(-1，1)且与y轴交于点P，则P点坐标为( )
A.(3，0)
B.(-3，0)
C.(0，-3)
D.(0，3)
【解析】选D.设P(0，y)，因为l1∥l2，所以=2，
所以y=3.
2.以A(5，-1)，B(1，1)，C(2，3)为顶点的三角形是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.以A为直角顶点的直角三角形
D.以B为直角顶点的直角三角形
【解题指南】在平面直角坐标系中描出三点的坐标，猜测其大致的形状，然后借助三边所在直线的斜率间的关系确定.
【解析】选D.k AB==-，k BC==2，
所以k AB·k BC=-1.所以AB⊥BC.
故△ABC是以B为直角顶点的直角三角形.
3.(2018·吉安高一检测)过点E(1，1)和点F(-1，0)的直线与过点M(-，0)和点N(0，)(k≠0)的直线的位置关系是( )
A.平行
B.重合
C.平行或重合
D.相交或重合
【解析】选C.当k=2时，EF与MN重合；当k≠2时，k EF==，k MN==，EF与MN平行.
4.(2018·亳州高一检测)已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3，2)，B(a，-1)，且直线l1与l垂直，直线l2：2x+by+1=0与直线l1平行，则a+b等于( )
A.-4
B.-2
C.0
D.2
【解析】选B.依题意知，直线l的斜率为k=tan135°=-1，则直线l1的斜率为1，于是有=1，
所以a=0，又直线l2与l1平行，
所以1=-，
即b=-2，所以a+b=-2.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.(2018·渭南高一检测)直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根，若l1⊥l2，则b=________；若l1∥l2，则b=________.
【解析】当l1⊥l2时，k1k2=-1，所以-=-1.
即b=2.
当l1∥l2时，k1=k2，所以Δ=(-3)2+4×2b=0.
即b=-.
答案：2 -
6.(2018·咸阳高一检测)直线l1：2x+(m+1)y+4=0与直线l2：mx+3y-2=0平行，则m的值为________.
【解题指南】两直线平行时，斜率相等，注意直线斜率不存在的情况.
【解析】当m=0时，显然l1不平行于l2；
当m≠0时，若l1∥l2需=≠.①
由①式有m2+m-6=0，解得m=2，或m=-3.
经检验m=2，或m=-3满足题意.
答案：-3或2
【一题多解】若l1∥l2，则A1B2-A2B1=2×3-m(m+1)=0，
A1C2-A2C1=2×(-2)-m·4=-4-4m≠0.
所以m=-3或2.
答案：-3或2
【举一反三】两直线垂直时，m的值为________.
【解析】当m=-1时，直线l1的斜率不存在，显然直线l1与直线l2不垂直；
当m≠-1时，直线l1的斜率为-，
又直线l2的斜率为-，因为两直线垂直，
所以-×-=-1，
解得m=-.
答案：-
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.(2018·宜春高一检测)已知四边形ABCD的顶点A (m，n)，B(5，-1)，C(4，2)，D(2，2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形.
【解题指南】分类讨论直角梯形ABCD的腰和底，利用直线平行和垂直的斜率关系解决.
【解析】(1)如图，当∠A=∠D=90°时，
因为四边形ABCD为直角梯形，
所以AB∥DC且AD⊥AB.
因为k DC=0，所以m=2，n=-1.
(2)如图，当∠A=∠B=90°时，
因为四边形ABCD为直角梯形，
所以AD∥BC，且AB⊥BC，
所以k AD=k BC，k AB·k BC=-1.
所以
解得m=，n=-.
综上所述，m=2，n=-1或m=，n=-.
8.在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O(0，0)，P(1，t)，Q(1-2t，2+t)，R(-2t，2)，其中t∈(0，+∞)，试判断四边形OPQR的形状，并给出证明.
【解析】四边形OPQR是矩形.
OP边所在直线的斜率k OP=t，
QR边所在直线的斜率k QR==t，
OR边所在直线的斜率k OR=-，
PQ边所在直线的斜率k PQ==-.
所以k OP=k QR，k OR=k PQ，所以OP∥QR，OR∥PQ，
所以四边形OPQR是平行四边形.
又k QR·k OR=t×(-)=-1，
所以QR⊥OR，所以四边形OPQR是矩形.
又因为k OQ=，k PR=，
令k OQ·k PR=-1，得t不存在，
所以OQ与PR不垂直，
所以四边形OPQR不为正方形，故四边形OPQR是矩形.
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