2020-2021学年江苏省苏州市高新区七年级(下)期末数学试卷(学生版+解析版)

2020-2021学年江苏省苏州市高新区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B 铅笔填涂在答题卡相应的位置上。

1．（2分）目前代表华为手机最强芯片的麒麟990处理器采用7nm 工艺制程，1nm ＝0.0000001cm ，则7nm 用科学记数法表示为（ ） A ．0.7×10﹣
6cm
B ．0.7×10﹣7cm
C ．7×10﹣6cm
D ．7×10﹣
7cm
2．（2分）下列各式，计算结果为a 6的是（ ） A ．a 2+a 4
B ．a 7÷a
C ．a 2•a 3
D ．（a 2）4
3．（2分）若a ＜b ，则下列不等式中正确的是（ ） A ．a ﹣3＜b ﹣3
B ．a ﹣b ＞0
C ．1
3
a ＞1
3b
D ．﹣2a ＜﹣2b
4．（2分）不等式2x +3＞1的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ．
D ．
5．（2分）下列命题中，可判断为假命题的是（ ）
A ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C ．同旁内角互补，两直线平行
D ．直角三角形两个锐角互余
6．（2分）如图，在四边形ABCD 中，连接BD ，下列判断正确的是（ ）
A ．若∠1＝∠2，则A
B ∥CD B ．若∠3＝∠4，则AD ∥BC
C ．若∠A +∠ABC ＝180°，则AB ∥CD
D ．若∠A ＝∠C ，∠ABC ＝∠ADC ，则AB ∥CD
7．（2分）《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实
一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打x 斗谷子，下等稻子每捆打y 斗谷子，根据题意可列方程组为（ ） A ．{
3y +6=10x ，
5x +1=2y
B ．{
3x −6=10y ，
5y −1=2x
C ．{3x +6=10y ，5y +1=2x
D ．{
3y −6=10x ，
5x −1=2y
8．（2分）如图，在△ABC 中，BC ＝7，∠A ＝80°，∠B ＝70°，把△ABC 沿RS 的方向平移到△DEF 的位置，若CF ＝4，则下列结论中错误的是（ ）
A ．DF ＝7
B ．∠F ＝30°
C ．AB ∥DE
D ．B
E ＝4
9．（2分）已知a 是任何实数，若M ＝（2a ﹣3）（3a ﹣1），N ＝2a （a −3
2
）﹣1，则M 、N 的大小关系是（ ） A ．M ≥N B ．M ＞N C ．M ＜N
D ．M ，N 的大小由a 的取值范围
10．（2分）如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝6，BC ＝10，DC ＝DE ，∠CDE ＝90°，则△ADE 的面积是（ ）
A ．4
B ．8
C ．12
D ．16
二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分，把答案直接填写在答题卡相应位置上。

11．（2分）五边形的内角和等于 度．
12．（2分）若正有理数m 使得x 2+2mx +9是一个完全平方式，则m ＝ ． 13．（2分）计算：0.1252020×（﹣8）2021＝ ．
14．（2分）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为 ． 15．（2分）如果方程组{x =4ax +by =5的解与方程组{y =3bx +ay =2的解相同，则a +b ＝ ．
16．（2分）如图，将四边形纸片ABCD 沿MN 折叠，点A 、D 分别落在A 1、D 1处，若∠1+∠2＝144°，则∠B +∠C ＝ °．
17．（2分）若m 2＝n +2021，n 2＝m +2021（m ≠n ），那么代数式m 3﹣2mn +n 3的值 ． 18．（2分）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．点P 从A 点出发沿A →C →B 路径向终点运动，终点为B 点；点Q 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点运动，终点为A 点．点P 和Q 分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时
才能停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE ⊥l 于E 、作QF ⊥l 于F ，当点P 运动 秒时，以P 、E 、C 为顶点的三角形和以Q 、F 、C 为顶点的三角形全等．
三、解答题：本大题共10小题，共64分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。

作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔。

19．（6分）计算：
（1）(π−3)0−22+(1
2)−3； （2）x 3•x 5﹣（2x 4）2+x 10÷x 2． 20．（6分）将下列各式分解因式：
（1）4x 2﹣9； （2）2x 2y ﹣8xy +8y ．
21．（6分）解方程组与不等式组： （1）{
x +2y =0①
3x +4y =6②
；
（2）{x −2(x −1)≥21+x 3
＞x −1．
22．（6分）如图，在方格纸内将△ABC 经过平移后得到△A ′B ′C ′，图中标出了点B 的对应点B ′．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图： （1）补全△A ′B ′C ′； （2）画出AC 边上的中线BD ； （3）求△ABD 的面积 ．
23．（6分）先化简，再求值：（2x +y ）2+（x ﹣y ）（x +y ）﹣5x （x ﹣y ），中x ＝﹣2，y ＝2． 24．（6分）如图，△ABC 与△DCB 中，AC 与BD 交于点E ，且∠ABC ＝∠DCB ，AB ＝DC ． （1）求证：△ABC ≌DCB ；
（2）当∠EBC ＝30°，求∠AEB 的度数．
25．（6分）已知非负数x 、y 满足x−24
=
3−y 3
=k ，设L ＝2x +y ﹣3k ．
（1）求k 的取值范围；
（2）求满足条件的L 的所有整数值．
26．（6分）某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同；购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元． （1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
27．（8分）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
（1）在不等式①2x﹣1＜0，②x≤2，③x﹣（3x﹣1）＜﹣5中，不等式x≥2的“云不等式”是；（填序号）
（2）若关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣3＜x+m的“云不等式”，求m的取值范围；
（3）若a≠﹣1，关于x的不等式x+3≥a与不等式ax﹣1＜a﹣x互为“云不等式”，求a 的取值范围．
28．（8分）（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8．求BC边上的中线AD 的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE．利用全等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是，中线AD的取值范围是；
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN．求证：BM+CN＞MN；
（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由．
2020-2021学年江苏省苏州市高新区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B 铅笔填涂在答题卡相应的位置上。

1．（2分）目前代表华为手机最强芯片的麒麟990处理器采用7nm 工艺制程，1nm ＝0.0000001cm ，则7nm 用科学记数法表示为（ ） A ．0.7×10﹣
6cm
B ．0.7×10﹣7cm
C ．7×10﹣
6cm
D ．7×10﹣
7cm
【解答】解：7nm ＝7×0.0000001cm ＝7×10﹣
7cm ， 故选：D ．
2．（2分）下列各式，计算结果为a 6的是（ ） A ．a 2+a 4
B ．a 7÷a
C ．a 2•a 3
D ．（a 2）4
【解答】解：A 、a 2+a 4，无法计算，故此选项错误； B 、a 7÷a ＝a 6，故此选项正确； C 、a 2•a 3＝a 5，故此选项错误； D 、（a 2）4＝a 8，故此选项错误． 故选：B ．
3．（2分）若a ＜b ，则下列不等式中正确的是（ ） A ．a ﹣3＜b ﹣3
B ．a ﹣b ＞0
C ．1
3
a ＞1
3b
D ．﹣2a ＜﹣2b
【解答】解：A 、不等式的两边都减3，不等式的方向不变，故A 正确； B 、不等式的两边都减b ，不等号的方向不变，故B 错误； C 、不等式的两边都乘以1
3，不等号的方向不变，故C 错误；
D 、不等式的两边都乘以﹣2，不等号的方向改变，故D 错误； 故选：A ．
4．（2分）不等式2x +3＞1的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ．
D ．
【解答】解：2x ＞1﹣3， 2x ＞﹣2，
x＞﹣1，
故选：D．
5．（2分）下列命题中，可判断为假命题的是（）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．同旁内角互补，两直线平行
D．直角三角形两个锐角互余
【解答】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题；
B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误，是假命题；
C、同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；
D、直角三角形两个锐角互余，正确，是真命题，
故选：B．
6．（2分）如图，在四边形ABCD中，连接BD，下列判断正确的是（）
A．若∠1＝∠2，则AB∥CD
B．若∠3＝∠4，则AD∥BC
C．若∠A+∠ABC＝180°，则AB∥CD
D．若∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC，则AB∥CD
【解答】解：A、根据∠1＝∠2不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；
B、根据∠3＝∠4不能推出AD∥BC，故本选项不符合题意；
C、根据∠A+∠ABC＝180°能不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；
D、根据∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC，可得∠A+∠ADC＝180°，能推出AB∥CD，故本
选项符合题意．
故选：D．
7．（2分）《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打
出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打x 斗谷子，下等稻子每捆打y 斗谷子，根据题意可列方程组为（ ） A ．{
3y +6=10x ，
5x +1=2y
B ．{
3x −6=10y ，
5y −1=2x
C ．{3x +6=10y ，5y +1=2x
D ．{
3y −6=10x ，
5x −1=2y
【解答】解：设上等稻子每捆打x 斗谷子，下等稻子每捆打y 斗谷子， 根据题意可列方程组为：{3x +6=10y
5y +1=2x ．
故选：C ．
8．（2分）如图，在△ABC 中，BC ＝7，∠A ＝80°，∠B ＝70°，把△ABC 沿RS 的方向平移到△DEF 的位置，若CF ＝4，则下列结论中错误的是（ ）
A ．DF ＝7
B ．∠F ＝30°
C ．AB ∥DE
D ．B
E ＝4
【解答】解：∵把△ABC 沿RS 的方向平移到△DEF 的位置，BC ＝7，∠A ＝80°，∠B ＝70°，
∴EF ＝BC ＝7，CF ＝BE ＝4，∠F ＝∠ACB ＝180°﹣∠A ﹣∠B ＝180°﹣80°﹣70°＝30°，AB ∥DE ，
∴B 、C 、D 正确，A 错误， 故选：A ．
9．（2分）已知a 是任何实数，若M ＝（2a ﹣3）（3a ﹣1），N ＝2a （a −3
2）﹣1，则M 、N 的大小关系是（ ） A ．M ≥N B ．M ＞N C ．M ＜N
D ．M ，N 的大小由a 的取值范围
【解答】解：∵M＝（2a﹣3）（3a﹣1），N＝2a（a−3
2）﹣1，
∴M﹣N
＝（2a﹣3）（3a﹣1）﹣2a（a−3
2）+1，
＝6a2﹣11a+3﹣2a2+3a+1
＝4a2﹣8a+4
＝4（a﹣1）2
∵（a﹣1）2≥0，
∴M﹣N≥0，则M≥N．
故选：A．
10．（2分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝6，BC＝10，DC＝DE，∠CDE＝90°，则△ADE的面积是（）
A．4B．8C．12D．16
【解答】解：过D点作DH⊥BC于H，过E点作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AD∥BC，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵DH⊥BC，
∴四边形ABHD为矩形，
∴BH＝AD＝6，
∴CH＝BC﹣BH＝10﹣6＝4，
∵∠ADH＝90°，
∴∠FDC+∠CDH＝90°，
∵∠CDE＝90°，即∠EDF+∠FDC＝90°，
∴∠EDF＝∠CDH，
在△DEF和△DCH中，
{∠F =∠DHC
∠EDF =∠CDH DE =DC
， ∴△DEF ≌△DCH （AAS ）， ∴EF ＝CH ＝4， ∴S △ADE =1
2
•AD •EF =1
2
×6×4＝12． 故选：C ．
二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分，把答案直接填写在答题卡相应位置上。

11．（2分）五边形的内角和等于 540 度．
【解答】解：五边形的内角和＝（5﹣2）•180°＝540°． 故答案为：540．
12．（2分）若正有理数m 使得x 2+2mx +9是一个完全平方式，则m ＝ 3 ． 【解答】解：∵x 2+2mx +9是一个完全平方式， ∴m ＝±3， ∵m 为正有理数， ∴m ＝3， 故答案为：3．
13．（2分）计算：0.1252020×（﹣8）2021＝ ﹣8 ． 【解答】解：0.1252020×（﹣8）2021 ＝0.1252020×82020×（﹣8） ＝（0.125×8）2020×（﹣8） ＝12020×（﹣8） ＝1×（﹣8） ＝﹣8．
14．（2分）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为 5 ．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边＞4，而＜6．
又第三条边长为整数，
则第三边是5．
15．（2分）如果方程组{x =4ax +by =5的解与方程组{y =3bx +ay =2
的解相同，则a +b ＝ 1 ． 【解答】解：依题意，知{x =4y =3是方程组{ax +by =5bx +ay =2
的解， ∴{4a +3b =5①3b +4a =2②
①+②，得7a +7b ＝7，
方程两边都除以7，得a +b ＝1．
16．（2分）如图，将四边形纸片ABCD 沿MN 折叠，点A 、D 分别落在A 1、D 1处，若∠1+
∠2＝144°，则∠B +∠C ＝ 108 °．
【解答】解：∵∠1+∠2＝144°，
∴∠AMN +∠DNM =360°−144°2
=108°． ∵∠A +∠D +（∠AMN +∠DNM ）＝360°，∠A +∠D +（∠B +∠C ）＝360°，
∴∠B +∠C ＝∠AMN +∠DNM ＝108°．
故答案为：108．
17．（2分）若m 2＝n +2021，n 2＝m +2021（m ≠n ），那么代数式m 3﹣2mn +n 3的值 ﹣2021 ．
【解答】解：将两式m 2＝n +2021，n 2＝m +2021相减，
得m 2﹣n 2＝n ﹣m ，
（m +n ）（m ﹣n ）＝n ﹣m ，（因为m ≠n ，所以m ﹣n ≠0），
m +n ＝﹣1，
解法一：
将m 2＝n +2021两边乘以m ，得m ³＝mn +2021m ①，
将n 2＝m +2021两边乘以n ，得n ³＝mn +2021n ②，
由①+②得：m ³+n ³＝2mn +2021（m +n ），
m ³+n ³﹣2mn ＝2021（m +n ），
m ³+n ³﹣2mn ＝2021×（﹣1）＝﹣2021．
故答案为﹣2021．
解法二：
∵m 2＝n +2021，n 2＝m +2021（m ≠n ），
∴m 2﹣n ＝2021，n 2﹣m ＝2021（m ≠n ），
∴m 3﹣2mn +n 3
＝m 3﹣mn ﹣mn +n 3
＝m （m 2﹣n ）+n （n 2﹣m ）
＝2021m +2021n
＝2021（m +n ）
＝﹣2021，
故答案为﹣2021．
18．（2分）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．点P 从A 点出发沿A →C →
B 路径向终点运动，终点为B 点；点Q 从B 点出发沿B →
C →A 路径向终点运动，终点为A 点．点P 和Q 分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE ⊥l 于E 、作QF ⊥l 于F ，当点P 运动 1或72或12 秒时，以P 、E 、C 为顶点的三角形和以Q 、F 、C 为顶点的三角形全等．
【解答】解：分为五种情况：①如图1，P 在AC 上，Q 在BC 上，则PC ＝6﹣t ，QC ＝8﹣3t ，
∵PE ⊥l ，QF ⊥l ，
∴∠PEC ＝∠QFC ＝90°，
∵∠ACB ＝90°，
∴∠EPC +∠PCE ＝90°，∠PCE +∠QCF ＝90°，
∴∠EPC ＝∠QCF ，
∵△PCE ≌△CQF ，
∴PC ＝CQ ，
即6﹣t ＝8﹣3t ，
t ＝1；
②如图2，P 在BC 上，Q 在AC 上，则PC ＝t ﹣6，QC ＝3t ﹣8，
∵由①知：PC ＝CQ ，
∴t ﹣6＝3t ﹣8，
t ＝1；
t ﹣6＜0，即此种情况不符合题意；
③当P 、Q 都在AC 上时，如图3，
CP ＝6﹣t ＝3t ﹣8，
t =72
；
④当Q 到A 点停止，P 在BC 上时，AC ＝PC ，t ﹣6＝6时，解得t ＝12．
⑤P 和Q 都在BC 上的情况不存在，因为P 的速度是每秒1cm ，Q 的速度是每秒3cm ； 答：点P 运动1或72或12秒时，以P 、E 、C 为顶点的三角形上以O 、F 、C 为顶点的三角形全等．
故答案为：1或72或12．
三、解答题：本大题共10小题，共64分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。

作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔。

19．（6分）计算：
（1）(π−3)0−22+(12)−3；
（2）x 3•x 5﹣（2x 4）2+x 10÷x 2．
【解答】解：（1）原式＝1﹣4+8
＝5；
（2）原式＝x 8﹣4x 8+x 8
＝﹣2x 8．
20．（6分）将下列各式分解因式：
（1）4x 2﹣9；
（2）2x 2y ﹣8xy +8y ．
【解答】解：（1）原式＝（2x +3）（2x ﹣3）；
（2）原式＝2y （x 2﹣4x +4）＝2y （x ﹣2）2．
21．（6分）解方程组与不等式组：
（1）{x +2y =0①3x +4y =6②； （2）{x −2(x −1)≥21+x 3
＞x −1． 【解答】解：（1）{x +2y =0①3x +4y =6②
， ②﹣①×2，得x ＝6，
将x ＝6代入①，得，6+2y ＝0，
解得y ＝﹣3，
则{x =6y =−3
；
（2）解不等式x ﹣2（x ﹣1）≥2，得x ≤0，
解不等式1+x 3＞x −1，得x ＜2，
则不等式组的解集为x ≤0．
22．（6分）如图，在方格纸内将△ABC 经过平移后得到△A ′B ′C ′，图中标出了点B 的
对应点B ′．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图：
（1）补全△A ′B ′C ′；
（2）画出AC 边上的中线BD ；
（3）求△ABD 的面积 4 ．
【解答】解：（1）如图所示，△A ′B ′C ′即为所求作三角形．
（2）如图所示，BD 为AC 边上的中线；
（3）如图所示，S △ABD ＝4×6−12×1×2−12×4×6−12
×（1+6）×2＝24﹣1﹣12﹣7＝4， 故答案为：4．
23．（6分）先化简，再求值：（2x +y ）2+（x ﹣y ）（x +y ）﹣5x （x ﹣y ），中x ＝﹣2，y ＝2．
【解答】解：原式＝4x 2+4xy +y 2+x 2﹣y 2﹣5x 2+5xy
＝9xy ，
当x ＝﹣2，y ＝2时，
原式＝9×（﹣2）×2
＝﹣36．
24．（6分）如图，△ABC 与△DCB 中，AC 与BD 交于点E ，且∠ABC ＝∠DCB ，AB ＝DC ．
（1）求证：△ABC ≌DCB ；
（2）当∠EBC ＝30°，求∠AEB 的度数．
【解答】（1）证明：在△ABC 和△DCB 中，
{AB =DC ∠ABC =∠DCB BC =CB
∴△ABC ≌△DCB （SAS ）；
（2）解：∵由（1）知，△ABC ≌△DCB ，
∴∠EBC ＝∠ECB ＝30°，
∴∠EBC +∠ECB ＝∠AEB ＝60°．
25．（6分）已知非负数x 、y 满足
x−24=3−y 3=k ，设L ＝2x +y ﹣3k ． （1）求k 的取值范围；
（2）求满足条件的L 的所有整数值．
【解答】解：（1）∵x−24=3−y 3=k ，
∴x ＝4k +2，y ＝3﹣3k ，
∵x 、y 是非负数，
∴{4k +2≥03−3k ≥0
， ∴−12≤k ≤1；
（2）把x ＝4k +2，y ＝3﹣3k 代入L ＝2x +y ﹣3k 得：
L ＝2（4k +2）+（3﹣3k ）﹣3k ＝2k +7，
由（1）知−12≤k ≤1，
∴﹣1≤2k ≤2，
∴6≤2k +7≤9，即6≤L ≤9，
∴满足条件的L 的所有整数值有：6，7，8，9．
26．（6分）某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐
则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同；购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
【解答】解：（1）设购买《北上》的单价为x 元，《牵风记》的单价为y 元，
由题意得：{2x +y =1006x =7y
， 解得{x =35y =30
． 答：购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；
（2）设购买《北上》的数量为n 本，则购买《牵风记》的数量为（50﹣n ）本，
根据题意得{
n ≥12(50−n)35n +30(50−n)≤1600， 解得：1623≤n ≤20，
则n 可以取17、18、19、20，
当n ＝17时，50﹣n ＝33，共花费17×35+33×30＝1585（元）；
当n ＝18时，50﹣n ＝32，共花费18×35+32×30＝1590（元）；
当n ＝19时，50﹣n ＝31，共花费19×35+31×30＝1595（元）；
当n ＝20时，50﹣n ＝30，共花费20×35+30×30＝1600（元）；
所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．
27．（8分）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云
不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
（1）在不等式①2x ﹣1＜0，②x ≤2，③x ﹣（3x ﹣1）＜﹣5中，不等式x ≥2的“云不等式”是 ②③ ；（填序号）
（2）若关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣3＜x+m的“云不等式”，求m的取值范围；
（3）若a≠﹣1，关于x的不等式x+3≥a与不等式ax﹣1＜a﹣x互为“云不等式”，求a 的取值范围．
【解答】解：（1）不等式不等式2x﹣1＜0和x≥2没有公共解，故①不是不等式x≥2的“云不等式”；
不等式不等式x≤2和x≥2有公共解，故②是不等式x≥2的“云不等式”；
不等式不等式x﹣（3x﹣1）＜﹣5和x≥2有公共解，故③是不等式x≥2的“云不等式”；
故答案为：②③；
（2）解不等式x+2m≥0可得x≥﹣2m，
解不等式2x﹣3＜x+m得x＜m+3，
∵关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣3＜x+m的“云不等式”，
∴﹣2m≥m+3，
解得m≤﹣1，
故m的取值范围是m≤﹣1；
（3）①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，依题意有a﹣3＜1，即a＜4，故﹣1＜a＜4；
②当a+1＜0时，即a＜﹣1时，始终符合题意，故a＜﹣1；
综上，a的取值范围为a＜﹣1或﹣1＜a＜4．
28．（8分）（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8．求BC边上的中线AD 的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE．利用全等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是SAS，中线AD的取值范围是
3 2＜AD＜
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2；
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN．求证：BM+CN＞MN；
（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由．
【解答】（1）阅读理解：解：如图1中，∵AD 是BC 边上的中线，
∴BD ＝CD ，
∵AD ＝DE ，∠ADC ＝∠BDE ，
∴△ACD ≌△EBD （SAS ），
∴BE ＝AC ＝8，
在△ABE 中，由三角形的三边关系得：BE ﹣AB ＜AE ＜BE +AB ，
∴8﹣5＜AE ＜8+5，即3＜AE ＜13，
∴32＜AD ＜132
， 故答案为：SAS ，32
＜AD ＜132．
（2）问题解决：证明：如图2中，延长ND 至点F ，使FD ＝ND ，连接BF 、MF ，
同（1）得：△BFD ≌△CND （SAS ），
∴BF ＝CN ，
∵DM ⊥DN ，FD ＝ND ，
∴MF ＝MN ，
在△BFM 中，由三角形的三边关系得：BM +BF ＞MF ，
∴BM +CN ＞MN ．
（3）问题拓展：解：结论：2AD ＝MN ，AD ⊥MN ．
理由：如图3中，延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，延长DA交MN于G．
由（1）得：△BAD≌△CED，
∴∠BAD＝∠E，AB＝CE，
∵∠BAM＝∠NAC＝90°，
∴∠BAC+∠MAN＝180°，
即∠BAD+∠CAAD+∠MAN＝180°，
∵∠E+∠CAD+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝∠MAN，
∵△ABM和△ACN是等腰直角三角形，
∴AB＝MA，AC＝AN，
∴CE＝MA，
∴△ACE≌△NAM（SAS），
∴AE＝MN，∠EAC＝∠MNA，
∴2AD＝MN．
∵∠NAC＝90°，
∴∠EAC+∠NAG＝90°，
∴∠MNA+∠NAG＝90°，
∴∠AGN＝90°，
∴AD⊥MN．。