2023-2024学年上海南模中学高二上学期数学月考试卷及答案(2023.12)

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南模中学2023学年第一学期高二年级数学阶段考
2023.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第16∼题每题4分,第7-12题每题5分） 1．在空间四边形ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上依次取E 、F 、G 、H 四个中点，当对角线AC BD =时，四边形EFGH 是______形．
2．课本必修第三册80页上介绍了“多面体的欧拉定理”：简单多面体的顶点数V 、棱数E 与面数F 之间具有关系：______
3．在边长为3的正方体1111ABCD A B C D −中平面1AB C 与平面11A DC 之间的距离为 ． 4．某校按分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生进行调查，从三个年级中抽取的人数比为如图所示的扇形面积比，已知高二年级共有学生1200人，并从中抽取了40人，则从高一年级中抽取______人．
（第4题） （第7题）
5．正三棱锥的底面边长为2 cm ，高为1 cm ，则此正三棱锥的侧面积为______cm 2． 6．某医院计划从甲、乙、丙3位男医生和A ，B ，C ，D 4位女医生中随机选派2位到某乡镇义诊，则这2位医生包括甲的概率为______．
7．如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为a 的正三角形，点C ，D 是底面弧AB 的两个三等分点，则SC 与BD 所成角的正切值为______．
8．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，A （B 极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050
米，超过珠
2
穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长53米，高18米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积为______m 3．
（第8题） （第9题）
9．如图，在边长为2正方体1111ABCD A B C D −中，E 为BC 的中点，点P 在正方体表面上移动，且满足11B P D E ⊥，则点1B 和满足条件的所有点P 构成的图形的周长是______． 10．已知三棱锥P ABC −的四个顶点在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2PA AB BC ===，
PB 与平面PAC 所成的角为30°，则球O 的表面积为______．
11．设函数()(1)1
x
f x ax x x =+
>−，a 是从1，2，3三个数中任意取一个数，b 是从2，3，4，5四个数中任意取一个数，则()f x b >恒成立的概率是______．
12．如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，1
1AB BB ==
，BC =90ABC ∠=°，CH xCB = ，()101,01C yCB x y P =
<≤≤≤
．记(),f x y AH HP =+，给出下列四个结论：①对于任意点H ，都不存在点P ，使得平面AHP ⊥平面11A B P ； ②(),f x y
③满足(),3f x y =的点P 有无数个；
④当(),f x y 取最小时，过点A ，H ，P 作三棱柱的截面，则截面
______．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
13．某植物种植商购进了一批花的球根，从中随机选取了200个球根种植，调查这批花的球根发芽情况，最后有4个不发芽．则下面说法正确的是（）
A．调查方式是普查B．样本是200个球根
C．这批花只有196个球根发芽D．这批花约有2%的球根不发芽
14．已知圆锥的底面积为π，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥外接球的体积为（）
A
B．
32
27πC．
16
9πD
15．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c（a，b，c∈（0，1）），且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．则哪种方案能通过考试的概率更大（）A．方案一B．方案二C．相等D．无法比较16．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是（）
A．54 B
．108−C
．162−D
．81−
3
4
三、解答题
17．面对某种新型冠状病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A 、B 、C 三个独立的研究机构在一定的时期研制出疫苗的概率分别为：
15，14，13
． （1）求这种疫苗能被研制出的概率；（2）求至多有一个机构研制出这种疫苗的概率．
18．如图所示，正方形O A B C ′′′′是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图，其中1O A ′′=． （1）画出原图形并求原图形的面积；
（2）将原图形以OA 所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，说明该几何体是由我们学过的哪些简单几何体构成，并求该几何体的表面积与体积．（注：图形OABC 与正方形O A B C ′′′′的各点分别对应，如OB 对应直观图中的O B ′′）
5
19．如图，已知长方体1111ABCD A B C D −，2AB =，11AA =，直线BD 与平面11AA B B 所成角为30°，AE 垂直BD 于E ．
（1）若F 为棱11A B 的动点，试确定F 的位置，使得AE ∥平面1BC F ，并说明理由； （2）若F 为棱11A B 的中点，求点A 到平面BDF 的距离．
6
参考答案
一、填空题
1.菱;
2.2V F E +−=
50
; 5.2
7
8.2530π; 9.
92; 10.12π； 11.5
6
12.①②③④ 11．设函数()(1)1
x
f x ax x x =+
>−，a 是从1，2，3三个数中任意取一个数，b 是从2，3，4，5四个数中任意取一个数，则()f x b >恒成立的概率是______． 【答案】
5
6
【解析】当1a =时，()11
1124111
x f x x x x x x x =+
=++=−++≥−−−， 当且仅当2x =时等号成立，则2,3b =满足题意； 当2a =时，(
)112212233111
x f x x x x x x x =+=++=−++≥+−−−，
当且仅当1x
=+时等号成立，则2,3,4,5b =满足题意； 当3a =时，(
)11
3313344111x f x x x x x x x =+=++=−++≥−−−
当且仅当1x =
+时等号成立，则2,3,4,5b =满足题意； 由古典概型的概率公式得:105
126
P ==. 12．如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，1
1AB BB ==
，BC =90ABC ∠=°，CH xCB = ，()101,01C yCB x y P =
<≤≤≤
．记(),f x y AH HP =+，给出下列四个结论：①对于任意点H ，都不存在点P ，使得平面AHP ⊥平面11A B P ； ②(),f x y
③满足(),3f x y =的点P 有无数个；
④当(),f x y 取最小时，过点A ，H ，P
．其中所有正
7
确结论的序号是______．
【答案】①②③④
【解析】 直三棱柱111ABC A B C −中
,11,90AB BB BC ABC ==∠= , 1,(01,01)剟?CH xCB CP yCB x y ==< ,1BB ∴⊥平面111A B C ,
又11A B ⊂平面111111,A B C BB A B ∴⊥,111
90,90ABC A B C ∠=∴∠= , 1111A B B C ∴⊥,1111111,BB B C B BB B C ∩=
⊂、平面1111,BB C C A B ∴⊥平面11BB C C , 对于任意点H ,都存在点P ,使得平面AHP ⊥平面11A B P ,故命题①正确;
将ABC ∆绕BC 翻折到平面1BB C 内,则AH HP +的最小值为点A 到直线1B C 的距离,
又1
1,AB BB BC ===190,90ABC B BC ∠=∠= ,112,
AC CB AB ∴===
∴点A 到直线1B C
,()f x,y ∴
,故②正确;
当()f x,y 取最小值时,P 为1B C 的中点,1AB C ∆ 为等边三角形,点B 为线段1AB 的中点, H ∴为1AB C ∆的重心,13
BH BC ∴=,在平面11BCC B 中,延长HP 11,,B C M 交于
8
111112,,,,3PC PB PB M PCH B PM HPC PB M PCH B M CH =∠=∠∠=∠∴∆≅∆∴== 取1B M 的中点为,Q N 为11A C 的中点,则MN 1A Q ,
11//,,BH B Q BH B Q =∴ 四边形1BB QH 是平行四边形,11//,,HQ BB HQ BB ∴=
11111/,,//,//,,,AA BB AA BB A Q AH MN AH A H P =
∴∴∴ 过点的三棱柱的截面//,MN AH ∴∴过点,,A H P 的三棱柱的截面为梯形AHMN
,
AH
11
2MN A Q ==
MH =
AN =
=
,过点M 作MG AH ⊥,设,HG x AG y ==,
222MH HG AG =+ ,()2
22AN AG MN NG =−+,222
4
3
x y MH ∴+=
=
,2
22x y =++
,x y ∴
=,∴四边形AHNM 的面积2MN AH S +=
,
AG =
=
∴过点,,A H P
,故④正确;
当HB 时,3
2…AH ,则12剟AH HP AH HB AH ++,过H 作HR BC ⊥,垂足为R , 则…AH HP AH HR ++,2,23…AH HR AH HC AH +<+<∴又对于任意的点H ,
当HB 时,都存在对应的点P ,满足3AH HP +=,故满足()3f x,y =的点P 有无数个,故③正确. 故答案为:①②③④ 二、选择题
13. D 14.A 15. A 16.C
15．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a ，b ，c （a ，b ，c ∈（0，1）），且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．则哪种方案能通过考试的概率更大（ ） A ．方案一
B ．方案二
C ．相等
D ．无法比较
9
【答案】A
【解析】设三门考试课程考试通过的事件为A B C 、、,相应的概率为a b c 、、, 则考试三门课程,至少有两门及格的事件为,ABC ABC ABC ABC +++ 其概率()()()11112P ab c a b c a bc abc ab ac bc abc =−+−+−+=++− 设在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格的概率为2P ,则213
131
3P ab ac bc =++, 结合121
112333P P ab ac bc abc ab ac bc −=++−−++
()()()()22222333332
11103ab ac bc abc ab ac bc abc ab c ac b bc a =++−=++− =−+−+−>
可得12P P >,即用方案一的概率大于用方案二的概率. 故选:A.
16．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是（ ） A ．54
B
．108−
C
．162−
D
．81−
【答案】C
【解析】根据题意,如图,把魔方的中间一层转动了45 ,俯视图如图,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,由图形的对称性可知，A CD ∆′为等腰直角三角形, 设直角边为A C x ′=,
则斜边为CD =,
故(23AB x =+=,
可得3x =−
.
10
由几何关系得
:2
127324A CD
S ′∆ =×−=−
故所求面积27633161624S =××+×−′−
故选C 三．解答题
17.（1）
3
5
（2）56
18．如图所示，正方形O A B C ′′′′是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图，
其中1O A ′′=． （1）画出原图形并求原图形的面积；
（2）将原图形以OA 所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，说明该几何体是由我们学过的哪些简单几何体构成，并求该几何体的表面积与体积．（注：图形OABC 与正方形O A B C ′′′′的各点分别对应，如OB 对应直观图中的O B ′′）
【答案】（1
）1S =×
（2
）(2
18.V =π××=π
【解析】(1)由正方形O A B C ′′′′是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图,其中1O A ′′=, 得到平面图形OABC ,四边形OABC 是平行四边形
,1,OA OB ==如图, ∴
原图形的面积1S =
×(2)得到的几何体是一个组合体,其形状是圆柱一侧挖去一个圆锥,另一侧又多出一个相同的圆锥,∴该几何体的表面积为
:
212S =π×+π×
该几何体的体积为:(2
18.V =π××=π
19．如图，已知长方体1111ABCD A B C D −，2AB =，11AA =，直线BD 与平面
1
1AA B B 所
11
成角为30°，AE 垂直BD 于E ．
（1）若F 为棱11A B 的动点，试确定F 的位置，使得AE ∥平面1BC F ，并说明理由；
（2）若F 为棱11A B 的中点，求点A 到平面BDF 的距离．
【答案】（1）当
11113B F B A =时,//AE 平面1AC F （2
【解析】(1)当11113
B F B A =时,//AE 平面1A
C F ,证明如下: 延长AE 交C
D 于点M ,因为AD ⊥平面11ABB A
所以DBA ∠就是直线BD 与平面11ABB A 所成的角,即30DBA ∠= ,
所以30AD ABtan == 由AE BD ⊥,所以30DAE ∠= ,2303DM ADtan ==
, 在11C D 上取点N ,使得123D N =
,连结MN ,1A N , 因为11113B F B A =,则11124,33
B F A F
C N ===,又11//A F C N ,所以11A FC N 是平行四边形, 则1111//,,//A N FC
D N DM D N DM =,则1D NMD 是平行四边形, 所以111
1////,MN DD AA MN DD AA ==所以1A AMN 是平行四边形,所以1//AM A N , 所以1//AM C F ,又AM ⊄平面11,BC F C F ⊂平面1BC F ,所以//AM 平面1BC F , 即//AE 平面1BC F
;
12 (2)
因为122ABD S ==,
所以113F ABD V −=×=,
由长方体的性质可得，BF BD DF =,所以222BF FD BD +=, 所以BF DF ⊥,
所以12BDF S ∆=设点A 到平面BDF 的距离为h ,则由A BDF F ABD V V −−=可得
,13×
所以h =
,故点A 到平面BDF
;。