江苏省泰州市2016届高三上学期期末考试数学试题讲解

江苏省泰州市2016届高三上学期期末考试
数学试题
(考试时间：120分钟 总分：160分)
命题人：朱占奎 张圣官 张 俊 吴春胜
审题人：吴卫东 唐咸胜
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1．已知集合{}
2
1A x x =≤，集合{}2,1,0,1,2B =--，则A
B = ▲ ．
2．如图，在复平面内，点A 对应的复数为1z ，若2
1
i z z =（i 为虚数单位）， 则2z = ▲ ．
3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2
212
x y -=的实轴长为 ▲ ．
4．某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方 法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从男学生中抽取的人数为100 人，那么n = ▲ ．
5．执行如图所示的伪代码，当输入,a b 的值分别为1,3时，最后输出的a 的值为 ▲ ．
6．甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为15，甲乙下成和棋的概率为25
，则乙不输棋的概率为 ▲ ．
7．已知直线(0)y kx k =>与圆22
:(2)1C x y -+=相交于,A B
两点，若AB =
， 则k = ▲ ．
8．若命题“存在2
0,4R x ax x a ∈++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
9．如图，长方体1111ABCD A BC D -中，
O 为1BD 的中点，三棱锥 O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12
V
V
1
A （第2题）
的值为 ▲ ．
10．已知公差为2的等差数列{}n a 及公比为2的等比数列{}n b 满足11220,0a b a b +>+<， 则33a b +的取值范围是 ▲ ．
11．设()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()2ln
4
x
x
f x =+，记(5)n a f n =-，则数列 {}n a 的前8项和为 ▲ ．
12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 分别为x 轴，y 轴上一点，且2AB =，若点
P ，则AP BP OP ++的取值范围是 ▲ ．
13．若正实数,x y 满足2(21)(52)(2)xy y y -=+-，则12x y
+
的最大值为 ▲ ． 14．已知函数π()sin()cos cos()262
x x f x A x θ=+--（其中A 为常数，(π,0)θ∈-），若实数123,,x x x 满
足：①123x x x <<，②31x x -<2π，③123()()()f x f x f x ==，则θ的值为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）
在ABC ∆中，角,A B 的对边分别为,a b ，向量(cos ,sin ),(cos ,sin )A B B A ==m n ． （1）若cos cos a A b B =，求证：//m n ； （2）若⊥m n ,a b >，求tan
2
A B
-的值．
如图，在三棱锥P ABC -中，90PAC BAC ∠=∠=︒，PA PB =，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．
（1）求证：直线//DF 平面PAC ；
（2）求证：PF ⊥AD ．
17．（本题满分14分）
一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以v 5的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ． （1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域；
（2）求时间T 最短时cos θ的值．
18．（本题满分16分）
已知数列{},{}n n a b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．
（1）若数列{}n a 是首项为
23，公比为1
3
-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =，求数列{}n a 的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设n n n
a
c b =，求证：数列{}n c 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．
如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆:O 2
2
4x y +=，椭圆:C 2
214
x y +=， A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O
的另一交点为Q ，其中6
(,0)5
D -．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ．
（1）求12k k 的值；
（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若
不存在，说明理由；
（3）求证：直线AC 必过点Q ． 20．（本题满分16分） 已知函数()4
2
12
f x ax x =-
，(0,)x ∈+∞，()()()g x f x f x '=-． （1） 若0a >，求证：
（ⅰ）()f x 在()f x '的单调减区间上也单调递减； （ⅱ）()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点；
（2） 若1a >，记()g x 的两个零点为12,x x ，求证：1244x x a <+<+．
数学试题（附加题）
(考试时间：120分钟 总分：160分)
命题人：朱占奎 张圣官 张 俊 吴春胜
审题人：吴卫东 唐咸胜
21.【选做题】请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答.如果多做，按所做的前两题记分. A ．（几何证明选讲，本题满分10分）
如图,圆O 是ABC ∆的外接圆,点D 是劣弧BC 的中点,连结AD 并延长,与以C 为切点的切线交于点
P ,求证:
PC BD
PA AC
=.
B ．（矩阵与变换，本题满分10分）
已知矩阵1252M x -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
的一个特征值为2-,求2M .
C ．（坐标系与参数方程，本题满分10分） 在平面直角坐标系xoy 中,已知直线11
:()72x t C t y t
=+⎧⎨
=-⎩为参数与椭圆
2cos :(0)3sin x a C a y θθθ
=⎧>⎨=⎩为参数,的一条准线的交点位于y 轴上,求实数a 的值.
D ．（不等式选讲，本题满分10分）
已知正实数,,a b c 满足2
3
1a b c ++=，求证：
24
627111
a b c
++≥.
P
22．【必做题】（本题满分10分）
如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC = 3，BC = 4，AB = 5，AA 1 = 4． （1）设λ=，异面直线AC 1与CD
，求λ的值； （2）若点D 是AB 的中点，求二面角D —CB 1—B 的余弦值．
23. 【必做题】（本题满分10分）
已知,N*k m ∈，若存在互不相等的正整数12,,a a …,m a ，使得1223,,a a a a …11,,m m m a a a a -同时小于k ，则记()f k 为满足条件的m 的最大值． （１） 求(6)f 的值；
（２） 对于给定的正整数n (1)n >，
（ⅰ）当(2)(1)(2)n n k n n +<≤++时，求()f k 的解析式； （ⅱ）当(1)(2)n n k n n +<≤+时，求()f k 的解析式．
1A
参考答案
一、填空题
1．}{
1,0,1-； 2．2i --；
3． 4．200； 5．5； 6．
45； 7．12； 8．(2,)+∞； 9．1
2
； 10．(,2)-∞-； 11．16-； 12．[7,11]；
13．12
- ； 14．23π-. 二、解答题
15. 证明：（1）因为cos cos a A b B =，
所以sin cos sin cos A A B B =，所以//m n . ……………7分 （2）因为⊥m n ，所以cos cos sin sin 0A B A B +=，即cos()0A B -=， 因为a b >，所以A B >，又,(0,)A B π∈，所以(0,)A B π-∈，则2
A B π
-=，…12分
所以tan
tan 124
A B π
-==. ……………14分 16. 证明（1）∵点D ，F 分别为BC ，AB 的中点，
∴//DF AC ，
又∵DF ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，
∴直线//DF 平面PAC ． ……………6分
（２）∵90PAC BAC ∠=∠=︒， ∴AC AB ⊥，AC AP ⊥，
又∵AB
AP A =，,AB AP 在平面PAB 内，
∴AC ⊥平面PAB ， ……………8分 ∵PF ⊂平面PAB ，∴AC PF ⊥，
∵PA PB =，F 为AB 的中点，∴PF AB ⊥， ∵AC PF ⊥，PF AB ⊥，AC
AB A =，,AC AB 在平面ABC 内，
∴PF ⊥平面ABC ， ……………12分
∵AD ⊂平面ABC ，∴AD PF ⊥． ……………14分
17. 解：（1）过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，
1sin sin OG OF θθ==，11sin EF θ
=+，AE θ=，
所以11()5656sin 6AE EF T v v v v v
θθθ=+=++，[,]44θ∈π3π．……7分
（写错定义域扣1分）
（2）11
()56sin 6T v
v v
θ
θθ=
+
+，
22221cos 6sin 5cos (2cos 3)(3cos 2)
()56sin 30sin 30sin T v v v v θθθθθθθθθ
-+-'=-==-，…………9分
记02cos
θ=
，0[,
]θ∈π3π
，
故当cos 3
θ=
时，时间T 最短． …………14分 18. 解：（1）因为1211()2()333
n n
n a -=-=--，
21[(1()]
113
3[(1()]1231()3
n n n S --==----， …………2分 所以11()2131222()23
n
n n n n S b a --===+--+．
…………4分 （2）若n b n =，则22n n S na n =+，∴112(1)2n n S n a ++=++， 两式相减得112(1)2n n n a n a na ++=+-+，即1(1)2n n na n a +=-+， 当2n ≥时，1(1)(2)2n n n a n a --=-+，
两式相减得11(1)(1)2(1)n n n n a n a n a -+-+-=-，即112n n n a a a -++=， …………8分 又由1122S a =+，22224S a =+得12a =，23a =， 所以数列{}n a 是首项为2，公差为321-=的等差数列， 故数列{}n a 的通项公式是1n a n =+． …………10分
（3）由（2）得1
n n c n
+=
， 对于给定的*
n N ∈，若存在*
,,,k t n k t N ≠∈，使得n k t c c c =⋅， 只需
111
n k t n k t
+++=⋅，
即1111(1)(1)n k t +
=+⋅+，即1111n k t kt =++，则(1)n k t k n +=-， …………12分 取1k n =+，则(2)t n n =+，
∴对数列{}n c 中的任意一项1n n c n +=，都存在12
1n n c n ++=+和222
2212n n n n c n n
+++=+使得212n n n n c c c ++=⋅． …………16分 19．解：（1）设00(,)B x y ，则00(,)C x y --，2
20014
x y += 所以22
00012220000111
422424
x y y y k k x x x x -
=
⋅===--+--． …………4分 （2）联立122
(2)4y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222
111(1)44(1)0k x k x k +-+-=， 解得211
122
11
2(1)4,(2)11P P P k k x y k x k k --==-=++，
联立122
(14
y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得2222111(14)164(41)0k x k x k +-+-=，
解得211
122
11
2(41)4,(1414B B B k k x y k x k k --===++， …………8分 所以121241
B B
C B y k
k x k -=
=-，1
21122112141562(1)641515
P PQ P k y k k k k k x k -+-===--++
+，
所以52PQ BC k k =
，故存在常数52λ=，使得5
2
PQ BC k k =． …………10分 （3）当直线PQ 与x 轴垂直时，68
(,)55
Q --，
则28156225
AQ k k -
===--，所以直线AC 必过点Q ． 当直线PQ 与x 轴不垂直时，直线PQ 方程为：12
156
()415
k y x k -=
+-，
联立1212256()4154
k y x k x y -⎧=+⎪-⎨⎪+=⎩
，解得21122
112(161)16,161161Q Q k k x y k k --==++， 所以1212211
211616112(161)42
161
AQ
k k k k k k k +==-=---+，故直线AC 必过点Q ． …………16 分 （不考虑直线PQ 与x 轴垂直情形扣1分） 20. 证：（1）因为()()4
2
102
f x ax x x =-
>，所以3()4f x ax x '=-， 由32(4)1210ax x ax '-=-<得()f x '
的递减区间为， …………2 分
当x ∈时，32()4(41)0f x ax x x ax '=-=-<， 所以()f x 在()f x '的递减区间上也递减． …………4 分
（2）解1：()()()4
2343211
(4)422g x f x f x ax x ax x ax ax x x '=-=-
--=--+， 因为0x >，由()4321402g x ax ax x x =--+=得32
14102
ax ax x --+=，
令321()412x ax ax x ϕ=--+，则2
1()382x ax ax ϕ'=--，
因为0a >，且1
(0)02
ϕ'=-<，所以()x ϕ'必有两个异号的零点，记正零点为0x ，则0(0,)x x ∈时，
()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，若()x ϕ在(0,)+∞上恰有两
个零点，则0()0x ϕ<， …………7 分
由2
0001()3802x ax ax ϕ'=--
=得2001382
ax ax =+， 所以0003217()939x ax x ϕ=--+，又因为对称轴为4,3x =所以81
()(0)032ϕϕ==-<， 所以08733x >>，所以0003217
()()0933
x ax x ϕ=-
--<， 又3222
111()41(8)(1)1222
x ax ax x ax x x ax ϕ=--+=-+-+，
中的较大数为M ，则()0M ϕ>， 故0a >()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点． …………10 分
解2：()()()4
2343211(4)422
g x f x f x ax x ax x ax ax x x '=-=---=--+， 因为0x >，由()4321402g x ax ax x x =--+=得3214102
ax ax x --+=， 令321()412x ax ax x ϕ=--+， 若()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点，则()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点，
当2x =时， 由()0x ϕ=得0a =，此时1()12x x ϕ=-
+在(0,)+∞上只有一个零点，不合题意； 当2x ≠时，由321()4102x ax ax x ϕ=--+=得32
1422
x x a x -=-， …………7 分 令322148()2422
x x x x x x x ϕ-==-----， 则22
122572[()]2(58)24()0(2)(2)x x x x x x x x ϕ-+-+'==>--， 当(0,2)x ∈时，()x ϕ单调递增，且由2824,2
y x x y x =--=--值域知 ()x ϕ值域为(0,)+∞；当(2,)x ∈+∞时，1()x ϕ单调递增，且1(4)0ϕ=，由282
4,2y x x y x =--=--值域知()x ϕ值域为(,)-∞+∞；
因为0a >，所以102a >，而12y a
=与1()x ϕ有两个交点，所以1()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点． …………10 分 （3）解1：由（2）知，对于321()412
x ax ax x ϕ=--
+在(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ， 不妨设12x x <，又因为(0)10ϕ=>，11()(67)028a ϕ=-<，所以1102x <<，……12 分
又因为(4)10ϕ=-<，91()(65710)028a ϕ=->，所以2942
x <<， 所以121945422
x x a <+<+=<+． …………16 分 解2：由（2）知32
1422
x x a x -=-， 因为[0,2)x ∈时，1()x ϕ单调递增，17()212ϕ=，111111(0)0()()22x a ϕϕϕ=<=<， 所以1102
x <<， …………12 分
当(2,)x ∈+∞时，1()x ϕ单调递增，1981()220ϕ=，112119(4)0()()22x a ϕϕϕ=<=<， 所以2942
x <<， 所以121945422
x x a <+<+=<+． …………16 分
附加题参考答案
21.A ．证明：连结CD ，因为CP 为圆O 的切线，
所以PCD PAC ∠=∠,
又P ∠是公共角，所以PCD ∆～PAC ∆， ……………5分 所以PC CD PA AC
= , 因为点D 是劣弧BC 的中点,所以CD BD =,即
PC BD PA AC =. ……………10分 21.B . 解：2λ=-代入21
2(1)(5)052x x x λλλλ+-=---+=--，得3x = 矩阵12532M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
……………5分 ∴2
64514M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ……………10分 21.C . 解：直线1C ：29x y +=，
椭圆2C :22
2
1(03)9y x a a +=<<， …………………………5分
准线：y =
9=
得，a =…………………………10分
21.D .证明：因为正实数,,a b c 满足231a b c ++=，
所以1≥23127
ab c ≤， …………………………5分 所以23
127ab c ≥
因此，24611127a b c ++≥≥ ……………………10分 22. 解：（１）由AC = 3，BC = 4，AB = 5得
090ACB ∠= ……………１分
以CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建
立如图所示的空间直角坐标系．则Ａ(3,0,0)，1C (0,0,4)，B(0,4,0)，设
D(x,y,z)，则由AB AD λ=得(33,4,0)CD λλ=-，而1(3,04)
AC =-，
根据||50=解得，15λ=或13λ=- ……………５分 （２）13(,2,0),(0,4,4)2CD CB ==，可取平面1CDB 的一个法向量为1(4,3,3)n =-；
…………………………７分
而平面1CBB 的一个法向量为2(1,0,0)n =，并且12,n n <>与二面角D —CB 1—B 相等，
所以二面角D —CB 1—B
的余弦值为12cos cos ,n n θ=<>= ………１０分 （第（１）题中少一解扣１分；没有交代建立直角坐标系过程扣1分．第（２）题如果结果相差符号扣１分．）
23. 解：（1）由题意，取121,2a a ==，126a a <，满足题意，
若33a ∃≥，则必有236a a ≥，不满足题意，
综上所述：m 的最大值为2，即(6)2f =． ………………4分
（２）由题意，当(1)(1)(2)n n k n n +<≤++时，
设1{
1,2,A =…,}n ，2{1,2,3,A n n n =+++…}， 显然，∀11,i i a a A +∈时，满足1(1)(1)i i a a n n n n k +≤-<+<，
∴从集合1A 中选出的i a 至多n 个，
∀12,j j a a A +∈时，1(1)(2)j j a a n n k +≥++≥，
∴从集合2A 中选出的j a 必不相邻，
又∵从集合1A 中选出的i a 至多n 个，
∴从集合2A 中选出的j a 至多n 个，放置于从集合1A 中选出的i a 之间，
∴()2f k n ≤， ………………6分 （ⅰ）当(2)(1)(2)n n k n n +<≤++时，
取一串数i a 为：1,2,2,21,3,22,n n n --…,1,2,,1n n n n -++， 或写成1, 221,2
i i i a i n i +⎧⎪=⎨⎪+-⎩为奇数为偶数，（12i n ≤≤），
此时1(2)i i a a n n k +≤+<，(121i n ≤≤-),211n a a n k =+<，满足题意，
∴()2f k n =， ………………8分 （ⅱ）当(1)(2)n n k n n +<≤+时，
从1A 中选出的n 个i a ：1,2,…,n ，考虑数n 的两侧的空位，填入集合2A 的两个数,p q a a ，不妨设p q na na >，则(2)p na n n k ≥+≥，与题意不符，
∴()21f k n ≤-，
取一串数i a 为：1,21,2,22,3,23,n n n ---…,2,2,1,1,n n n n n -+-+ 或写成1,22,2
i i i a i n i +⎧⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，（121i n ≤≤-）， 此时1(1)i i a a n n k +≤+<，（122i n ≤≤-），211n a a n k -
=<，满足题意， ∴()21f k n =-， ………………10分 （写出（ⅰ）、（ⅱ）题的结论但没有证明各给１分．）。