离散型随机变量的期望

2、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。
求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的 期望。
课堂小结：
1、本节课学习了离散型随机变量ξ的期望及公式：
(1) E x = x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…
(2) E(aξ+b)=aE ξ+b; (3)二项分布 ︰ 若ξ～B（n,p），则Eξ=np
几何分布︰ 若p(ξ=k)=g(k，p)，则Eξ=1/p
复习提问
1、什么是离散型随机变量的分布列？它具有什么性 质？ 2、离散型随机变量的分布列指出了什么？ 3、离散型随机变量分布列能否反映随机变量取值的 平均水平？
随机变量的分布列从概率的角度指出了随机变量的分 布规律，但不能明显反映随机变量取值的平均水平。
问题1 某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
若ξ~B（ n，P），则Eξ= n P。
证明：因为 P(x = k ) = Cnk pk (1- p)n-k
=Cnkpkq
n-k
(令q=1-p),又kCnk=nC
k-1 n-1
所以Eξ=0×Cn0p0q n-1+1×Cn1p1q n-1+…+ k Cnkpkq n-k + …nCnnpnq0=np(C n-10p0q n-1+
+ …+pn+ …) = a E ξ+b
即 E(a ξ+b)= a Eξ+b
问题3 1、设在一次试验中，某事件发生的概率为P，
η是一次试验中此事件发生的次数，求Eη 。
2、
根据上述问题的计算，猜想：若ξ~B（ n，P），则
Eξ=？
1、解：令q=1-p,则P(η =0)= q, P(η=1)=p
=Eη=0×q+1×p,
商场促销问题
假如你 是一位商场经理，在五一那天想 举行促销活动，根据统计资料显示，若在商场 内举行促销活动，可获利2万元；若在商场外 举行促销活动，则要看天气情况:不下雨可获 利10万元，下雨则要损失4万元。气象台预报 五一那天有雨的概率是40%，你应选择哪种促 销方式？
例1、商场促销问题
解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效
C
n-11p1qn-2+
…C
k-1 n-1
pk-1
q(n-1)-(k-1)+
…+
C
n-1 n-1
pn-1
q0)=np(p+q)n-1=np
所以，若ξ~B（ n，P），则Eξ= n P。
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离散型随机变量ξ的期望及公式
1 Eξ= x1 p1+ x2p2+…+ xn pn+… 2 E(a ξ+b)= a Eξ+b 3 二项分布︰ 若ξ~B（ n，P），则Eξ= n P 4 几何分布︰ 若p(ξ=k)=g(k，p)，则Eξ=1/p
分析： （1）P（ξ=k）=0.85 k-1×0.15,（ k=1，2，…， 9） k=10时，前9次取出的都是正品，第10次可能取出 次品，也可能取出正品， 所以P（ξ=10）=0.859×（0.15+0.85）=0.859
（2）写出ξ的分布列，由概率分布可得
练习：
1、某射手共有5发子弹，命中率是0.9，假定射 中目标就停止射击，求射击次数ξ的期望。
ξ 4 5 6 7 8 9 10 p 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
1、 射手在n次射击中，命中4环，5环，…，10环， 大约各多少次？ 2、射手n次射击中，总环数等于多少？ 3、n次射击中，平均环数约等于多少？ 4、对任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列， 即已知各个p(ξ=i)(i=0,1,2,…10)，则可预计射击的 平均环数约等于多少？
2、已知ξ的分布列为
ξ
-1
0
p
1/2 1/3
且设η=2ξ+3，则η的期望值是
1 1/6 （ ）A
A、7/3 C、-1
B、4 D、1
例5. 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选 择题有4个选项其中有且仅有一个选项是正确的答案， 每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分， 满分100分，学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙 则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个，
例3. 随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ 的期望
反思：1、求期望的一般步骤：
1）求出分布列； 2）利用定义求期望。
2、数学期望与算术平均值的关系。
例4. 有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这 批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽 查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数 最多不超过10次。求抽查次数ξ的期望（结果保留三个 有效数字）。
定义 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分 布为
ξ
x1 x2 x3 …… xn ……
p
p1 p2 p3 …… pn ……
则称Eξ= x1 p1+ x2p2+…+ xn pn+…为ξ的数学期望或 平均数、均值，数学期望又简称为期望。
它体现了离散型随机变量取值的平均水平。
问题2 若η=aξ+b，其中a,b为常数，ξ为随机变
益为 x 万元，则 x 的分布列为
x 10 －4
P 0.6 0.4
xE = 10×0.6＋(－4) ×0.4 = 4.4万元 ＞2万元,
故应选择在商场外搞促销活动。 变式1：若下雨的概率为0.6呢? 变式2:下雨的概率为多少时，在商场内、外搞
促销没有区别。
例2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中率得1 分，罚不中得0分，已知某运动员罚球命中的 概率为0.7，求他罚球1次的得分ξ的期望。
量
1、写出随机变量η的分布列； 2、
求η的期望。
解：1、因为P（ η=aξ+b）=P（ξ= xi)=pi ,i=1,2,3,…所 以，η的分布列为：
η ax1+b ax2+b …… axn+b ……
p
p1
p2 …… pn ……
2、Eη= (ax1+b) p1+(ax2+b) p2 + … +( axn+b) pn + … =a(x1 p1+x2 p2+…+xnpn+…)+ b(p1 + p2