高中数学讲义特殊数列求和

特殊数列求和
【知识要点】
高考中对数列求和的方法的考查主要涉及以下几种
1. 直接求和法：直接运用等差数列或等比数列的前n 项和的公式来求和．
2. 转化求和法：对于既非等差，又非等比数列的求和，经常通过拆、并、
减、倒序相加、错位相减等方法，将非等差（比）数列转化为等差（比）数列来求前n 项的和．
3.拆项求和法：如果一个数列的每一项都可化为几项的差，而前一项的减数与后一项的被减数相同，或前一项的被减数与后一项的减数相同，则相加时，中间项全部抵消为零，即可求出前n 顶的和.
4.递推求和法：利用二项式定理及前n 个正整数的较低次幂的和的公式来求数列前n 项的和．
在求数列的前n 项和的时候，应熟记以下公式：
（1）()211+=∑=n n i n
i (2)()()∑=++=n
i n n n i 1
26121 (3)()∑=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡+=n
i n n i 1
2
3
21 (4)01
2n
n n n n C C C +++=
(5)1
121
(,m m m
m m m m m n n C C C C C n m n +++++++
+=≥，*)m N ∈ 【典型例题】
题型1.拆项分组求和
例1.求数列7，77，777，…，777…7，…的前n 项和.
例2.求数列()() ,211128154322111n
n n ⎪⎭⎫
⎝⎛-+--，，，，的前n 项的和.
n 个7
例3.求和()()12121
5
31311+-+
+⨯+⨯n n
例4.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若1
1423132,60,36+-+⨯==+=n n n n a a b a a a a 又求
数列{}n b 的前n 项和n S .
题型3.用并项法求和
例5.求数列() ,1,,4,3,2,11
n n ----的前n 项的和n S .
例6.求()
1
222212341n n S n -=-+-++-的值.
例7.求数列()012
,3,5,
21n n n n n C C C n C -的和n S ．
例8.已知(),lg a xy =求S ，其中()()122lg lg lg lg n n n n S x x y x y y --=++++.
题型5.利用自然数方幂和公式
常用的自然数方幂有：()()()()2
3333222221321;6121321;21321⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+=++++++=+++++=++++n n n n n n n n n n 例9.求证：()2
333321321⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=++++n n n .
例10.求和：()()()n S n +++++++++++= 321321211.
题型6.用错位相减法求和
例11.求n
n 21
2854321-++++ 的和.
题型7.用待定系数法求和
例12.求和：()2
22212531-++++n .
题型8.利用二项式定理求和
例13.求数列,131n C ,92n C ,…,113n n n C --,3n n
n C 的和．
【作 业】
1.数列{}n a 中，()()
12121+-=n n a n ，其前n 项和n S =（ ） A.1+n n B.12+n n C.1-n n D.1
2-n n
2.数列{}n x 满足1
25
31332211-+=
=+=+=+n x x x x x x x x n n
且8321=++++n x x x x ，则首项1x 等于（ ）
A.2n
B.128-n
C.12-n
D.28
n
3.数列5，55，555，…的前n 项的和n S =（ ）
A.81109101--+n n
B.()
811091051--+n n C.81
10910--n n D.()81109105--n n
4.方程
()116
115
264212531=++++-++++n n 的解为n =（ ）
A.110
B.115
C.116
D.231
5.已知数列{}n a ： ,10
9103102101,,434241,3231,21+++++++那么数列{}⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧=+11n n n
a a
b 的前n 项的和n S 为( )
A.1+n n
B.14+n n
C. 13+n n
D. 1
5+n n
6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S =()()12175311--++-+--n n ，则502317S S S ++等于（ ）
A.-10
B.0
C.10
D.22
二.填空题
7.n n 21
2423132+++++ = .
8.若数列{}n a 的前n 项和n S =()n +1log 10
1，则=+++991110a a a .
三.解答题
9.数列{}n a 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧+
=为偶数
为奇数n n n a n n ,2,152求这个数列前m 2项的和（m 为正整数）
10.已知数列()()0≠+=
a b a b ax x x f 为常数，且、其中，其图象经过⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛76,2,53,1两点 （1）当()()11>=-n x f x n n 时，数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n x 1是什么数列？
（2）设a x =1，求这个数列前12+n 项中的奇数项之和奇S 与偶数项之和偶S。