高中数学第六章6.2.1导数与函数的单调性课件新人教B版选择性必修第三册

【解析】从图像可知当-1<x<2或x>5时f′(x)>0,所以f(x)的单调递增区间为 (-1,2),(5,+∞). 答案:(-1,2),(5,+∞)
核心互动探究
探究点一 函数单调区间的判断及求解 【典例1】(1)设f(x)=x-sin x,则f(x) ( ) A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数 C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数 (2)求函数f(x)=3x2-2ln x的单调区间. 【思维导引】(1)利用奇偶性的定义判断f(x)=x-sin x的奇偶性,利用导数判断其 单调性. (2)先求导,令导函数值大于0,得到增区间,令导函数值小于0,得到减区间.
【解析】选D.从原函数y=f(x)的图像可以看出,其在区间(-∞,0)上是减函数, f′(x)<0;在区间(0,x1)上是增函数,f′(x)>0;在区间(x1,x2)上是减函数, f′(x)<0; 在区间(x2,+∞)上是增函数,f′(x)>0.结合选项可知,只有D项满足.
2.已知导函数y=f′(x)的图像如图所示,请根据图像写出原函数y=f(x)的单调 递增区间是________.
6.2 利用导数研究函数的性质 6.2.1 导数与函数的单调性
新课程标准
素养风向标
1.结合实例,借助几何 直观探索并了解函数的 单调性与导数的关系 2.能利用导数研究函数 的单调性 3.会求不超过三次的多 项式函数的单调区间
1.通过数与形的研究,探索导数与函数单调性 的关系(数学抽象) 2.通过新旧方法的比较,体会导数应用的优越 性(数学运算) 3.通过典型问题的解决,强化导数在函数单调 性中的应用意识(数学运算)
2.观察图像,完成下表:
区间 (-∞,a)
y=f(x)
增
切线斜率 _正__
f′(x)
_>_0_
(a,b) _减__
负 _<_0_
(b,+∞) 增 正 >0
结论:在区间(a,b)内函数的单调性与导函数的关系
导函数 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)=0
函数的单调性 单调递_增__ 单调递_减__ 常数函数
()
【思维导引】利用导数的符号判断函数的单调性.
【解析】选D.因为y=-x4+x2+2,
所以y′=-4x3+2x,令y′>0,解得x<- 或2 0<x< ,2
2
2
令y′<0,解得x> 或2 - <2x<0,
2
2
所以函数y=-x4+x2+2(在， 2 ),(0, 上2 )单调递增,在
2
2
上单调递减,所以选D.
结论:函数变化的快慢与导数间的关系 一般地,如果一个函数在某一范围内导数的_绝__对__值__较__大__,那么函数在这个范围内 变化得快,这时函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图像就 比较“平缓”.
【对点练】 1.函数f(x)的图像如图所示,则导函数y=f′(x)的图像可能是 ( )
(2)导数与函数图像的关系:
函数值增加得越来越快, f′(x)>0且越来越大.
函数值增加得越来越慢, f′(x)>0且越来越小.
函数值减小得越来越快, f′(x)<0且越来越小, 绝对值越来越大.
函数值减小得越来越慢, f′(x)<0且越来越大, 绝对值越来越小.
【定向训练】 1.设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f′(x)的图像画在同一个直角 坐标系中,不正确的是 ( )
区间(-1,1)上先增后减.
主题2 函数变化的快慢与导数的关系 1.在同一坐标系中画出函数y=2x,y=3x,y= x ,y=x2,y=x3的图像. 提示:这几个函数的图像如图所示.
2.观察以上函数的图像,当x>0时,函数增长的快慢与各函数的导数值的大小作 对比,你发现了什么? 提示:增长速度快的,导函数值大,增长速度慢的,导函数值小.
2.若函数f(x)=ln x+ 1 x2-bx存在单调递减区间,则实数b的取值范围为 ( )
A.[2,+∞)
2
B.(2,+∞)
C.(-∞,2)
D.(-∞,2]
【解析】选B.由f(x)=lnx+1 x2-bx,可得f′(x)= x2 (bxx>01),由题意可得存
在x>0,使得f′(x)=
x2
2
<bx0,1
减区间为_(_-_∞__,_0_)_.
图③中的函数y=x3的导函数y′=_3_x_2 ,此函数的单调递增区间为_(_-_∞__,_+_∞__)_;
图④中的函数y=
1 x
的导函数y′=___x1_2 _,此函数的单调递减区间为
_(_-_∞__,_0_)_,_(_0_,_+_∞__)_.
(2)根据(1)中的导函数与单调区间之间的关系,思考函数的单调性与导函数的 正、负有什么关系? 提示:根据(1)中的结果可以看出,函数的单调区间与导函数的正负有关,当导函数 在某区间上大于0时,此时对应的函数单调递增,当导函数在某区间上小于0时,此 时对应的函数单调递减.
【解析】(1)选B.因为f(-x)=-x-sin(-x) =-(x-sin x)=-f(x), 所以f(x)为奇函数. 又f′(x)=1-cos)=3x2-2ln x的定义域为(0,+∞),
则f′(x)= 6x 2 6x2 2，
xx
由f′(x)>0得6x2-2>0,即x2> 1，
区间;当a<0时,单调递增区间为( ,+a ∞),单调递减区间为(0, ). a
【补偿训练】求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x3+ 3 .
x
(2)y=xex.
【解析】(1)f′(x)=3x2-
=3 3
x2
(x
2
.
1 x2
)
由f′(x)>0,解得x<-1或x>1;
由f′(x)<0,解得-1<x<1,且x≠0.
【解析】(1)f′(x)=3ax2+1,因为f(x)在区间[-1,1]上单调递增,所以f′(x)
=3ax2+1>0在[-1,1]上恒成立.当x=0时,显然成立,当x≠0时,a>-1 .
3x2
因为- 1在x∈[-1,0)∪(0,1]的最大值为- , 1
3x2
所以a>-
1
.
3
3
故a的取值范围是 ( 1，. )
( 2 , ),( 2 ,0)
2
2
【类题通法】判断函数与导数图像间对应关系的两个关键 第一:要弄清所给图像是原函数的图像还是导函数的图像. 第二:注意以下两个方面: (1)函数的单调性与其导函数的正、负的关系:在某个区间(a,b)内,若f′(x)>0, 则y=f(x)在(a,b)上单调递增;若f′(x)<0,则y=f(x)在这个区间上单调递减;若 恒有f′(x)=0,则y=f(x)是常数函数,不具有单调性.
x
【解析】函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),y′= x<1,且x≠0,故函数 的单调递减区间是(-∞,0)和(0,1). 答案:(-∞,0)和(0,1)
xe
x x2
ex
令 yex′<xx20,1得 ,
3.求函数f(x)= 1 x2+aln x(a∈R,a≠0)的单调区间.
2
【解析】函数定义域为(0,+∞),f′(x)=x+ . a
【解析】定义域为(0,+∞).f′(x)= +21x+a.
x
函数f(x)=ln x+x2+ax在定义域内为增函数,即f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
即 1+2x+a≥0在x>0内恒成立,因此可以得到a≥- ( 1 在2xx) >0时恒成立,a满足:
x
x
a≥
[( 1 x
2x)]max .
因为x>0,所以 1 2x 2 1 2,x当且2 仅2 当x= 时等号成2 立.
基础预习初探
主题1 函数的单调性与导数的关系 1.观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系, (1)观察图像,完成下列填空.
图①中的函数y=x的导函数y′=_1_,此函数的单调递增区间为_(_-_∞__,_+_∞__)_;
图②中的函数y=x2的导函数y′=_2_x_,此函数的单调递增区间为_(_0_,_+_∞__)_,单调递
3
(2)f′(x)=2x+a- .1
x
因为f(x)在区间(0,1]上单调递减,
所以f′(x)<0对任意x∈(0,1]恒成立, 即2x+a-1 <0对任意x∈(0,1]恒成立,
x
所以a<1 -2x对任意x∈(0,1]恒成立.
x
令g(x)= 1 -2x,所以a<g(x)min,易知g(x)在(0,1]上单调递减,所以
探究点三 利用函数的单调性求参数的范围 【典例3】(1)若f(x)=ax3+x在区间[-1,1]上单调递增,求a的取值范围. (2)设函数f(x)=x2+ax-ln x,a∈R,若f(x)在区间(0,1]上单调递减,求实数a的 取值范围. 【思维导引】(1)由f(x)=ax3+x在区间[-1,1]上单调递增,可得出利用不等式 f′(x)>0在[-1,1]上恒成立,确定a的取值范围. (2)把f(x)在区间(0,1]上单调递减,转化为f′(x)≤0对任意x∈(0,1]恒成立.
x
x
即存在x>0,使得x2-bx+1<0,等价于b>x1 + ,由对勾函数性质易得b>2.
x
【补偿训练】函数y=2-3x2在区间(-1,1)上的增减性为 ( )
A.单调递增
B.单调递减
C.先增后减
D.先减后增
【解析】选C.y′=-6x,故当x∈(-1,0)时,y′>0;当x∈(0,1)时,y′<0,所以原函数在
【定向训练】
1.函数y=x3-x2-x的单调递增区间为
()
A.(， 1) 和(1,+∞)
B.( 1，1)
3
C. (， 1) ∪(1,+∞)
3
D. (1，1)
3
3
【解析】选A.y′=3x2-2x-1,令y′>0,得x<-
为 (，和1 )(1,+∞).
3
1或x>1,所以函数的单调递增区间
3
2.函数y= ex 的单调递减区间是________.
【解析】选D.A,B,C均有可能;对于D,若C1为导函数,则y=f(x)应为增函数,不符 合;若C2为导函数,则y=f(x)应为减函数,也不符合.
2.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b] 上的图像可能是( )
【解析】选A.因为y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则从左到右函数 f(x)图像上的点的切线斜率是递增的.
【对点练】
1.函数f(x)=x+ln x在(0,6)上 ( )
A.单调递增
B.单调递减
C.在
(0，1 e
)
上单调递减,在
(1 e
, 6)
上单调递增
D.在 (0，1) 上单调递增,在 (1 ,6) 上单调递减
e
e
【解析】选A.因为x∈(0,6),所以f′(x)=1+
>1 0,
x
故函数在(0,6)上单调递增.
x
①当a>0时,f′(x)=x+ a>0恒成立,这时函数只有单调递增区间(0,+∞);
x
②当a<0时,由f′(x)=x+ a>0,得x> ;a
x
由f′(x)=x+
a<0,得0<x<
x
,a
所以当a<0时,函数的单调递增区间是( ,a+∞),
单调递减区间是(0, ).a综上,当a>0时,单调递增区间为(0,+∞),无单调递减
x
g(x)min=g(1)=-1,所以a<-1.
【类题通法】利用函数的单调性求参数的取值范围 应用条件f′(x)>0(或f′(x)<0),x∈(a,b)恒成立,解出参数的取值范围(一般 可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0. 【定向训练】 若函数f(x)=ln x+x2+ax在定义域内为增函数,则实数a的取值范围是 ________.
3
则 x＞ 3 或x＜ 3 (舍).
3
3
所以递增区间为 ( 3， )，
3
由f′(x)<0得6x2-2<0,即x2< 1，
3
则 3＜x＜ 3，
3
3
因为x>0,所以0<x<3，所以递减区间为 (0， 3 ).
3
3
【类题通法】利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域. (2)求导函数f′(x). (3)若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式 f′(x)>0或f′(x)<0.
所以函数的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞);
单调递减区间为(-1,0),(0,1).
(2)y′=ex+xex=ex(1+x). 令y′>0,得x>-1; 令y′<0,得x<-1. 因此,y=xex的单调递增区间为(-1,+∞), 单调递减区间为(-∞,-1).
探究点二 原函数与导函数图像间的关系 【典例2】(2018·全国卷Ⅲ)函数y=-x4+x2+2的图像大致为