【精品】灰色GM（1,1）模型在福建省GDP预测中的应用

灰色GM （1，1）模型在福建省GDP 预测中的应用
摘要：灰色预测适用于影响因子众多，数据量少，且没有一定规律可循的特征量的预测。

GDP 指标综合性强，适用于灰色预测。

本文通过建立灰色GM （1，1）模型，对福建省GDP 进行预测，结果表明GM （1，1）模型对于GDP 的预测具有良好的效果。

关键词：灰色GM （1，1）模型，福建省GDP ，灰色预测
1 前言
灰色系统理论(简称灰理论Grey Theory)是由华中科技大学邓聚龙教授于20世纪70年代末、80年代初提出，已经广泛应用于社会、经济、科技、农业、生态、生物等各个领域的预测与决策。

通过对灰数建立的微分方程模型称为GM 模型（Grey Model ），而GM （1，1）则为典型的一个变量的一阶灰微分方程。

本文通过对福建省1978年至2004年国民生产总值(GDP)的灰色预测，探求灰色GM （1，1）模型在GDP 预测中的作用。

2 GM （1，1）模型的建立及其检验
2．1 模型的建立
GM （1，1）模型的微分方程为：(1)
(1)dX aX u dt
+= 其建立的基本步骤为： ⑴给出原始数据列为：
(0)(0)(0)(0)()[(1),(2),....,()]X t X X X n =
⑵作一次累加生成（AGO ），即
(1)
(0)1
()(),k
i X t X i ==∑
得生成数据列如下：
(1)(1)(1)(1)()[(1),(2),...,()]X t X X X n =
⑶构造系统矩阵B ，Yn
(1)(1)(1)(1)
(1)(1)[(1)(2)]/21[(2)(3)]/21[(1)()]/21X X X X B X n X n ⎡⎤
-+⎢⎥-+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦
…………,(0)
(0)(0)(2)(3)(2)T
Yn X X X ⎡⎤=⎣
⎦……
⑷求系数向量：
1
ˆT T
a B B B Yn -⎡⎤=⎣⎦
⑸确定模型
⑹回代检验
⑺后验差检验：
⑻利用模型进行预测
2．2 模型的检验
模型检验采用后验差检验及平均相对误差、关联度指标。

后验差检验方法包括方差比与小误差概率，其计算步骤为： ①求原始数据X （0）的均值与(0)X 的离差1S ；
②求残差数据平均值ˆα
与残差的离差2S ； ③计算方差比：21/C S S =；
④求小误差概率：{}1|()|0.6745P P k S α=<；
⑤精度检验。

根据以上计算结果，参照精度检验表（见表1），对模型的精度等级作出估计。

表1 模型精度等级参照表
各项检验指标的具体计算公式如下：
相对误差()e
k =(0)(0)(0)
ˆ()()()()
X k X k e k X k -=，平均相对误差11|()|n
k E e k n ==∑
(1)
X 相对误差(1)(1)(1)ˆ()()()()
X k X k q k X k -=，(1)
X 平均相对误差11|()|n k Q q k n ==∑
方差比2
1
S C S =
=，其中()k α是(0)
X
残差，
(0)(0)ˆ()()()k X
k X k α=-，α是(0)X 残差平均值，1
()
n
k k n
αα==∑
关联度()()
1
/(|()|)1
n
k SS BB F i BB S n ξξ=++=
-∑，其中
(1)(1)ˆ()()(),min |()|,max |()|,F i X
i X i SS F i BB F i ξ=-==表示分辨系数，本文取0.5 3 数据处理与预测结果
3．1 数据来源
本文搜集了福建省1978~2004年国民生产总值数据。

数据如表2所示：
表2 福建省1978~2004年国民生产总值(GDP)数据(单位：亿元)
根据福建省27年的GDP 数据，进行四步建模试验：
⑴整体建模试验。

以福建省1978年至2004年的GDP 为原始数据建模，检验模型效果，大体了解发展规律，图1为GM （1，1）模型预测情况。

图1 1978至2004年福建省GDP 预测值与实测值对照情况
其原始数据如表2所示，预测公式为：
(1)(0)0.0003ˆ(1)(1)220.4396154.0696ak k u u X k X e e a a -⎛⎫+=-+=- ⎪
⎝
⎭
预测值的平均相对误差为0.0327，(1)X 平均相对误差0.0187，方差比为0.1822，小误差概率为1，关联度为0.5335，模型精度不高。

⑵区段建模试验。

根据过去GDP 的情况把1978年至2004年的GDP 数据分为三个区段：1978~1992，1992~2000，2000~2004，然后分别建模预测，并把后几个年份的预测数据分别与相应年份的实际数据加以比较，分析各区段的变化规律，以便寻求理想的预测区间。

⑶择优建模。

通过整体和区段两次建模试验进行分析，选择2000年至2004年为最优建模区间。

⑷模型处理。

通过各个误差指标分析，修正个别数据，建立最优模型。

2000年至2004年福建省GDP 原始数据如下：
(0)()X k =（3894.2
4218.3 4620.5 5161.9 5974），
预测公式为：
(1)(0)0.0007ˆ(1)(1)4495.0307600.8307ak k u u X k X e e a a --⎛⎫+=-+=- ⎪⎝
⎭，再还原得 (0)(1)(1)ˆˆˆ()(1)()X
k X k X k =+-，由此得2000年至2004年还原模型值为： (0)ˆ()X
k =（3894.2 4165.7 4669 5241.2 5892.8）
预测值的平均相对误差为0.0012，(1)X 平均相对误差为2.4852e-004，方差比为0.0777，小误差概率为1，关联度为0.8394，模型精度Ⅰ级。

图2为预测值与实测值的对照图。

图2 2000至2004年福建省GDP 预测值与实测值对照情况
我们利用此模型对2005年福建省GDP进行预测，最终预测结果为6636.2亿元。

2005年福建省实际GDP为6560.07亿元，预测相对误差为1.16%，这说明预测值与实际结果是很接近的。

进一步对2006年~2008年福建省GDP预测见表3。

结果表明，未来3年福建省GDP 仍将保持较高速度的增长。

表3 福建省2006年~2008年GDP预测值
表4 其他2个区段的模型检验指标
通过表4各项检验指标可以看出模型的精度很高。

但是由图1可以看出，灰色预测值是一条光滑曲线，只能反映GDP的总体变化趋势，对于波动变化难于准确预测。

4 结论
灰色GM（1，1）模型的预测值是一条光滑的曲线，因此适用于起伏变化不大的数据列预测。

本文通过对福建省1978年~2004年GDP数据进行分区段建模，模型精度较高，可以适用短期（3~5年）的预测。

总之，灰色GM（1，1）模型适用于影响因素众多，数据量少且无一定规律可循的特征量的预测。

而GDP综合性强，层次高，适用于灰色GM（1，1）模型。

参考文献：
[1]邓聚龙，灰理论基础，华中科技大学出版社，2002年
[2]王学萌、张继忠、王荣，灰色系统分析及实用计算程序，华中科技大学出版社，2001年
[3]邓聚龙，灰色系统论文集，华中理工大学出版社，1989年
[4]赵蕾、陈美英，ARIMA模型在福建省GDP预测中的应用，科技和产业，2007，7（1）。