人教版高中数学必修1第三章函数的应用单元测考试试卷.doc

第三章单元质量测评
本试卷分第丨卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150 分，考试时间120分钟.
第丨卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题
1.已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的 是（）
答案A 解析 由二分法的定义与原理知A 选项正确.
2.下列函数中，随着兀的增大，其增大速度最快的是（）
A. y=0.001"
B ・ >'=10001nx
C ・ y=x 1000
D ・ y=1000・2“ 答案A 解析 增大速度最快的应为指数型函数，又e^2.718>2. 3 •已知函数/U ）是R 上的单调函数，且心）的零点同时在区间（0,4）,
A.夬4) B ・ X2) C ・ XD D.彳I)
答案C
给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）
(0,2), (1,2), 1, U 内，则与7（0）符号相同的是（
（3、
解析 由题易知/U ）的唯一零点在区间[1,勺内，由兀V ）是R 上的 单调函数，可得人1）与几0）符号相同，故选C.
4.用二分法求方程./U ）=0在区间（1,2）内的唯一实数解也时，经
A. 0 B ・ 1 C. 2 D. 3 答案B
A ・体重随年龄的增长而增加 计算得/（1）=羽，几2）=—5, =9,则下列结论正确的是（）
A • X Q / 2、
e 1, 5-
\ 乙)
(3 / /
C •兀0 — 2，2 答案C
De X() = 1
⑶
解析由于彳㊁ 1
5.函数fix ）=x 1 2 说2)<0,
-o v 的零点个数为（）
12丿
B.25岁之后体重不变
C.体重增加最快的是15岁至25岁
D.体重增加最快的是15岁之前
答案D
解析・・•函数不是增函数，・・・A错；［0,50］上为增函数，故B错; ［0,15］上线段增长比［15,25］上线段增长快.
7・函数»=xln（x-2017）的零点有（）
A. 0个B・1个C. 2个D. 3个
答案B
解析函数夬兀）的定义域为{x|x>2017},令» = 0,贝U=2018, 故只有1个零点.
8.如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿A-B-C-M运动时，点P经过的路程x^/\APM的面积y 之间的函数y=/3）的图象大致是（）
再结合图象知应选A.
x — |
9. 若/U)==—,则函数y=/(4x)—x 的零点是()
12 3% 12 3% 时, 答案 解析 依题意, 当 OvcWl 时，S I -1 △APM
X 1 Xx=^x ；当 1<X W2 S HAPM =S 怫形 ABCM ^S^ABP ■ S'PCM
n i
i i
X 1+
厅 XI —㊁XlX(x_l)_㊁X ㊁X(2r)=_
当2vxW2・5时,
S HAPM =S 梯形 ABCM ~S 梯形 ABCP
|x[l+^Xl-|x (l+x-2)Xl
A.* B・—+ C・ 2 D・一2
答案A
解析根据函数零点的概念，函数y=f(^x)-x的零点就是方程
4无—] 1
7(4x)—x=0的根，解方程/(4x)—兀=0,即一石一一兀=0,得x=2^故
选A.
10.若关于x的方程»-2=0在区间(一8,0)内有解，则y=fix) 的图象可以是()
答案D
解析因为关于兀的方程fix) —2=0在区间(―°°, 0)内有解，所以函数y=Ax)与y=2的图象在区间(一8, 0)内有交点，观察图象可得只有选项D中图象满足要求.
11・设方程匱一3|=。

的解的个数为m,则m不可能等于()
A・1 B・2 C・3 D・4
答案A
解析在同一坐标系中分别画出函数刃=『一3|和y2^a的图象，如图所示.可知方程解的个数为0、2、3或4,不可能有1个解.
12.已知定义在［—2,2］上的函数y=f(x)和y=gM的图象如图所示.
给岀下列四个命题：
①方程血⑴]=0有且仅有6个根；
②方程g[/U)]=0有且仅有3个根；
③方程/[/(尢)]=0有且仅有5个根；
④方程g[g(x)] = 0有且仅有4个根.
其中正确命题的序号是()
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
答案D
解析当xe[-2, —1]时，g(x)w[—2,2],血(劝]有且仅有3个零点；当兀W(—1,2]时,g(x)e[-2,2), j[g(x)]有且仅有3个零点，所以方程As(x)]—0有且仅有6个根.同样的方法可得方程g[g(x)]—0有且仅有4个根.当%e[-2, 一1]时,»e[-2,l], g[/(兀)]有且仅有2个零点；当xe(-i,i]时，g[f(x)]有且仅有1个零点；当炸(1,2]时，/(x)w(—1, 2], g[»]有且仅有1个零点，所以方程g[/(x)] =0有且仅有4个根，同样的方法可得方程加兀)]=0有且仅有5个根.正确的序号是①③④.
第II卷(非选择题，共90分)
二' 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13._____________________ 下列说法正确的是 (填序号).
①一次函数在R上只有一个零点；
②二次函数在R上只有一个零点；
③指数函数在R上没有零点；
④对数函数在(0, +®)上只有-一个零点；
⑤幕函数在其定义域内可能没有零点.
答案①③④⑤
解析一次函数在R上是单调函数，只有一个零点，①正确；二次函数的零点有三种情况：0个，1个，2个，②不正确；指数函数的值域为(0, +-),没有零点，③正确；对数函数是单调函数，且图象过定点(1,0),故只有一个零点，④正确；幕函数y=^在定义域(一°°, 0)U(0, +®)内没有零点，⑤正确.
14.我国股市中对股票的股价实行涨、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅为10%,某股票连续四个交易日中前两日每天涨停、后两日每天跌停，则该股票的股价相对于四天前的涨跌情况是(用数字作答).
答案跌了1.99%
解析(1 +10%)2-(1 -10%)2=0.9801,而0.9801-1 = -0.0199, 即跌了1.99%.
—JC 2
15・已知函数fix)=y "'若关于兀的方程Kx) = k有
、(兀一1几x<2,
两个不同的实根，则实数£的取值范围是 ________ ・
答案(0,1)
2
解析当兀上2时，函数单调递减，值域为(0,1］；当x<2时,
函数y=(x—if单调递增，值域为(―°°, 1).因此要使方程KQ=k有两个不同的实根，则圧(0,1).
16.已知函数fix)^a-x-a(a>09且oHl)有且仅有两个零点,
则实数。

的取值范
答案(1，+°°)
解析分与0<a<l两种情况，画出函数y=d x与函数y=x-\-a 的图象，
如图所示.
由图知，当d>l时，两个函数的图象有两个交点，所以实数。

的取值范围是(1, +°°).
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)LA知函数/(x)=a? + bx+c(dH0)的图象过点(0,1),且有唯一的零点一1.
(1)求/U)的表达式；
(2)当兀丘［-1,1］时，求函数F(x)=Kx) — kx的最小值g(Q・
加)=1,
解(1)由题知^-1)=0, 、/=戻_4处=0,
解得d=l, b=2, c = 1,
fix) =/ + 2兀+ 1 ・
(2)F(x)=?+(2-Z:)x+l,对应抛物线开口向上，对称轴为直线兀
k-2
k—2
当二一w — l,即£W0 时，g(k) = F(—l) = k；
k—2 (k—^\ Ir
当一］<—^—<\,即0v£v4 时，g伙［二片二一J=—才+P;
k—2
当二一21,即£24 时，g(k) = F(l)=4—k.
综上，可知g（Q = —才+R, 0<Z:<4,
4—k9 k三4.
18.（本小题满分12分）已知函数/U）=d『+bx+b—l（dH0）・
⑴当d=l, b=~2时，求函数几x）的零点；
（2）若函数几兀）有一个二重零点，求实数d, b满足的关系式.
解（1）・.・°=1, b=—2,・\/（兀）=/_2兀_3,令几兀）=0,即X—2x—3=0,解得兀=3或兀=一1,二函数.心）的零点为3和一1・（2厂•二次函数/U）有一个二重零点，.••方程a^+bx+b~\= 0有两个相等的实数根，从而/ = 4d（b—1）=0,即Z?2=4d（b—1）,此即实数Q, b满足的关系式.
19.（本小题满分12分）有些家用电器（如冰箱等）使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量呈指数型函数变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式Q=Q oe-°M25',其中Q。

是臭氧的初始量.
（1）随着时间/的增加，臭氧的含量是增加的还是减少的？
（2）试估计多少年以后将会有一半的臭氧消失？（参考数据：In 0.5^-0.69）
解（1）对于函数e=eoe-°0025；显然Q>0・
任取t02,则丫2 —》1>0,
-0.0025(/1-/2) = e0.0025(/2-/1)>e0=b所以
-0.0025,=刁解得一0.0025?= In 产一0・69, 故随着时间f的增加，臭氧的含量是减少的.
解得1=276.故估计276年以后将会有一半的臭氧消失.
20・（本小题满分12分）某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设
备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30 h以内（含30 h）每张球台90元，超过30h的
部分每张球台每小时2元.某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15h,也不超过40h.
(1)设在甲家租一张球台开展活动xh的收费为/U)元(15WxW40), 在乙家租一张球台开展活动xh的收费为g(x)元(15WxW40),试求/U) 和g(x)・
(2)问选择哪家比较合算？为什么？
角军(l)/U) = 5x,15WxW40；
J90, 150W3O,
'⑷―]30+2x, 30<xW40.
(2)当5兀=90 时，x=18, 即当15£兀<18 时，/U)vg(x);
当x=18 时，»=g(x)；
当18。

£40 时,/U)>g(x)・
/.15^x<18时，选甲家比较合算；
当兀=18时，两家一样合算；
当18SW40时，选乙家比较合算.
21.(本小题满分12分)有时可用函数
0」+ 151n 兀06,
a—x
•心)=[无一44 描述学习某学科知识的掌握.匕，X>6
程度，其中兀表示某学科知识的学习次数表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.
(1)证明：当心7时，掌握程度的增长量>+!)->)总是下降的;
(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的。

的取值区间分别为(115,121], (121,127], (127,133].当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%, 请确定相应的学科.
设 g(x )=(Y_3)(t_4)，/2(x) = (x —3)Cr —4),
易知力(兀)的图象是抛物线的一部分，在［7, +8)上单调递增，故 g(x)在［7, +8)上单调递减，
所以当x^7时，掌握程度的增长量Ax+1)-Xx)总是下降的.
(2)由 /(6) = 0・85,可知 0.1 + 15111 汽^=0.85,
人 0.05
整理得-^^e 005,解得。

=將下~123・
a —6 e — 1
又123^(121,127］,所以该学科是乙学科.
22. (本小题满分12分)设Q WR,试讨论关于兀的方程lg (x —1) + lg (3—兀) = lg (a —x)的实根的个数.
x —1>0,
3—兀 >0, 解原方程Of 八 6Z —X>(),
<(x 一 1)(3一x)—a 一x.
x —1>0,
即 <3—Q0,
、(兀_ 1)(3_x) = a_x.
整理，得一孑+5兀一3=d( 1 <x<3)・
在同一坐标系中分别作出函数及X+5x —3,
无丘(1,3)的图象，如图所示:
⑴证明: 当x 却时，>+!)-» = 0.4 （无一3）（兀一
当兀=1时，y=l；
当x=3 时，y=3；
13
ax
(1)当Q>亍或dWl时，函数图象无交点，故原方程无实数根;
(2)当。

=亍或lsW3时，函数图象有一个交点，故原方程有一个实数根；
13
(3)当3<a<^时，函数图象有两个交点，故原方程有两个实数根.
1
2 仃）
解析令»=o,可得尢/ 在同一平面直角坐标系中分
1
别画出幕函数y=x 2和指数函数y=[^的图象，如图所示，可得交
点只有一个，所以函数/U）的零点只有一个.
6.如图表示人的体重与年龄的关系，贝“ ）。