2019-2020学年数学人教A版选修1-1同步检测：2.3.1抛物线及其标准方程

( )p
p
0，－
(5)抛物线 x2＝－2py(p>0)的焦点坐标是
2 ，准线方程是 y＝2，开口方向向下.
判一判
1.抛物线标准方程中的 p 的几何意义是焦点到准线的距离．(√) 解析：由抛物线标准方程的推导过程可知正确． 2．动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x－2＝0 的距离相等，则点 P 的轨迹方程为抛物线．(×) 解析：定点 F 在定直线上，动点 P 的轨迹是一条直线，故错误．
标为( )
( ) ( ) 5
1
－ ，0 － ，0
A. 16 B. 5
( ) ( ) 1
2
，0 － ，0
C. 5 D. 5
4
2
解析：依题意，Error!解得 a＝5，b＝4，∴抛物线方程为 y2＝－5x，p＝5，∴其焦点的坐标为
( )1
－ ，0 5 ，故选 B. 答案：B
( )3
x0， 5．点 M 2 是抛物线 x2＝2py(p＞0)上一点，若点 M 到该抛物线的焦点的距离为 2，则点 M 到坐 标原点的距离为( )
(2)抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点坐标是 2 ，准线方程是 x＝－2，开口方向向右．
( )p
p
－ ，0
(3)抛物线 y2＝－2px(p>0)的焦点坐标是 2 ，准线方程是 x＝2，开口方向向左．
( )p
p
0，
(4)抛物线 x2＝2py(p>0)的焦点坐标是 2 ，准线方程是 y＝－2，开口方向向上．
则焦点坐标为 2 ，准线为 x＝－2，
则焦点到准线的距离是 p＝3，
因此所求的抛物线的标准方程是 y2＝6x.
一、选择题 1．抛物线 y＝2x2 的焦点坐标是( )
基础达标
( ) ( ) 1
1
，0 0，
A. 2 B. 2
( ) ( ) 1
1
，0 0，
C. 8 D. 8
( ) 1
1
0，
解析：转化为标准方程，x2＝2y，所以焦点为 8 .故选 D.
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
|3x＋4y－12|
解析：方程 5 x2＋y2＝|3x＋4y－12|可化为 x2＋y2＝ 5 ，它表示点 M 到坐标原点 O 的距 离等于它到直线 3x＋4y－12＝0 的距离，由抛物线的定义可知，动点 M 的轨迹是抛物线．故选 C.
答案：C 2．给出下列命题： ①到定点 F(－1,0)的距离和定直线 x＝1 的距离相等的动点 P 的轨迹为抛物线； ②到定点 F(2,1)的距离和到定直线 3x－2y－4＝0 的距离相等的动点 P 的轨迹为抛物线； ③抛物线的焦点一定在 y 轴上． 其中假命题是________(填序号)． 解析：由抛物线的定义，知命题①为真命题；因为定点 F(2,1)在定直线 3x－2y－4＝0 上，可知动点 P 的轨迹为一条直线，所以命题②为假命题；因为抛物线的焦点可以随建立坐标系的方式不同而不同， 因此可以在 x 轴上，所以命题③为假命题． 答案：②③ 3．平面上动点 P 到定点 F(1,0)的距离比点 P 到 y 轴的距离大 1，求动点 P 的轨迹方程． 解析：方法一：设点 P 的坐标为(x，y)， 则 x－12＋y2＝|x|＋1. 两边平方并化简，得 y2＝2x＋2|x|，
( )p
－ ，0 则焦点 F 2 ，由题意， 得Error!
解得Error!或Error! 故所求的抛物线方程为 y2＝－8x，m＝±2 6. 抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为 x＝2.
知识点一
抛物线的定义
1.已知动点 M 的坐标满足方程 5 x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点 M 的轨迹是( )
答案：D
2．抛物线 y＝ax2 的准线方程是( )
a
a
A．y＝－2 B．y＝－4
1
1
C．y＝－2a D．y＝－4a
11
1
1
解析：首先将方程化为标准方程 x2＝ay＝2·2ay.当 a>0 时，y＝－4a；当 a<0 时，y＝－4a.所以抛物 1
线 y＝ax2 的准线方程是 y＝－4a.故选 D. 答案：D x2 y2
2．3.1 抛物线及其标准方程
填一填
1.抛物线的定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过点 F)距离相等的点的集合叫作抛物线，点 F 叫作抛物线
的焦点，直线 l 叫作抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程
(1)方程 y2＝±2px，x2＝±2py(p>0)叫作抛物线的标准方程．
( )p
p
，0
x2 y2
解析：由题意知抛物线的焦点为双曲线 4 － 2 ＝1 的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程 为 y2＝8x 或 y2＝－8x.
答案：D 3．抛物线 x2＋12y＝0 的准线方程是________． 解析：抛物线 x2＋12y＝0，即 x2＝－12y，故其准线方程是 y＝3. 答案：y＝3 4．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，抛物线上的点 M(－3，m)到焦点的距离等于 5，求抛 物线的方程和 m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程． 解析：设抛物线方程为 y2＝－2px (p>0)，
于是动点 P 的轨迹方程为 y2＝4x(x≥0)或 y＝0(x<0). 知识点二
2
抛物线的标准方程
4.准线方程为 y＝3的抛物线的标准方程为( )
8
8
A．x2＝3y B．x2＝－3y
8
8
C．y2＝－3x D．y2＝3x 2
p2
4
解析：由准线方程为 y＝3，知抛物线焦点在 y 轴负半轴上，且2＝3，则 p＝3.故所求抛物线的标准 8
1
①原点在抛物线上；②焦点在坐标轴上；③焦点的非零坐标都是一次项系数的4； (2)不同点： ①焦点在 x 轴上时，x 为一次 y 为二次；焦点在 y 轴上时，y 为一次 x 为二次；即一次项的变量与焦 点所在的坐标轴的名称相同． ②一次项系数的正负不同，x 为一次项且系数为正(负)开口向 x 轴的正(反)方向；y 为一次项且系数 为正(负)开口向 y 轴的正(反)方向，即一次项系数的符号决定抛物线的开口方向． 思考感悟：
所以 y2＝Error! 于是动点 P 的轨迹方程为 y2＝4x(x≥0)或 y＝0(x<0)． 方法二：由于点 F(1,0)到 y 轴的距离为 1，所以当 x<0 时，射线 y＝0 上的点满足题意； 当 x≥0 时，已知条件等价于点 P 到点 F(1,0)的距离与到其直线 x＝－1 的距离相等，所以点 P 的轨 迹是以点 F 为焦点，直线 x＝－1 为准线的抛物线，方程为 y2＝4x.
y2＝4x，将点 M(4，m)代入抛物线方程中，求出 m＝±4.
答案：D
7．已知 P 为抛物线 y2＝4x 上一动点，记点 P 到 y 轴的距离为 d，对于定点 A(4,5)，则|PA|＋d 的最
小值为( ) A．4 B. 74
C. 17－1 D. 34－1
解析：抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线 l：x＝－1.如图所示，过点 P 作 PN⊥l 交 y 轴于点 M， 垂足为 N，则|PF|＝|PN|.
3．若抛物线 y2＝2px 的焦点与椭圆 6 ＋ 2 ＝1 的右焦点重合，则 p 的值为( ) A．－2 B．2 C．－4 D．4
x2 y2
解析：椭圆 6 ＋ 2 ＝1 的右焦点为(2,0)，所以抛物线 y2＝2px 的焦点为(2,0)，则 p＝4.
答案：D
9
b
4．已知两个正数 a，b 的等差中项是2，一个等比中项是 2 5，且 a>b，则抛物线 y2＝－ax 的焦点坐
方程为 x2＝－3y.
答案：B
5．已知抛物线 y－2 016x2＝0，则它的焦点坐标是( )
( ) 1 ，0 A．(504,0) B. 8 064
( ) ( ) 1
1
0，
0，
C. 8 064 D. 504
( ) 1
1
0，
解析：抛物线的标准方程为 x2＝2 016y，故其焦点为 8 064 .
答案：C
1
3．抛物线 x＝2y2 的准线方程为 y＝－8.(×)
1
1
解析：抛物线 x＝2y2 化为标准方程为 y2＝2x，准线方程为 x＝－8，故错误．
( ) 1 a，0 4．抛物线 y＝ax2 的焦点坐标是 4 .(×)
( )1
0， 解析：抛物线的焦点在 y 轴上应为 4a ，故错误． 5．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是 y2＝－4x.(×) 解析：设抛物线方程为 y2＝－2p1x(p1>0)或 x2＝2p2y(p2>0)，把(－4,4)代入得 16＝8p1 或 16＝8p2，即 p1＝2 或 p2＝2.抛物线的标准方程为 y2＝－4x 或 x2＝4y.故错误． 6．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1 外切，又与直线 x＋1＝0 相切，则动圆圆心的轨迹方程是 y2＝4x.(×)
(1)准线方程为 y＝－1；
(2)焦点在 x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是 3.
p
解析：(1)由准线方程为 y＝－1 知抛物线焦点在 y 轴正半轴上，且2＝1，则 p＝2.故抛物线的标准方
程为 x2＝4y.
(2)设焦点在 x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)，
( )p
p
，0
31
A. 2 B. 31
21
C. 21 D. 2 p
解析：抛物线 x2＝2py(p>0)的准线方程是 y＝－2，因为点 M 到该抛物线的焦点的距离为 2，所以
( ) 3 p
3
x0，
2＋2＝2，解得：p＝1，所以该抛物线的方程是 x2＝2y，因为点 M 2 是抛物线 x2＝2y 上的一点，所
( ) 3
练一练
1．抛物线 y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( ) |a| |a|
A. 4 B. 2 a
C．|a| D．－2
|a|
|a|
解析：因为 y2＝ax，所以 p＝ 2 ，即该抛物线的焦点到其准线的距离为 2 ，故选 B. 答案：B
x2 y2
2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在双曲线 4 － 2 ＝1 上，则抛物线方程为( ) A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝±8x
6．抛物线 y＝x2 的焦点坐标为( )
( ) ( ) 1
1
－ ，0
，0
A. 4 B. 4
( ) ( ) 1
1
0，－
0，
C. 4 D. 4
( ) 1
1
0，
解析：∵抛物线方程为 y＝x2，∴2p＝1，∴p＝2，又∵焦点在 y 轴的正半轴，∴焦点坐标为 4 ，
故选 D.
答案：D
7．根据下列条件写出抛物线的标准方程：
3
9 Байду номын сангаас1
x20＋ 2 3＋
以 x20＝2×2＝3，所以点 M 到坐标原点的距离是
2 ＝ 4＝ 2 ，故选 D.
答案：D
6．抛物线 y2＝2px(p>0)上的点 M(4，m)到焦点的距离为 5，则 m 的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．4 或－4
| | p
p
4＋
解析：抛物线 y2＝2px 的准线方程为 x＝－2，由抛物线的定义有 2 ＝5，p＝2(负值舍去)，此时
解析：设动圆的半径为 r，圆心为 O′(x，y)，且 O′到点(2,0)的距离为 r＋1，O′到直线 x＝－1
的距离为 r，所以 O′到(2,0)的距离与到直线 x＝－2 的距离相等，由抛物线的定义，动圆圆心的轨迹方 程为 y2＝8x.故错误.
想一想
1.在抛物线的定义中，若去掉“l 不过点 F”，点的轨迹还是抛物线么？ 提示：不一定是抛物线，当直线 l 经过点 F 时，点的轨迹是过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线； l 不经过点 F 时，点的轨迹是抛物线． 2．抛物线的标准方程中 p 的几何意义是什么？ 提示：p 的几何意义是焦点到准线的距离． 3．求抛物线的标准方程的方法有哪些？ 提示：(1)定义法 根据抛物线的定义，确定 p 的值(系数 p 是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方 程．标准方程有四种形式，要注意选择． (2)待定系数法 ①根据抛物线焦点是在 x 轴上还是在 y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于 p 的方程，解出 p，从而写出抛物线的标准方程． ②当焦点位置不确定时，有两种方法解决： 法一、分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在 x 轴上的抛物线，为避免 开口方向不确定可分为 y2＝2px(p>0)和 y2＝－2px(p>0)两种情况求解． 法二、设成 y2＝mx(m≠0)，若 m>0，开口向右；若 m<0，开口向左；若 m 有两个解，则抛物线的 标准方程有两个．同理，焦点在 y 轴上的抛物线可以设成 x2＝my(m≠0)．如果不确定焦点所在的坐标轴， 应考虑上述两种情况设方程． 4．四种位置的抛物线的标准方程有什么异同？ 提示：(1)共同点：