中考数学：2015山东临沂卷压轴题

中考数学：2015山东临沂卷压轴题
题目：
在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=-2x-1与y轴交于点A，与直线y=-x交于点B，点B与点C关于原点对称。

1、求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
2、P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q。

①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②记点P横坐标为t，-1＜t＜1。

当t为何值时，四边形PBQC的面积最大？并说明理由。

分析：
跟着问题找条件
1、求抛物线解析式，需要知道A，B，C的坐标
题目要求过A，B，C的抛物线方程，那么我们需要知道A，B，C 的坐标。

根据题意，A为y=-2x-1与y轴的交点，B为y=-2x-1与y=-x的交点。

通过联立方程，可以得到A（0，-1），B（-1，1）。

B 与C关于原点对称，所以这两个点的坐标完全相反，于是C（1，-1）。

记抛物线解析式为y=ax^2+bx+c，代入A，B，C坐标，得到三个方程，联立可得a，b，c的值，不难得到解析式为y=x^2-x-1。

2、①挖掘菱形的几何性质
关于P，直接相关的已知条件有3个：
•P在抛物线上
•P与Q关于原点对称
•PBQC是菱形
逐个挖掘：根据第1个条件，我们可以得到P的横坐标与纵坐标之间的关系式；根据第2个条件，可以得到Q的坐标，可以得到OP=OQ；根据第3个条件，PB=PC=QB=QC，PQ与BC互相垂直、中分。

思路1：利用PB=PC
由于B，C的坐标已知，我们可以利用距离公式算出PB、PC，利用PB=PC得到一个仅含一个未知数（P的纵坐标可用横坐标表达）的方程，从而求得P的坐标。

思路2：利用PQ与BC互相垂直、中分
BC斜率是-1，所以直线PQ斜率为1且过原点，解析式为y=x，所以P的横坐标与纵坐标相同。

由此可得P的坐标。

所以，这个问题中，跟Q没什么关系......
②第一步，四边形PBQC的面积如何表达？
题目问四边形面积何时最大，那么首先要考虑四边形面积如何表达。

否则，根本没有研究的基础。

四边形PBQC可以分解为△BPQ与△CP Q，也可以分解为△PBC和△QBC。

并且由于P、Q关于原点对称，A、B关于原点对称，所以不难发现△BPQ与△CPQ面积相等，△PBC 和△QBC面积也相等。

这样，四边形的面积可以用某一个三角形的面积表达。

第二步，选哪个三角形？
如果选择△BPQ，那么无论以哪条边作底边，底边和高都是含有未知数的表达式。

如果选择△PBC，至少BC长度是定值，我们只要找到高的表达式即可。

所以，选择△PBC。

第三步，高是多少？
过P作BC的垂线，垂足为H，如下图。

则四边形PBQC的面积=2倍的△PBC的面积=BC×PH。

根据距离公式可以计算PH，前提是知道H坐标的表达式。

注意到，H位于BC上，所以可记H（h，-h）。

PH与BC垂直，所以PH 的斜率为1。

所以有
•（h-t）/（-h-t^2+t+1）=1
这样我们得到h=（-t^2+2t+1）/2，这样PH可以通过t来表达，计算得
•PH=（1-t^2）/√2
于是四边形PBQC的面积=2-2t^2。

第四步，何时面积最大？
显然，t=0时，面积取最大值2。

此时，P点坐标（0，-1）。

最后，为什么限定-1＜t＜1？
上述，我们省略了计算过程。

事实上，计算PH时需要开根号。

当t超出取值范围时PH=（t^2-1）/√2。

这样，四边形的面积=2t^2-2，不再存在最大值。

解题：
1、记抛物线解析式为y=ax^2+bx+c，记A（xa，ya），B（xb，yb），C（xc，yc）。

根据题意：
A：在y轴上，所以xa=0；在y=-2x-1上，所以ya=-1；
B：在y=-2x-1上，所以yb=-2xb-1；在y=-x上，所以yb=-xb。

于是xb=-1，yb=1；
C：与B关于O对称，所以xc=1，yc=-1。

这三个点都在抛物线上，分别代入，可得
•-1=c
•1=a-b+c
•-1=a+b+c
计算可得a=1，b=-1，c=-1，所以抛物线解析式y=x^2-x-1；
2、记P点坐标为（t，y），则y=t^2-t-1。

①四边形PBQC为菱形，所以PB=PC。

而
•PB^2=（t+1）^2+（t^2-t-1-1）^2，
•PC^2=（t-1）^2+（t^2-t-1+1）^2
即有（t+1）^2+（t^2-t-1-1）^2=（t-1）^2+（t^2-t-1+1）^2，整理得t^2-2t-1=0。

于是t=1±√2，P（1-√2，1-√2）或（1+√2，1+√2）。

②由于OP=OQ，OB=OC，∠POB与∠COQ为对顶角，所以△POB≌△QOC，所以PB=CQ。

同理，PC=QB。

所以△PBC≌△QCB，所以四边形PBQC的面积=2倍的△PBC的面积。

作PH⊥BC，H为垂足。

则△PBC的面积=BC×PH/2。

注意到H在BC上，所以可记H坐标为（h，-h）。

PH⊥BC，所以直线PH斜率为1，所以（h-t）/（-h-t^2+t+1）=1，可得h=（-t^2+2t+1）/2。

根据距离公式，PH=√[（1-t^2）^2/2]。

当-1＜t＜1时，PH=（1-t^2）/√2。

又，BC=2√2，所以四边形PBQC的面积=2-2t^2。

2-2t^2的最大值，显然为2，当t=0时取得。

而t=0满足-1＜t ＜1，符合题意。

回顾：
1、所有用到斜率的地方，都可以用几何图形性质推导；
2、关于PH的计算，也可以利用等腰直角三角形的性质推导，大家可以试一试。