初升高衔接数学讲义

初升高衔接数学讲义(总93页)
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第1章 代数式与恒等变形
四个公式
知识衔接
在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，
它们具有类似实数的属性，可以进行运算。

在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式22))((b a b a b a -=-+；完全平方公式
2222)(b ab a b a +±=±，并且知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广泛的应用。

而在高中阶段的学习
中，将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内容。

知识延展
1 多项式的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++
2 立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+
3 立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-
4 完全立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=±
注意：（1）公式中的字母可以是数，也可以是单项式或多项式；
（2）要充分认识公式自身的价值，在多项式乘积中，正确使用乘法公式能提高运算速度，减少运算中的失误；
（3）对公式的认识应当从发现，总结出公式的思维过程中学习探索，概括，抽象的科学方法；
（4）由于公式的范围在不断扩大，本章及初中所学的仅仅是其中最基本，最常用的几个公式。

一 计算和化简
例1 计算：))(()(222b ab a b a b a +++-
变式训练：化简 62222))()()((y xy y x xy y x y x y x +-+++-+
二 利用乘法公式求值；
例2 已知0132=+-x x ，求331x
x +
的值。

变式训练：已知3=++c b a 且2=++ac bc ab ，求222c b a ++的值。

三 利用乘法公式证明
例3 已知0,0333=++=++c b a c b a 求证：0200920092009=++c b a
变式训练：已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：3:2:1::=c b a
习题精练
1 化简：322)())((b a b ab a b a +-+-+
2 化简 )1)(1)(1)(1)(1)(1(12622+++-+++-a a a a a a a a
3 已知10=+y x 且10033=+y x ，求代数式22y x +的值；
4 已知2120
1,19201,20201+=+=+=x c x b x a ，求代数式ac bc ab c b a ---++222的值；
5 已知)(3)(2222z y x z y x ++=++，求证：z y x ==
6 已知abcd d c b a 44444=+++且d c b a ,,,均为正数，求证：以d c b a ,,,为边的四边形为菱形。

因式分解
知识延展
一 运用公式法
立方和（差）公式：
);)((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-
二 分组分解法
1 分组后能直接提公因式
如：))(()()()()(22c a b a b a c b a a bc ac ab a bc ac ab a +-=-+-=-+-=-+- 2 分组后直接应用公式
如：
)2)(2()2()44(4422222222a y x a y x a y x a y xy x a y xy x --+-=--=-+-=-+-
三 十字相乘法
1 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 如：)1)(6(652-+=-+x x x x
2 ))((22112c x a c x a c bx ax ++=++其中b c a c a c c c a a a =+==12212121,,
如：)53)(12(5762-+=--x x x x
注意：十字相乘法的要领是：“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，观察实
验”
四 其它方法简介
1 添项拆项法
如：（1）
)122)(122(4)12(414414222222244+-++=-+=-++=+x x x x x x x x x x
（2）
)133)(1()1()1)(1(3)1()1(31331432223-+-=---+=---=+--=+-x x x x x x x x x x x x x x x
2 配方法
如：)623)(623(24)3(159********-+++=-+=--++=-+x x x x x x x 3 运用求根公式法
)0,0)()((212≥∆≠--=++a x x x x a c bx ax
题型归类
一 分解因式
例1 把下列各式分解因式：
（1）22865y xy x -+ （2）12224+--+b ab a a
（3）6222-+-+-y x y xy x （4）23739234--+-x x x x
二 利用分解因式解方程
例2 解方程：2410542=--x x x
变式训练：若关于x 的方程0))(())(())((=++++++++a x c x c x b x b x a x （其中c b a ,,均为正数）有两个相等实根，证明以c b a ,,为长的线段能组成一个三角形，并指出该三角形的特征。

三 利用分解因式化简分式
例3 已知0,1)3()3(6922
22≠=+-+-+-x xy ay x a y xy x a 求x
y 的值；
变式训练：当x 等于x 的倒数时，求分式6
33622-++÷---x x x x x x 的值
四 利用分解因式化简根式
例4 化简：2)42()41()44122(
-+--÷+--+-+a a a
a a a a a a
变式 计算：
246234716251--++-
习题精练
1 分解因式
（1）y x y x 62922+-- （2）12)(4)(2-+-+y x y x
（3）23++x x （4）24)4)(3)(2)(1(++-+-x x x x
2 已知0258622=+--+y x y x ，求分式
y
x x y -的值
3 已知10<<x ，化简4)1(4)1(22-+-+-x
x x x
4 求满足方程y x x y 244412=++的所有整数解；
5 已知ab b a 322=+，求证：22447b a b a =+
6 已知0=++c b a ，求证：03223=+-++b abc c b c a a
第
2章 方程与不等式
一元二次方程的根系关系
知识延展
1 一元二次方程根与系数关系（韦达定理）；如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21,x x 那么a
x x a c x x a b x x ∆=-=-=+212121;, 2 韦达定理的重要推论；
推论1 如果02=++q px x 的的两个实数根是21,x x 那么q x x p x x =-=+2121, 推论 2 以两个实数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是0)(21212=++-x x x x x x
题型归类
一 不解方程，求含有已知一元二次方程两实根的对称式的值
（1）)3)(3(21--x x （2）3231x x + （3）
1
12112+++x x x x （4）21x x -
变式训练 已知方程03622=+-x x 的两实根为21,x x ，不解方程求下列各式的值；
（1）
2
112x x x x +； （2）221)(x x - （3）2221x x -
例2 已知21,x x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。

（1）是否存在实数k ，使3
2)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由
（2）求使
21
221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值；
变式训练 已知关于x 的方程014
1)1(22=+++-k x k x 根据下列条件，分别求k 的值。

（1）方程两实数根的积为5 （2）方程两实数根21,x x 满足21x x =
三 已知方程的两实根，求作新方程
例3 已知方程0262=+-x x 不解方程，求作一个新方程，使它的一个根为原方
程两实根的和的倒数，另一个根为原方程两实根差的平方。

变式训练 不解方程0122=--x x ，求作一个一元二次方程，使它的根比原方程各实根的2倍大1.
四 已知两数的和与积，求这两数
例4 已知两数和为14，积为-1，求这两个数。

变式训练 已知两个数的和为2，积等于4
1-，求这两个数。

例5 当实数k 为何值时，一元二次方程042)32(2=-+--k x k x ，
（1）有一根为0 （2）两根互为倒数； （3）有两个异号根，且正根的绝对值较大；
（4）一根大于3，一根小于3
变式训练 已知整系数方程032)3(2=++++k x k x 有一正根和一负根，且正根的绝对值较小，求k 的值和方程的根。

习题精练
1 已知βα,是方程01222=--x x 的两个实数根，不解方程，求
（1）βα- （2）33βα+ （3）)12)(12(22----ββαα的值。

2 已知关于x 的方程014
1
)1(22=+++-k x k x 的两实根是一个矩形的两边的长
（1）当k 取何值时，方程存在两个正实数根？
（2）当矩形对角线长是5时，求k 的值。

3 已知21,x x 是关于x 的方程0)5(52=-+-k kx x 的两个正实数根，且满足
7221=+x x ，求实数k 的值。

4 设βα,是方程0252=++x x 的两实根，求作以
2
2
1
,1
β
α
为根的一元二次方程；
5 已知实数b a ,分别满足
03112
=-+a
a 和032
=-+b b 且1≠ab ，试求代数式2
221
a
b a +的值。

6 已知关于x 的方程0)12(22=+-+a x a x （a 为常数）的两个实数根是21,x x 且
0,021>>x x ，求21x x -的值；
分式方程
知识延展
可化为一元二次方程的分式方程解法有两种：一种是一般解法——去分母法；另一种是特殊解法——换元法 去分母法的一般步骤如下：
1 将分母分解因式，找到最简公分母；
2 以最简公分母乘以方程两边去分母，得到一个一元二次方程；
3 解这个一元二次方程；
4 验根
题型归类
一 用一般方法——去分母法解分式方程 例1 解下列分式方程
（1）
;14211421232=-+-++x x x x （2）11
1
342392=-++-+-x x x x x
（3）1
36
16116322-+--+=+++-x x x x x x x x
变式训练 解下列分式方程：
1 x x x x x x -+-=+--135245729122；
2 x x x x x ---+-=-+41
3412169662
二 灵活应用去分母法解分式方程——先通分再去分母
例2 解分式方程：7
1618151+++=+++x x x x
变式训练：解方程 6
1418121-+-=-+-x x x x
三 用特殊方法——换元法解分式方程
例3 解方程2
3
11=+-+x x x x
变式训练 解方程：0536
322=+-+-x
x x x
例4 解下列分式方程：
（1）171)1(61)1(522=+++++x x x x （2）06)1
(5)1(2=+---x x
x x （3）1)1
(3)1(222=--+
x
x x x
变式训练 解下列方程；
（1）033105262222
2=+++-++x x x x x x （2）04)1
(67)1(222=--+-x
x x x
习题精练 1 解方程
（1）3
35
3112-+=
--+x x x x x x （2）1221242+=+-++x x x x x
2 解分式方程 3
2411423---=---x x x x
3 解分式方程：6
1317121+++=+++x x x x
4 用换元法解分式方程：
（1）2
)1()1(2
2=-+-x x
x x （2）03)1(27)1(2=+---x x x x
5 用换元法解分式方程
（1）38)1(5)1(622=+++x x x x （2）)2
(3422x x x x +=+
（3）02772222=++-+x x x x （4）052
7)2(22=+---x x
x x
一元二次不等式 知识延展
1 一元二次不等式的定义：形如)0(02>>++a c bx ax 和
)0(02><++a c bx ax 的不等式叫一元二次不等式
2 一元二次不等式的解法；
（1）形如)0(02>>++a c bx ax 的解法是：在方程02=++c bx ax ，若0>∆时，方程有两个不相等实根21,x x 其21x x <，则02>++c bx ax 的解集为1x x <或
2x x >；若0=∆时，a
b
x x 221-
==，则)0(02>>++a c bx ax 的解集为a
b
x 2-
≠；若0<∆时，则)0(02>>++a c bx ax 解集为一切实数 （2）形如)0(02><++a c bx ax 的解法是：在方程02=++c bx ax 中，若0>∆时，方程有两个不相等实根21,x x 其21x x <，则02<++c bx ax 的解集为
21x x x <<；若0=∆时，a
b
x x 221-
==，则)0(02><++a c bx ax 的解集为空集（无实数解）；若0<∆时，则)0(02>>++a c bx ax 解集为空集（无实数解）
判别式
Δ＝b 2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y ＝
ax 2＋bx ＋c
(a >0)的图象
一元二次方程ax
2
＋bx ＋c ＝0(a >0)
的根
有两相异实根
x 1，x 2(x 1<x 2)
有两相等实根x 1＝x 2＝
－b 2a
没有实数根
ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2} {x |x ≠x 1} {x |x ∈R }
ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集
{x |x 1<x <x 2} ∅ ∅
一 求形如)0(02>>++a c bx ax 的解 例1 解下列不等式
（1）062>--x x （2）01442>+-x x （3）322->-x x
变式训练 解不等式：
（1）01442>++x x （2）042<-+-x x
二 求形如)0(02><++a c bx ax 的解 例2 解不等式
（1）0432<-x （2）122>-x x （3）0432<+-x x
变式训练 解不等式
1 0122<--x x
2 05232<+-x x
3 08162<+-x x
三 利用一元二次不等式与一元二次方程之间关系来解决问题
例 3 已知不等式)0(02≠<++a c bx ax 的解集是2<x 或3>x ，求不等式
02>++c ax bx 的解集。

变式训练 已知关于x 的不等式022>-+c bx x 的解集为1-<x 或3>x ，试求解关于x 的不等式042≥++cx bx
例4 解关于x 的一元二次不等式)(012为实数a ax x >++
变式训练 解关于x 的一元二次不等式02≤++a x x （a 为常数）
四 一元二次不等式，二次函数，二次方程之间的关系 例5 画出函数122--=x x y 的图像，利用图像说明：
（1）当x 取何值时，?0=y （2）当x 取何值时，?0>y （3）当x 取何值时，?0<y
例6 已知不等式022>++bx ax 的解集为3
1
21<<-x ，求b a ,的值
变式训练 已知不等式032>++a x x 的解集是2-<x 或1->x ，则实数a 的取值是 ；
例7 求k 的取值范围，使得抛物线k x k x k y 44)1(2)1(2+-+--=在x 轴的下方；
变式训练 若不等式02>++a x x 的解集为全体实数，求实数a 的取值范围。

习题精练 1 解下列一元二次不等式：
（1）0)25)(110(<--x x （2）01642>+-x x （3）02532<-+-x x （4）023)23(2<--+x x
2 当x 是什么实数时，122-+x x 有意义？
3 当x 时什么实数时，二次函数142+-=x x y 的值（1）等于0（2）是正数 （3）是负数？
4 当22≤≤-x 时，求函数322--=x x y 的最大值和最小值。

5 若012
>++p qx x p
的解集为42<<x ，求实数q p ,
绝对值不等式
知识延展
1 和差的绝对值与绝对值的和差的关系
（1）;b a b a b a +≤+≤- （2）b a b a b a +≤-≤- 2 含有绝对值的不等式的解法
（1）最简单的含有绝对值的不等式的解法：
)0(><a a x 的解为a x a <<- )0(≤<a a x 无解
)0(>>a a x 的解为a x -<或a x > )0(=>a a x 的解为0≠x 的一切实数； )0(<>a a x 的解为一切实数
（2）较简单的含有绝对值的不等式的解法：
1 ⎩⎨⎧<+->+⇔<+<-⇔><+c b ax c
b ax
c b ax c c c b ax )0( 2 c b ax c c b ax -<+⇔>>+)0(或c b ax >+ 3 )0(><-+-c c b x a x 的解法：
先求出使每个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值（称为零点），将这些值依次在数轴上标出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式去解，这种方法我们称为零点分段法 4
);()()()()(x g x f x g x g x f <<-⇔< )()()()(x g x f x g x f -<⇔>或
)()(x g x f >
22)]([)]([)()(x g x f x g x f >⇔>
题型归类
一 含有一个绝对值的一次不等式的解法 例1 解下列不等式 （1）6
5
41352≤+-x （2）7412<-≤x
变式训练 （1）12>-x （2）12
11<-
x
二 含有两个绝对值的不等式的解法
例2 解不等式613>++-x x
变式训练 解不等式 2321>-++x x
三 含有二次式的绝对值不等式的解法
例3 解不等式：x x 2212>-
变式训练 解不等式2122≥-+x x
四 求绝对值不等式中的字母系数的取值范围
例 4 若满足不等式2
)1(2)1(2
2-≤+-a a x 的x 值也满足不等式0)13(2)1(32≤+++-a x a x ，求a 的取值范围。

变式训练 若关于x 的不等式b a x <-的解集是93<<-x ，求b a ,的值。

习题精练
1 解下列不等式
（1）12>-x （2）21<<x
2 解不等式 )3(2
1)13(41+≤-x x
3 解不等式
（1）322<-≤x （2）2122≥-+x x
4 解不等式：753+->+x x
5 解不等式：x x 3212-<-
6 解不等式：242+<k x
分式不等式与高次不等式
知识延展
1 分式不等式的解法：
（1）形如0>++b
ax d cx 的不等式可转化为0))((>++d cx b ax ，也可转化为⎩⎨⎧>+>+00d cx b ax 或⎩⎨⎧<+<+0
0d cx b ax （2）形如0≥++b
ax d cx 的分式不等式转化时需注意0≠+b ax ，即应转化为⎩
⎨⎧≥++≠+0))((0d cx b ax b ax 2 高次不等式的解法
高次不等式一般采用“根轴法”，即首先将高次不等式变形成一边为最高项系数为正的形式（最好能分解成一次因式的积），然后解得相应的高次方程的解，并把解标在数轴上。

用曲线从上往下，从右往左因式为奇数次幂的根穿过，偶数次幂的根折过，简记：奇穿过，偶折过
提醒归类
一 一般分式不等式的解法
例1 解下列不等式
（1）0321≥--x x （2）11
2≤+x x （3）01232<---x x
变式训练 解下列分式不等式 1 02
42>-+x x 2 121-≤-x x
二 已知分式不等式的解集，求分式不等式中待定系数
例2 关于x 的不等式11
>-x ax 的解集为21<<x ，求实数a 的值；
变式训练 已知关于x 的不等式
012>+-x
ax 的解为a x -=，其实数a 的取值范围；
三 高次不等式的求解
例3 解下列高次不等式
（1）0)3)(2)(1(>+-+x x x （2）034234>+-x x x
（3）0)22)(1()1(232≤+---+x x x x x
变式训练 1 0)44)(32(22<+---x x x x 2 0)2)(1()3(2≥+--y y y
习题精练
1 解下列分式不等式
（1）05
3>+-x x （2）01121<--x
2 解下列分式不等式：
（1）0612<-+x x （2）22
1>-+x x
3 已知关于x 的不等式012>+-x
ax ，问实数a 与x 的解集有怎样的关系？
4 解下列高次不等式
(1) 0)6)(2(2≥-++x x x （2）0)1()1(32>+-x x
5 解下列不等式
（1）04322≥--x x （2）03
223222<----y y y y
6 解不等式
（1）0233222<+-+-x x x x （2）23
2532≤-+-x x x
第三章 函 数
知识延展
函数的定义可以进一步叙述如下：
设B A ,为给定的两个数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于A 中的任意一个数x ，在B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从A 到B 的一个函数，记作：)(x f y =
其中x 是自变量，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值。

在这个定义下，1=y 表示一个函数。

因为对于任何一个数x ，按对应法则“函数值总是1”，y 都有唯一确定的值1与它对应，所以y 是x 的函数。

题型归类
一 已知函数解析式，求函数值
例1 已知函数253)(2+-=x x x f ，求)1(),2(),3(+-a f f f
变式训练 已知2)(2-=ax x f 且22)2(-=f ，求a 的值；
二 求函数解析式
题型1：代入法求解析式
例2 （1）已知2)(+=x x f ，求)1(+x f ；
（2）已知2)1(+=+x x f ，求)(x f
变式训练 已知23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f
题型2：待定系数法求函数解析式
例3 已知)(x f 是一次函数，且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求)(x f
变式训练：已知)(x f 是二次函数，若0)0(=f ，且1)()1(++=+x x f x f ，求)(x f 的表达式；
习题精练
1 已知,2)(2x x x f +=求)12(+x f
2 已知x
x x f 1)(-=
，求方程x x f =)4(的解
3 已知)(x f y =为反比例函数，其图像上一点A ，x AB ⊥轴，1=∆OAB S ，求)(x f 的解析式
4 已知x x x f 2)1(+=+，求)(),1(),(2x f x f x f +
5 已知221)(x ax x x f +++=，且21)1(+=f 求)2(-f
6 若5)(35+++=cx bx ax x f ，其中c b a ,,均为常数，已知7)7(-=-f ，求=)7(f
分段函数
知识延展
当函数关系（注意：不是函数值）随着自变量不同的取值范围而改变时，就需要将函数关系式分段表示，通常，我们把这样的函数叫做分段函数。

例如：
⎩⎨⎧<+≥+=0
;10;122x x x x y
注意：（1）分段函数是指自变量在不同的取值范围内对应不同的解析式的函数。

（2）分段函数就整个“变化过程”而言，是一个函数，而不是几个函数，只是“过程中”的不同阶段，其解析式不同而已。

（3）在实际生活中，我们常见到诸如“质点运动相关的图形面积”，“出租车计价”，电话收费“。

”个人所得税纳税金额“等分段函数。

题型归类
一 已知分段函数，求相关值或范围
例1 已知⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>+=0;0;20;2x x x x y 当π-=3x 时，a y =，当a x =时，函数y 的值为？
变式训练 设函数⎩⎨⎧≥-<=2
;42;2x x x x y 求使得函数值9=y 的自变量x 的值。

例2 设函数⎪⎩
⎪⎨⎧>+-≤<+≤+=1;510;30;32x x x x x x y 求函数的最大值；
变式训练 设函数⎩⎨⎧>+≤≤-=)
1(3)11(2x x x x y 求函数值y 的取值范围。

二 作分段函数的图像
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤--<=)
42(4)22(2
1)2(,02x x x x x y
变式训练 画出函数32-=x y 的图像
习题精练
1 已知⎩⎨⎧>+-≤+=)
1(3)1(1x x x x y （1）分别求出当x 取2,1,0,1-时，函数y 的值；
（2）设当2
5=
x 时，b y =，求当b x =时，y 的值.
2 已知⎪⎩
⎪⎨⎧>=<=)0(0)0(3)0(2x x x x y
（1）分别求出当x 取3±时，函数y 的值；
（2）当x 取何值时，?3=y 当x 取何值时，?1=y
3 已知函数⎪⎩⎪
⎨⎧≥<-=)1(2
1)1(12x x x x y 当x 取何值时，函数的值小于?3-
4 画出函数⎩⎨⎧<<--≤=)11()
1(12x x x y 的图像.
5 求函数⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
≤≤+-<≤+--=)121(22)2
10(1)21(22x x x x y 的最大值和最小值.
6 作函数⎩⎨⎧>+≤≤-+=)1(12)
11(22x x x x y 的图像
函数图像的变换 题型归类 一：平移变换 例1 将抛物线2
2
1x y =向左平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得抛物线的解析式.
变式训练：将双曲线x
y 3
-=沿x 轴正方向平移2个单位，在沿y 轴负方向平移
1个单位，求所得的函数解析式。

二 翻折变换
例2 画出下列函数的图像：
（1）322-+=x x y （2）322--=x x y
方法总结：将函数)(x f y =的图像在x 轴上方的部分不变，下方的部分翻折到x 轴上方得到函数)(x f y =的图像
将函数)(x f y =的图像在y 轴右方的部分不变，左方的部分图像由右方的
图像沿y 轴翻折，得到函数)(x f y =的图像
变式训练 画出函数32-=x y 的图像.
三 对称变换
例 3 已知定义在22≤≤-x 上的函数)(x f y =的图像如图所示，分别画出
)(),(),(x f y x f y x f y --=-=-=的图像.
方法点拨：函数)(x f y =的图像与函数)(),(),(x f y x f y x f y --=-=-=的图像分别关于x 轴，y 轴，原点对称。

变式训练 抛物线x x y 22-=沿x 轴对折，所得图像的函数解析式是 ；
习题精练
1 如何将直线22+-=x y 平移，能够得到直线?32--=x y 试写出两种不同的方案。

2 说出下列问题中图像变换的途径：
（1）由抛物线122--=x x y 变换为242+-=x x y ； （2）有抛物线23212-+=x x y 变换为x x y --=22
1
.
3 画出函数223+-=x y 的图像，求函数的最小值.
4 画出函数232+--=x x y 的图像.
5 画出函数3
2
++=x x y 的图像.
6 作下列函数的图像（已知)(x f 的图像如图所示）
（1）)(x f y -= （2）)(x f y -= （3）)(x f y --= （4）)(x f y = （5）)0)((>-=a a x f y （6）)0()(>+=b b x f y
给定范围内的二次函数的最值
知识衔接：
在初中阶段，我们比较详细的讨论了二次函数c bx ax y ++=2在自变量x 取任意实数时的最小值和最大值：当0>a 时，函数在a
b
x 2-
=处取得最小值a b ac 442-，无最大值；当0<a 时，函数在a
b
x 2-=处取得最大值a b ac 442-，无最小值。

如果我们限制自变量x 在某个范围内取值，例如n x m ≤≤),(都是常数n m 时，函数c bx ax y ++=2的最大值或最小值又是怎样的情况呢？
知识延展：
二次函数在自变量x 的给定范围n x m ≤≤内，对应的图像是抛物线上的一段（含两个端点），必存在最高点和最低点.二次函数c bx ax y ++=2在闭区间上的最大值或最小值只能在给定范围内的端点处包含在给定范围内的顶点处取
得. 解题时通常先确定a
b
x 2-=是否属于该范围，然后分别求出给定范围的两
个端点处的函数值来进行比较。

在遇到有待定系数时，画出函数图像，就待定系数分类讨论是常用的数学思想方法。

题型归类：
一 无限制条件的最值
例1 对于函数)0(2≠++=a c bx ax y
1 当0>a 时，（1）当=x 时，y 取最小值，=min y ；
（2）当a b
x 2-
<时，y 随x 的增大而 ； （3）当a b
x 2->时，y 随x 的增大而 ；
2 当0<a 时，（1）当=x 时，y 取最大值，=max y ；
（2）当a b
x 2-
<时，y 随x 的增大而 ； （3）当a b
x 2->时，y 随x 的增大而 ;
3 作出二次函数142+-=x x y 的图像，并求出函数的最值；
变式训练 求二次函数)0(242≠++=m x mx y 的最值.
二 给定范围内的最值
例2 观察函数322--=x x y 在下列范围内时的图像，并求出其最值。

（1）14-≤≤-x （2）54≤≤-x （3）54≤≤x
变式训练 已知322++-=x x y ，求在下列给定范围内时，函数的最大值和最小值。

12)1(-≤≤-x （2）32≤≤x （3）31≤≤x
三 含参数的二次函数的最值
例3 已知a ax x y -++-=122在10≤≤x 时的最大值是3，求实数a 的值；
方法点拨：当二次函数的对称轴不定，而自变量x 的取值范围给定时，则应对对称轴的位置进行分类讨论，即对称轴在给定范围的左侧，中间和右侧，分别
结合图像求其最值。

变式训练 已知函数7422+--=x x y ，且)(1为常数m m x m +≤≤，求函数的最值。

习题精练
1 求二次函数5322+-=x x y 在22≤≤-x 时的最大值和最小值。

2 对于函数)2(x x y --=。

当0≥x 变化时，求y 的取值范围.
3 已知关于x 的函数1)12(22-+++=m x m x y 当m 取何值时，y 的最小值为零？
4 已知函数322+-=x x y 在m x ≤≤0时的最大值是3，最小值是2，求m 的取值范围。

5 若0>a ，当11≤≤-x 时，函数12++--=b ax x y 的最小值是4-，最大值是0，求b a ,的值。

6 求函数25342-+--=x x y 的最大值和最小值.
1 求函数]1,1[)(12-∈+-=x a ax x y ，为常数的值域；
2 已知12++=ax x y
（1）若]1,1[-∈a ，恒有0>y ，求x 的取值范围； （2）若]1,1[-∈x 恒有0>y ，求a 的取值范围；
3 设a 为实数，函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为)(a g . （1）设x x t -++=11，求t 的取值范围，并把)(x f 表示成t 的函数)(t m （2）当0>a 时，求)(a g .
4 （1）若方程0212=--+k x x 在11≤≤-x 时有实数解，求k 的取值范围； （2）k 为何值时方程0212=--+k x x 在11≤≤-x 时有两解有一解无解
5 已知13
1
≤≤a ，若12)(2+-=x ax x f 在区间]3,1[上的最大值为)(a M ，最小值
为)(a N ，令)()()(a N a M a g -=。

（1）求)(a g 的表达式及)(a g 的最小值；
6 已知二次函数)0,()(2≠+=a b a bx ax x f 是常数，且，满足条件：0)2(=f ，且方程x x f =)(有等根. （1）求)(x f 的解析式
（2）是否存在实数)(,n m n m <，使)(x f 在定义域和值域分别为],[n m 和
]2,2[n m ，如果存在求出n m ,的值；如果不存在，说明理由；
一元二次方程的实根分布 知识延展
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，一元二次不等式
)0(02≠>++a c bx ax 及一元二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 三者关系紧密，相互关联，结合二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的图像来讨论一元二次方程
)0(02≠=++a c bx ax 的实根分布问题，不仅可以解决利用韦达定理无法解决的问题，还可以简化计算步奏这种方法为数形结合。

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况
两个负根即两根都小于0
()120,0x x << 两个正根即两根都大于0
()120,0x x >>
一正根一负根即一个根小
于0，一个大于0()120x x <<
大致图象
（0>a ）
得
出的结论
()00200
b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()0
0200
b
a f ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f
大致图象（0<a ）
得出的结论
()00200
b a f ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪<⎪⎩ ()0
0200
b
a f ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f
综
合结论
（不讨论a ）
()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨
⎪⋅>⎪⎩ ()0
0200
b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨
⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a
表二：（两根与k 的大小比较）
分布情
况 两根都小于k 即 k x k x <<21,
两根都大于k 即 k x k x >>21,
一个根小于k ，一个大于
k 即 21x k x <<
大致图象（0>a ）
得出的结论 ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪>⎪⎩ ()0
20
b k a f k ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f
大致图象（0<a ）
得出的结
论 ()0
20b k a f k ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪<⎪⎩ ()0
20b k a f k ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f
综合结论（不讨论
a ）
()020
b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨
⎪⋅>⎪⎩ ()020
b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨
⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f a
k
k
k
表三：（根在区间上的分布）
题型归类
例 1 已知关于x 的方程032=++-a ax x ，分别下列情况，确定a 的取值范
分布情况 两根都在()n m ,内
两根有且仅有一根在()n m ,内
（图象有两种情况，只画了
一种）
一根在()n m ,内，另一根在
()q p ,内，q p n m <<<
大致图象（0>a ）
得出的结论
()()0002f m f n b m n
a ∆>⎧⎪
>⎪⎪
>⎨⎪⎪<-<⎪⎩
()()0<⋅n f m f
()()()()0
000f m f n f p f q ⎧>⎪
<⎪⎨
<⎪⎪>⎩
或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪
⎩ 大致图象（0<a ）
得出的结论
()()0002f m f n b m n
a ∆>⎧⎪
<⎪⎪
<⎨⎪⎪<-<⎪⎩
()()0<⋅n f m f
()()()()0000
f
m f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩
或()()()()
0f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩
综合结论（不讨
论a ）
()()0<⋅n f m f
()()()()⎪⎩⎪
⎨
⎧<<0
0q f p f n f m f
围：
（1）方程两根都是正数 （2）方程两根都是负数 （3）方程有一个正根，一个负根。

变式训练 已知关于x 的方程02=++a x x 有两个负根，求a 的取值范围。

二 两根在某一点的同侧
例2 当m 为何值时，关于x 的方程0)12(22=---m mx x 的两实根均大于2？
方法点拨：代数法：k x k x >>21,应转化
为0))((,0,0,0212121>-->-+->->-k x k x k x k x k x k x 且即；
几何法：作出符合题意的图形，从判别式∆，对称轴的位置及特殊点的函数值三方面来列出符合题意的不等式（组）
变式训练 讨论方程02=++c bx x 在c b ,满足什么条件时两实根都小于1
三 两根在某一点的异侧
例3 当m 为何值时，关于x 的方程0)12()2(2=++++m x m x 有一根大于1，另一根小于1.
变式训练 当m 取何值时，关于x 的方程012)23()1(2=-+++-m x m x m 有一个根大于1，另一个根小于1？
习 题 精 练
1 函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，试确定下列代数式的值的符号：
c b a c b a c b a a
b a
c a b ac b c b a +++-++---24,,,44,
2,4,,,2
2
2 已知关于x 的方程012422=-+-m mx x ，求证：不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根，但不可能都是负数。

3 若关于x 的方程0)32()3(22=-+++a x a x 中，一个根大于3，另一个根小于3，求实数a 的取值范围。

4 设关于x 的方程02=+-m x x 的两个实数根为21,x x ，若2,021><x x ，求实数
m 的取值范围.
5 设关于x 的方程02)13(722=--++-k k x k x 的两实根21,x x ，已知
21021<<<<x x ，求k 的取值范围。

6 已知关于x 的方程042=+-mx x 在11≤≤-x 范围内有实根，求m 的取值范围。

1 关于x 的方程05)2(2=-+-+m x m x 根据下列条件分别求出m 的取值范围. （1）两根都大于
2 （2）一根大于2 ，另一根小于2 （3）一根在区间)1,0(上，另一根在区间)3,2(上.
2 （1）当m 为何值时，方程013422=-++m mx x 有两个负实数根；
（2）关于x 的方程062)1(22=++-+a x a x 至少有一个正实数根，求实数a 的取值范围.
§ 集 合
第1课时 集合的含义与集合的表示
课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性. 2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用． 4 .掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).
5.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
1．元素与集合的概念
(1)把________统称为元素，通常用__________________表示．
(2)把________________________叫做集合(简称为集)，通常用________________表示．
2．集合中元素的特性：________、________、________.
3．集合相等：只有构成两个集合的元素是______的，才说这两个集合是相等的． 4 关系 概念 记法 读法
元素与 集合的
关系 属于
如果________的元素，
就说a 属于集合A
a ∈A a 属于集合A 不属于 如果________中的元素，
就说a 不属于集合A
a ∉A a 不属于集合A
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号
____
________
____
____
____
6 集合的表示： 1．列举法
把集合的元素____________出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为__________． 不等式x －7<3的解集为__________．
所有偶数的集合可表示为________________． 总结：
集合的概念，是我们在高中进一步学习函数的基础概念，用集合的观点来研究函数，是近代数学的思想。

对于函数，我们将会有新的认识和理解，有利用对数学的深入学习。

什么是集合，在高中的教材中，仅作了一种描述：某些指定的对象集在一起就成为一个集合.对这一描述，要理解“对象”的内涵，在集合中，我们将“对象”称为“元素”，它具有如下三个特征：1 确定性 （又叫封闭性） 2 互异性 3 无序性
集合的表示法有：列举法，描述法，韦恩图法等.如方程012
=-x 的解组成的集合，
可用列举法表示为}1,1{-。

不等式012
≤-x 的解集，可用描述法表示为}11{≤≤-x x .通常我们用大写的拉丁字母表示集合，用小写的拉丁字母表示集合中的元素。

列举法，描述法都用大括号{}表述.
元素与集合之间是属于或不属于的关系，如a 是集合A 的元素，记作A a ∈，读作a 属于A;b 不是集合A 的元素，记作A b ∉，读作b 不属于A 。

集合简称集，在高中数学中主要研究数集和点集. 数集中的元素都是数，点集中的元素都是点，通常用点的坐标来表示。

常用数集的记法：N 自然数集 +
N 正整数集 Z 整数集 Q 有理数集 R 实数集 含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集，不含任何元素的集合叫空集，记作∅ 题型归类 一 集合的概念
例1 下列的描述中，能构成集合的是（ ）
A 给出数字5,5,3,1
B 美丽的鲜花
C 所有的无理数
D 一切很大的正整数 例2 在下面的各个集合中，表示空集的是（ ）
A }62{2
=+∈x R x B }032{=-∈x Z x C }0{ D {∅} 二 元素与集合
例1 集合}20
{的质数小于=A 的元素有多少个？并用列举法表示集合A.
例2 用列举法表示下列集合；
（1）};,,3),({N y N x y x y x ∈∈=+ （2）},2,1),({2
Z x x x y y x ∈≤-=
例3 下列各小题，分别指出了一个集合的所有元素，用适当的方法（列举法或描述法）把这个集合表示出来，并说出它是有限集还是无限集. 1 由3,2,1这三个数字组成的没有重复数字的三位数
2 平面内，一个动作),(y x P 到两个定点)2,3(),2,1(--B A 距离相等的所有点。

3 一元二次方程012522
=-+x x 的根；
4 抛物线x x y +=2
3与x 轴的交点。

例4 设集合},,{},,,1{2ab a a B b a A ==，且B A =，求?20152015
=+b a
例 5 下面三个集合：（1）}1{2+=x y x ；（2）};1{2+=x y y （3）
}1),({2+=x y y x
（1）它们各自的含义是什么； （2）它们是不是相同的集合；
例6 已知},0,1{2
x x ∈，求实数x 的值；
例7 已知集合},012{2
R x x ax x A ∈=--=，若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围；
课堂训练：
1．下列语句能确定是一个集合的是( ) A ．著名的科学家 B ．留长发的女生
C ．2010年广州亚运会比赛项目
D ．视力差的男生
2．集合A 只含有元素a ，则下列各式正确的是( ) A ．0∈A B ．a ∉A C ．a ∈A D ．a ＝A
3．已知M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形
4．由a 2,
2－a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( ) A ．1 B ．－2 C ．6 D ．2
5．已知集合A 是由0，m ，m 2
－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为。