辽宁省铁岭市六校协作体高三上学期第三次联合考试 数学理

辽宁省铁岭市六校协作体2013届高三上学期第三次联合考
试 数学理
数学（理科）试卷 命题学校：西丰高中 考试时间：120分钟
考试说明：（1）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，
考试时间为120分钟；
（2）第Ⅰ卷和第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，有
只有一项是符合题目要求的.1、设集合A ={x |1<x <4},B ={x |x 2
-2x -3≤0},则A ∩(C R B )= （ ）
A ．(1,4)
B ．(3,4)
C ．(1,3)
D ．(1,2) 2、设圆C 与圆x 2+（y-3）2=1外切，与直线y =0相切，则C 的圆心轨迹为 A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆 3、函数,(,0)(0,)sin x
y x x
ππ=
∈-的图象可能是下列图象中的 （ ）
4、 “1=a ”是“函数a
a
x f x x +-=22)(在其定义域上为奇函数”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 5、已知x y x 6232
2
=+ 则12
2
-+=y x m 的最大值为（ ）
A.２
B.３
C. ４
D.
2
7 6．设n S 是等差数列的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ． 8
7．已知两点(1,0),(1,3),A B O 为坐标原点，点C 在第二象限，且 120=∠AOC ，设
2,(),OC OA OB λλλ=-+∈R 则等于 （ ）
A ．1-
B ．2
C ．2-
D ．1
8.F 为抛物线y 2
＝4x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点．O 为坐标原点，若F 是△ABC 的重心,
△OFA ，△OFB ，△OFC 的面积分别为S 1，S 2，S 3 ，则21S ＋22S ＋2
3S 的值为:
A. 3
B. 4
C. 6
D. 9
9.对任意实数,x y ，定义运算x y ax by cxy *=++，其中,,a b c 是常数，等式右边的运算
是通常的加法和乘法运算。

已知123,234*=*=，并且有一个非零常数m ，使得对任意实数x ， 都有x m x *=，则m 的值是（ ） A.-4
B.4
C.5-
D.6
10.如图，PAB ∆所在的平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且α⊥AD ，α⊥BC ，4=AD ，8=BC ，6=AB ． 若1tan 2tan =∠-∠BCP ADP ，则动点P 在平面α内 的轨迹是 A ．椭圆的一部分 B ．线段 C ．双曲线的一部分 D ．以上都不是
11．如图所示，点P 是函数)sin(2ϕω+=x y )0,(>∈ωR x 的图象的最高点，M ，N 是
该图象与x 轴的交点，若0=⋅PN PM ，则ω的值为 （A ）
8
π
（B ）
4
π （C ）4
（D ）8
12. 已知函数32
()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的导函数为()f x ，0a b c ++=且
(0)(1)0f f ⋅>，设1x ，2x 是方程()0f x =的两根，则12x x -的取值范围为
A
．1[3 B ．14[,)39 C ．
2)3 D ．11
[,)93
第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、 填空题: 本大题共4小题, 每小题5分, 共20分
13．已知一个几何体的三视图及其长度如图所 示，则该几何体的体积为 .
14.如右图，是一程序框图，则输出结果
α
β
P
A
B
C
D
为 __ 15.若dx x c dx x b xdx a ⎰
⎰
⎰-=
-=
=
1
21
1
01,1,，则c b a ,,的大小关系是 （ ）
16. 已知正数a b c ，，满足:4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则
b
a
的取值范围是____. 三、解答题: 本大题共6小题, 共70分。

解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。

17. （1）已知集合132P x
x ⎧⎫
=≤≤⎨⎬⎩⎭
, 函数22()log (22)f x ax x =-+的定义域为Q 。

若12,,(2,3]23P
Q P Q ⎡⎫
==-⎪⎢⎭
⎣，求实数a 的值；
（2）函数()f x 定义在R 上且(3)(),f x f x +=当132
x ≤≤时, 22()log (22)f x ax x =-+，
若(35)1f =，求实数a 的值。

18、 （本题满分12分）在ABC ∆中，A,B,C 的对边分别为a,b,c,且a cos C,b cos B,c cos A
成等差数列。

（1）求B 的值；(2)求2
2sin A cos(A C )+-的取值范围。

19（本小题满分12分）已知数列｛n a ｝的前n 项和为n S ，数列n {b }的前n 项和为n T ,n {b }为
等差数列且各项均为正数，*1n 1n 123a 1,a 2S 1(n N ),b b b 15+==+∈++= (1)求数列｛n a ｝的通项公式；
（2）若112233a b ,a b ,a b +++成等比数列，求12n
111T T T ++…+ 20．（本题满分12分）已知四边
形ABCD 满足AD ∥BC ，
1
2
BA AD DC BC a ===
=，E 是BC 的中点，将BAE ∆沿着AE 翻折成
1B AE ∆，使面1B AE ⊥面
AECD ，F 为1B D 的中点.
（Ⅰ）求四棱1B AECD -的体积； （Ⅱ）证明：1B E ∥面ACF ；
（Ⅲ）求面1ADB 与面1ECB 所成二面角的余弦值.
21. （本题满分12分）已知点A （0，1）、B （0，-1），P 为一个动点，且直线PA 、PB 的斜
率之积为.2
1
-
（I ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（II ）设Q （2，0），过点（-1，0）的直线l 交C 于M 、N 两点，QMN ∆的面积记为S ，
若对满足条件的任意直线l ，不等式tan ,S MQN λλ≤∠恒成立求的最小值。

22（本题满分12分）已知函数ax x a a x x f 2ln )2
1
43(21)(22-++=
，R a ∈. (Ⅰ)当2
1
-
=a 时，求函数)(x f 的极值点； (Ⅱ)若函数)(x f 在导函数)(x f '的单调区间上也是单调的，求a 的取值范围； (Ⅲ) 当810<
<a 时，设x a x a x a a x f x g )12()2
1
(ln )12143()()(22+++-++-=，且21,x x 是函数)(x g 的极值点，证明：2ln 23)()(21->+x g x g .
高三数学（理）答案（2012.11）
13
2 14 11
15 a<b<c 16 [] 7e ，
. 三、解答题:
17.【答案】解：解:(1)由条件知2
(2,)3Q =- 即2220ax x -+>解集2(2,)3
-.
∴0a <且2
220ax x -+=的二根为22,3-.∴24324
3a a
⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴32a =-………5分
(2)∵()f x 的周期为3，22(35)(3112)(2)log (242)1f f f a =⨯+==⋅-+=， 所以1a =………………………………………………………………………..10分
18解⑴由题意得cos cos 2cos a C c A b B +=，又2sin ,2sin a R A b R B ==，
2sin c R C =，得sin()2sin cos A C B B +=，即sin 2sin cos B B B =，在ABC ∆中，
0B π<<，
∴sin 0B ≠，∴1cos 2B =
，又0B π<<，∴3
B π
=。

-----6分 ⑵222,2sin cos(2)33A C A A ππ+=+-21cos 2cos(2)3
A A π
=-+-
11cos 2cos 222A A A =--
+312cos 22A A =
-1)3
A π
=-
∵203A π<<
，∴233
A ππ
π-<-<
，∴sin(2)3A π<-≤1，
∴2
2sin cos()A A C +-
的取值范围是1
(,12
-
+．-----12分 19
【答案】解：（1）211a 2S 133a =+==
当n 2≥时，n 1n n n 1n a a (2S 1)(2S 1)2a +--=+-+=………………………………3分 ∴n 12n 1n,2n 1
a a
a 3a 3a 33a a ++====即
又 ∴数列{}n a 是首项a 1=，公比为3的等比数列…………………………4分 从而得：n 1n a 3-= …………………………6分 （2）设数列{}n b 的公差为d(d 0)>∵32T 15,b 5=∴= 依题意有2221133(a b )(a b )(a b ),64(5d 1)(5d 9)+=++∴=-+++
d 2d 10(==-解之得或舍去) ……………………………………8分
故2n n(n 1)
T 3n 22n 2n 2
-=+
⨯=+ ……………………………………10分
12n 1111111111=()()T T T 212n 34n 1111132n 3()=12212n 1n 242(n 1)(n 2)
⎡⎤++++-++⎢⎥⎣⎦
⎡⎤+⎛⎫+-+- ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎣⎦所以
…+…+…++2…………分
20（Ⅰ）取AE 的中点,M 连接1B M ，因为1
2
BA AD DC BC a ====，ABE ∆
为等边三角形，则1B M =
，又因为面1B AE ⊥面AECD ，所以1B M ⊥面AECD ，……2分
所以3
1sin 334
a V a a π=⨯⨯⨯=…………4分
（Ⅱ）连接ED 交AC 于O ，连接OF ，因为AECD 为菱形，OE OD =，又F 为1B D 的中点，所以FO ∥1B E ，所以1B E ∥面ACF ……………8分 （Ⅲ）连接MD ，分别以1,,ME MD MB 为,,x y z 轴
则1(,0,0),(,0),(,0,0),,0),)22a a E C a A D B -
11333(,,0),(,0,),(,,0),(,0,2222a a a a a a a EC
EB AD AB ==-=
=……10分
设面1ECB 的法向量(,,)v x y z '''=，02
2a x a x ⎧''=⎪⎪⎨⎪''-+=⎪⎩，令1x '=
，则3
(1,u =-
设面1ADB 的法向量为(,,)u x y z =
，02
02a
x a x ⎧+=⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩，令1x =，
则3(1,v =-
……12分 则3cos ,5
u v <>=
=，所以二面角的余弦值为35……12分
21解：（I ）设动点P 的坐标为.1
,1,),,(x
y x y PB PA y x +-的斜率分别是
则直线
由条件得.2
1
11-=+⋅-x y x y 即
).0(1222≠=+x y x
所以动点P 的轨迹C 的方程为).0(12
22
≠=+x y x -----（4分）
（II ）设点M ，N 的坐标分别是).,(),,(2211y x y x 当直线.2
1,,1,212121=
-=-==y y y x x x l 轴时垂直于 所以),3(),2(),,3(),2(122111y y x QN y y x QM --=-=-=-= 所以.2
17921=
-=⋅y QN QM
当直线,(1).l x l y k x =+不垂直于轴时设直线的方程为
由.0224)21()1(,12222222
=-+++⎪⎩
⎪⎨⎧+==+k x k x k x k y y x 得
所以.212
2,2142
2212221k k x x k k x x +-=+-=+
所以1212121212(2)(2)2()4.QM QN x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++
因为).1(),1(2211+=+=x k y x k y
所以.2
17
)21(2132174))(2()1(22212212<+-=+++-++=⋅k k x x k x x k QN QM
综上所述.2
17
的最大值是
QN QM ⋅ 因为tan S MQN λ≤∠恒成立 即
1sin ||||sin 2cos MQN
QM QN MQN MQN
λ
∠⋅∠≤∠恒成立
由于.0)
21(213
2172>+-=
⋅k QN QM 所以cos 0.MQN ∠>
所以λ2≤⋅QN QM 恒成立。

所以.4
17
的最小值为λ----12分 22解: (Ⅰ)f(x)= 12 x 2- 1
16
lnx+x （0>x ）
f’(x)=x - 116x + 1=16x 2
+16x-1
16x
=0
∴x 1=-2- 5 4 ，x 2=-2+ 5 4 ………1分
∵(0，-2+ 5
4
]单调减 [
-2+ 5
4
，+∞)单调增 ∴f(x)在x= -2+ 5
4
时取极小值………2分
(Ⅱ)解法一：f’(x)=x 2
-2ax+ 34 a 2+ 12
a
x
)0(>x ………3分
令g(x)=x 2-2ax+ 34 a 2+ 12
a ， △=4a 2-3a 2-2a=a 2
-2a ，设g(x)=0的两根)(,2121x x x x <
10
当△≤0时 即0≤a ≤2，f’(x)≥0∴f(x)单调递增，满足题意………4分 20
当△>0时 即a<0或a>2时
(1)若210x x <<，则 34 a 2 + 12 a<0 即- 2
3
<a<0时,
)(x f 在),0(2x 上减，),(2+∞x 上增f’(x)=x+
34 a 2 + 12
a x
-2a ,f’’(x)=1- 34 a 2 + 12
a x
2
≥0 ∴f ’(x) 在(0，+∞)单调增，不合题意………5分 (2)若021<<x x 则⎪⎩⎪⎨⎧<≥+0
21
432a a a ,即a ≤- 23
时f(x)在(0，+∞)上单调增，满足题意。

6分
(3) 若210x x <<则⎪⎩⎪⎨⎧>>+0
2
1
432a a a 即a>2时 ∴f(x)在(0，x 1)单调增，(x 1，x 2)单调减，(x 2，+∞)单调增，不合题意………7分
综上得a ≤- 2
3
或0≤a ≤2. ………8分
（Ⅲ) g (x)＝－ln x －ax 2
＋x ，g '(x)＝－ 1 x －2ax ＋1＝－2ax 2－x ＋1x
．
令g '(x)=0，即2ax 2－x ＋1＝0，当0＜a ＜ 1
8
时，Δ＝1－8a ＞0，所以，方程2ax 2－x
＋1＝0的两个不相等的正根x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2，则当x ∈(0，x 1)∪(x 2，＋∞)时，g '(x)＜0，当x ∈(x 1，x 2)时，g '(x)＞0，
所以，g (x)有极小值点x 1和极大值点x 2，且x 1＋x 2＝12a ，x 1x 2＝1
2a
．
g (x 1)＋g (x 2)＝－ln x 1－ax 21＋x 1－ln x 2－ax 2
2＋x 2
＝－(ln x 1＋ln x 2)－ 1 2(x 1－1)－ 1
2(x 2－1)＋(x 1＋x 2)
＝－ln(x 1x 2)＋ 1 2(x 1＋x 2)＋1＝ln(2a)＋1
4a ＋1．………10分
令h (a)＝ln(2a)＋14a ＋1，a ∈(0， 1
8
]，
则当a∈(0，1
8)时，h (a)＝
1
a－
1
4a2＝
4a－1
4a2＜0，h(a)在(0，
1
8)单调递减所以
h(a)＞h(1
8)＝3－2ln2，即g(x1)＋g(x2)＞3－2ln2．………12分。